问题驱动激思维 思想引领揭本质*——“一图一课之二次函数”教学思考

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(列东中学,福建 三明 365000)

单元复习课缺乏课标的具体定位，没有可供直接使用的教材，对学生而言，复习的内容不再新鲜，难现初学时的激情，也正因为如此，一线教师才有较大的自主发挥空间.如何让复习课这首老歌唱出新意，做到复而不重，让学生能够温故而知新，在巩固基础知识、基本技能的同时，解题能力得到提升，应用意识得到增强，数学思维得以发展，数学素养得以落实，这值得每一位教师认真思考.笔者通过网络平台反复观摩浙江省嘉善县实验中学陈世文老师“一图一课之二次函数”复习课的教学视频，并多次阅读该课的教学设计，受益颇深，现略谈一二，以期与同行交流.

1 教学过程简述及评析

片断1

问题1如图1，观察该二次函数的图像，你能获得哪些信息？

图1

学生之间相互补充，得到a>0，b<0，c<0，b2-4ac>0，抛物线的顶点为A(1，-4)，对称轴为直线x=1，对称轴为抛物线增减性的分界线.

问题2你能求出该函数表达式吗？为什么？若不能，请添加一个条件，使得该二次函数表达式能够求出来.

生1：可以，因为抛物线的顶点为(1，-4)，所以可设抛物线方程为y=a(x-1)2-4.

生2：条件还不够，还要知道一个点的坐标.

教师顺势添加抛物线与x轴的一个交点坐标B(3，0)，请学生思考表达式的求法.

生3：把(3，0)代入顶点式就可以了.

师：很好！还有其他方法吗？

生4：还可以用交点式，根据对称轴为直线x=1，可得抛物线与x轴的另一个交点为(-1，0)，设抛物线表达式为y=a(x+1)(x-3)，就可以求出来.

师：能用一般式来求吗？

师生共同分析用一般式来求解的方法，进而总结并板书二次函数的3种表达式.

评注通过两个开放性的问题，以题目带动知识，让学生在问题解决中自然唤醒二次函数的相关性质及待定系数法求函数表达式的方法，渗透数形结合的数学思想，并且注意方法的多样性和思维的发散性.

片断2

问题3如图2，设抛物线与y轴交于点C，作直线BC，交对称轴于点D，你能提出哪些问题？

先独立思考，然后交流分享，学生提出的问题主要有：求点C，D的坐标；求△OBC的周长和面积；当x满足什么条件时，一次函数值小于二次函数值.师生合作得到解决这些问题的思路，提炼出求“斜”线段长度的一般方法——“化斜为直”.

评注“提出问题比解决问题更重要”，在本环节中，教师引导学生尝试自主提出问题、解决问题，让学生体会研究函数问题的一般角度和方法，总结解决问题的一般思路，渗透化归转化、数形结合思想.

图2 图3

片断3在图2的基础上，联结AC，AB，提出问题4：

问题4如图3，你又能提出哪些问题？

教师汇总学生的问题：求线段AD的长；求△ABC的周长和面积.

在分析完线段AD的长、△ABC周长的求法后，教师把重点放在△ABC面积的求解上.

师：请大家想一想，该如何求△ABC的面积.

生5：可用割补法，过点A作AM⊥y轴于点M，则S△ABC=S梯形OBAM-S△OBC-S△ACM.

师：应用了割补法中的“补”，实现“化斜为直”，很好！

然后教师引导学生分析这里实际上是用“割”的办法：S△ABC=S△ADC+S△ADB.

生7：我觉得可以画出边BC的高AE，根据AE⊥BC，确定AE的表达式，然后求出AE的长，就能求出△ABC的面积.

此后，教师又向学生介绍了另一种思路：延长AC交x轴于点N，则S△ABC=S△ABN-S△CBN，从而计算出△ABC的面积.

接着教师引导学生总结坐标系中三角形面积的常用求法，归纳这些方法的共性.

评注本教学通过在一个图形中增加条件，思维层次不断提高，重点探究坐标系中三角形面积的求法，注重知识之间的相互关联与转化，注重问题本质的揭示和方法的提炼，渗透数学思想，有助于培养学生思维的深刻性.同时，教师不满足于问题的单一解决方法，引导学生从多个角度、利用多种方法解决问题，注意培养学生思维的发散性和广阔性.

片断4

图4

问题5如图4，若点P为该抛物线在第四象限上的一动点，你又能提出哪些问题？并尝试解决.

学生提出的主要问题有：

1)点P在什么位置时，△PBC为等腰三角形？

2)点P在什么位置时，△PBC为直角三角形？

3)过点P作y轴的平行线交BC于点E，PE的最大值是多少？

4)△PBC面积的最大值是多少？

教师肯定这4个问题都值得研究，然后引导学生重点探究后两个问题.

生8：设点P的横坐标为a，则P(a，a2-2a-3),E(a，a-3)，从而PE=yE-yP=-a2+3a,可求出PE的值大值.

师：这里建立了PE关于a的函数关系式，建立函数模型，很好！

生9：PE已经表示出来，就可以用生4的方法，即

就能求出△PBC面积的值大值.

图5

教师引导学生归纳后提出以下问题：

问题6如图5，试求点P到直线BC距离PQ的最大值.

师：很好，你把求PQ的最大值转化为求△PBC面积的最大值.能否不通过△PBC的面积，直接表示PQ的长？

教师引导学生归纳：可以把求△PBC面积的最大值转化为求PE的最大值；求PQ的最大值既可以转化为求△PBC面积的最大值，也可以直接转化为求PE的最大值.

图6

然后通过几何画板演示，让学生直观地感受到：过点P作BC的平行线PF，当PF与抛物线只一个公共点P时(如图6)，PQ最大，得到PQ最大值的另一种求法.

评注由定点变为动点，问题层层递进，自然流畅，通过学生自主设计问题，培养问题意识；通过一题多解，多题归一，在问题解决中提高学生利用二次函数解决有关线段最值、三角形面积最值问题的能力，增强学生的问题意识和应用意识，并且注意问题本质的揭示，渗透建模思想和化归转化思想.

2 教学思考

2.1 问题驱动激发思维

复习不能机械地重复，否则会让学生感觉枯燥，从而失去学习的兴趣，把能力培养降格为技能训练.复习课要推陈出新，上出新意，就要在教学设计上下功夫，努力做到复习形式创新，让学生在梳理知识的同时，感悟数学解题策略，提炼基本数学方法，从而达到增长智慧的目的[1].本节课摒弃了以往常见的“知识梳理—例题分析—巩固运用—拓展深化”复习课教学模式，巧妙运用一图贯穿一课，在一个图形中不断添加条件，设置系列化的问题，层层递进，逐步深入，不断衍生出需要复习的主干知识和重要的思想方法，这样的设计让人耳目一新，令人称赞.

课堂上一图多问，设置的问题不是常规的习题，而是开放性问题，甚至让学生自已提出问题.问题1结论开放，问题2条件和策略开放，这两问以题带点，引领学生全面回顾二次函数的性质和二次函数表达式的求法，问题3～5策略开放，重在引导学生解决二次函数背景下线段的长度、三角形的周长和面积、三角形面积最大值的求法.这5个问题相互关联，由易到难，由静态到动态，由特殊到一般，综合性逐步增强，立足学生潜能，激发学生思考.课堂上陈老师留给学生很多自己提出问题的机会，纵观学生的课堂表现，他们确实提出了不少具有思维含量的问题，特别是针对问题5，这表明学生知道研究动态问题的一般角度，能提出这些问题，是自主探究、深入思考的结果，是学生认识上的突进，这样层次分明的设计让学生充分感受数学知识的生长过程，有利于学生问题意识、创新能力的提升，有利于培养学生数学思维的发散性、广阔性和深刻性.

2.2 方法提炼彰显能力

陶行知说：“先生的责任不在教，而在教学，在教学生学.”数学复习课有别于新课教学，在夯实基础的前提下，要突出通性通法的归纳，展示问题的思维过程，让学生从中领悟基础知识、基本方法的应用，真正做到触类旁通，能从一个问题掌握一类问题，从一串问题探究一片知识，达到“讲一题，得一法，会一类，通一片”的效果，切实提高解题能力，增强数学应用意识.

本节课非常注重解题通法的提炼归纳，针对问题2，当添加点B(3，0)后，一个学生回答可以用顶点式来求抛物线的表达式后，教师马上追问“还有其他方式吗”，另一名学生回答“还可以用交点式，根据对称轴为直线x=1，可得与x轴另一个交点为(-1，0)，……”；接着又追问“可不可以设为一般式”，然后及时总结并板书二次函数的3种表达式，强化了用待定系数法确定二次函数表达式的基本技能，让学生经历方法的选择过程，体验解决问题方法的多样性，培养了学生的发散思维.在分析问题3时，教师也没有因为学生会求BC的长而忽视对解题方法的提炼，而是耐心地引导学生自主归纳出求“斜”线段长度的通法——“化斜为直”.在求解△ABC的面积时，教师也引导学生用多种方法进行解答，更重要的是，在教学过程中教师不是就题论题，而是通过不断追问，启迪学生的思考，引导学生反思这些割补法有哪些共同特征，提炼解题通法，让学生体会割补的目的是将求“斜”三角形面积问题转化为求水平线段(铅垂高)的长度，让学生“既知其然，也知其所以然”，直击问题本质，提高学生的归纳、概括能力，培养学生思维的深刻性.

2.3 思想引领落实素养

在复习课中，学生已具备较为全面的知识基础，教师更有条件在教学中有意识地向学生渗透数学思想，揭示数学本质，让学生在应用中体会感悟，在反思中明晰升华，让课堂因思想而厚重.本节课通过问题串联知识，用思想引领方法，抓住图形变化的核心，始终都有清晰的数学思维导向，让学生经历问题的逐渐递进、深度探究，从而提升核心素养.

本节课数学思想的渗透主要表现在3个方面：

一是数形结合思想，问题1～5从函数图像提取信息，到利用函数方法实现线段长度、三角形面积及点的坐标三者之间的相互转化，解决线段、面积的最值问题，淋漓尽致地体现了数形结合思想的应用.二是转化思想揭示问题本质，在问题5中，过点P作y轴的平行线交BC于点E，教师引导学生反思“求PE的最大值”“求△PBC面积的最大值”“求点P到直线BC距离PQ的最大值”这3个问题之间的联系，发现可以把求△PBC面积的最大值转化为求PE的最大值，求PQ的最大值既可以转化成求△PBC面积的最大值，也可以直接转化成求PE的最大值，通过转化思想，实现线段最值与三角形面积最值求解之间的深层突破，形成同类问题的解题策略.同样地，在问题4中，无论是生5还是生6的方法，都是通过对“斜”三角形的“割”或“补”，实现“化斜为直”，转化为“水平宽”和“铅垂高”，化陌生为熟悉，化复杂为简单，化未知为已知，实现新问题的不断解决.三是模型思想，问题5中引入动点P，学生提出线段长、三角形面积的最值问题后，教师引导学生通过构造二次函数实现最值问题的求解，充分感受二次函数模型的应用.数学思想是数学的灵魂，是开启数学知识宝库的金钥匙，在课堂教学中，应努力体现数学思想的引领，让学生在潜移默化中受到数学思想的熏陶，学会数学地思考，从而提升数学素养.

[1] 张宏政.一叶一菩提 一图一世界——直角三角形复习课的思考[J].中学数学教学参考：中旬，2015(3)：15-17.