破解三角函数最值问题的两种方法

■冯克永

三角函数的最值问题是高中数学的核心内容,也是高考考查的重点。此类问题的命题背景选择面广,常会形成知识交汇题。下面介绍两种有效的解题方法,供大家参考。

一、化为y=Asin(ωx+φ)+B 的形式求最值

根据所给解析式的特征,利用三角公式将所给解析式化为y=Asin(ωx+φ)+B的形式,再利用正弦函数的有界性求解。

解:先将角x统一为角2x,再利用辅助角公式求解。

二、化为二次函数的形式求最值

利用所给解析式的平方关系,通过换元将其转化为二次函数的最值问题求解。

例 3 求函数y=-cos2x-2asinx+5(a∈R)的最小值。

解:先把异名化为同名,再转化为二次函数求解。

y=-cos2x-2asinx+5=sin2x-2asinx+4(a∈R)。

令t=sinx,t∈[-1,1],则y=t2-2at+4=(t-a)2+4-a2,其对称轴方程为t=a。

所以当a≤-1,t=-1时,ymin=5+2a;当-1＜a＜1,x=a时,ymin=4-a2;当a≥1,t=1时,ymin=5-2a。

例4 求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值和最小值。

解:先整体降次,再转化为二次函数求解。

y=7-4sinxcosx+4cos2x(1-cos2x)=7-2sin2x+sin22x。

令t=sin2x,t∈[-1,1],则y=t2-2t+7=(t-1)2+6,其对称轴方程为t=1。

所以当t=1时,ymin=6;当t=-1时,ymax=10。