源自课本的四边形变式题

2018-05-07谢敏

初中生世界·九年级 2018年3期

例1 （2017·无锡）已知，如图1，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB=BF.

【来源分析】本题与苏科版《数学》八（下）第72页第3道習题的图形翻折变换后很相近.

【解题思路】本题考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是寻找三角形全等的条件.根据平行四边形的性质得到CD=AB，CD∥AB，从而将问题转化为证明BF=CD，BF、CD分别在△FEB和△DEC中，从而通过证明△DEC≌△FEB得到结论.

【解答过程】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，A、B、F共线，

∴CD∥AF，CD=AB，∴∠CDE=∠BFE，

又∵E是BC的中点，∴EB=EC.

在△DEC和△FEB中，

[∠CDE=∠BFE，∠DEC=∠FEB，EC=EB，]

∴△DEC≌△FEB（AAS），∴BF=CD，

又∵CD=AB，∴AB=BF.

【方法归纳】平行线与线段中点的条件组合，可以得到“8字”全等三角形基本图形.

例2 （2017·南京）如图2，在?ABCD中，点E，F分别在AD、BC上，且AE=CF，EF、BD相交于点O.求证：OE=OF.

【来源分析】本题源自苏科版《数学》八（下）第72页第6道习题的变式.

【解题思路】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定.解题的关键是结合已知寻找出三角形全等的条件.本题解答时可以先利用平行四边形的性质得到DE=BF，∠ADB=∠CBD，进而可证明△DOE与△BOF全等，即可得到OE=OF.

【解答过程一】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=CB，∴∠EDO=∠FBO，

又∵AE=CF，

∴AD-AE=CB-CF，即DE=BF，

在△DOE和△BOF中，

[∠EDO=∠FBO，∠DOE=∠BOF，DE=BF，]

∴△DOE≌△BOF（AAS），

∴OE=OF.

【一题多解】本题也可以运用平行四边形的性质与判定，证明出四边形BEDF是平行四边形，再运用平行四边形的对角线互相平分这一性质，即可证得OE=OF.

【解答过程二】证明：如图3，连接BE，DF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

又∵AE=CF，∴DE=BF，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∴OE=OF.

例3 （2017·兰州）如图4，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F.

（1）求证：△BDF是等腰三角形.

（2）如图5，过点D作DG∥BE，交BC于点G，连接FG交BD于点O.

①判断四边形BFDG的形状，并说明理由；

②若AB=6，AD=8，求FG的长.

图4 图5

【来源分析】本题与苏科版《数学》八（下）第95页第21题的变式相近.

【解题思路】本题综合考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定、勾股定理，解题的关键是利用（1）及（2）①的结论作跳板，解决（2）②.（1）根据平行线得到内错角相等及根据折叠的性质判断；（2）①根据两组对边分别平行证平行四边形，然后利用第一问证得邻边相等判断；②根据矩形性质求BD的长，根据BF=DF利用勾股定理列方程求BF，然后利用勾股定理求FO，最后利用菱形性质得FG的长.

【解答过程】（1）证明：由折叠得，

△BDC≌△BDE，∴∠DBC=∠DBE.

又∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∴∠DBC=∠FDB，

∴∠DBE=∠FDB，∴DF=BF，

∴△BDF是等腰三角形.

（2）①四边形BFDG是菱形.理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，∴FD∥BG.

∵DG∥BE，

∴四边形BFDG是平行四边形.

∵DF=BF，∴?BFDG是菱形.

②解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°.