推理与证明测试题（A卷）

■甘肃省秦安县第二中学 罗文军

一、选择题

1.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cosx)'=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于( )。

A.f(x) B.-f(x)

C.g(x) D.-g(x)

3.有这样一段演绎推理“有些有理数是真分数,整数是有理数,则整数是真分数”,结论显然是错误的,是因为( )。

A.大前提错误 B.小前提错误

C.推理形式错误 D.非以上错误

4.类比平面内正三角形的“三边相等,三内角相等”的性质,可推知正四面体的下列性质,你认为比较恰当的是( )。

①各棱长相等,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等;

②各个面都是全等的正三角形,相邻两个面所成的二面角都相等;

③各个面都是全等的正三角形,同一顶点上的任意两条棱的夹角都相等。

A.① B.①② C.①②③ D.③

A.1 B.1+2

C.1+2+3 D.1+2+3+4

6.甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师成语竞赛的成绩。老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩。看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩。根据以上信息,可判断( )

A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

8.下面几种推理中是演绎推理的是( )。

A.因为y=2x是指数函数,所以函数y=2x经过定点(0,1)

C.由“平面内垂直于同一直线的两条直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两条平面平行”

D.由平面直角坐标系中圆的方程为(xa)2+(y-b)2=r2,推出空间直角坐标系中球的方程为(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=r2

9.若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:a∈R,结论是:a2＞0,那么这个演绎推理出错在( )。

A.大前提 B.小前提

C.推理过程 D.没有出错

10.在证明f(x)=2x+1为增函数的过程中,有下列四个命题:①增函数的定义是大前提;②增函数的定义是小前提;③函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是大前提;④函数f(x)=2x+1满足增函数的定义是小前提。其中正确的命题是( )。

A.①④ B.②④

C.①③ D.②③

11.应用反证法推出矛盾的过程中,可作为条件使用的是( )。

①结论的否定即假设;②原命题的条件;③公理、定理、定义等;④原命题的结论。

A.①② B.①②④

C.①②③ D.②③

12.用反证法证明命题:“设a,b为实数,则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是( )。

A.方程x2+ax+b=0没有实根

B.方程x2+ax+b=0至多有一个实根

C.方程x2+ax+b=0至多有两个实根

D.方程x2+ax+b=0恰好有两个实根

13.用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线,则直线AC、BD也是异面直线”的过程归纳为以下三个步骤:

①则A、B、C、D四点共面,所以直线AB、CD共面,这与直线AB、CD是异面直线矛盾;②所以假设错误,即直线AC、BD也是异面直线;③假设直线AC、BD是共面直线。

则正确的序号顺序为( )。

A.①②③ B.③①②

C.①③② D.②③①

14.否定结论“自然数a,b,c中恰有一个偶数”时,正确的反设为( )。

A.a,b,c都是奇数

B.a,b,c都是偶数

C.a,b,c中至少有两个偶数

D.a,b,c都是奇数或至少有两个偶数

15.设实数a、b、c满足a+b+c=1,则a,b,c中至少有一个数不小于( )。

A.都大于2 B.至少有一个不大于2

C.都小于2 D.至少有一个不小于2

17.对于定义在实数集R上的函数f(x),如果存在实数x0,使f(x0)=x0,那么x0叫作函数f(x)的一个好点。已知函数f(x)=x2+2ax+1不存在好点,那么a的取值范围是( )。

C.(-1,1)

D.(-∞,-1)∪(1,+∞)

18.若1＜x＜10,则下面不等式正确的是( )。

A.(lgx)2＜lgx2＜lg(lgx)

B.lgx2＜(lgx)2＜lg(lgx)

C.(lgx)2＜lg(lgx)＜lgx2

D.lg(lgx)＜(lgx)2＜lgx2

19.设x1,x2是方程x2+px+4=0的两个不相等的实数根,则( )。

A.|x1|＞2,且|x2|＞2

B.|x1+x2|＜4

C.|x1+x2|＞4

D.|x1|=4,且|x2|=16

20.观察下列各式:55=3125,56=15625,57=78125,…,则52011的末四位数字为( )。

A.3125 B.5625

C.0625 D.8125

A.nnB.n2C.n D.n+1

A.sinθ≥0或cosθ≥0

B.sinθ＜0且cosθ＜0

C.sinθ＜0或cosθ＜0

D.sinθ＞0且cosθ＞0

23.“四边形ABCD是矩形,所以四边形ABCD的对角线相等”,补充该推理的大前提是( )。

A.正方形的对角线相等

B.矩形的对角线相等

C.等腰梯形的对角线相等

D.矩形的对边平行且相等

A.1 B.2 C.3 D.4

A.1 B.15

26.某个命题与自然数n有关,若n=k(k∈N*)时命题成立,那么可推得当n=k+1时该命题也成立,现已知n=5时,该命题不成立,那么可以推得( )。

A.n=6时该命题不成立

B.n=6时该命题成立

C.n=4时该命题不成立

A.7 B.8 C.9 D.10

A.1项 Bk.项

C.2k-1项 D.2k项

29.用数学归纳法证明“当n为正奇数时,xn+yn能被x+y整除”的第二步是( )。

A.假设n=2k+1时正确,再推n=2k+3时正确(其中k∈N*)

B.假设n=2k-1时正确,再推n=2k+1时正确(其中k∈N*)

C.假设n=k时正确,再推n=k+1时正确(其中k∈N*)

D.假设n≤k(k≥1)时正确,再推n=k+2时正确(其中k∈N*)

30.把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表。设aij(i,j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数,如a42=8。若aij=2009,则i与j的和为( )。

1

2 4

3 5 7

6 8 10 12

9 11 13 15 17

14 16 18 20 22 24

……

A.105 B.106 C.107 D.108

二、填空题

33.已知定义在R上的函数f(x)是奇函数,且满足f(x)=f(x+3),f(-2)=-3。若数列{an}中,a1=-1,且前n项和Sn满足

34.回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数。如22,121,3443,94249等。显然两位回文数有9个:11,22,33,…,99。三位回文数有90个:101,111,121,…,191,202,…,999。则:

(1)四位回文数有____个;

(2)2n+1(n∈N*)位回文数有____个。

35.下列命题适合用反证法证明的是____。

(3)关于x的方程ax=b(a≠0)的解是唯一的;

(4)同一平面内,分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交。

36.用反证法证明命题:“三角形的三个内角中至少有一个不大于60°”时,假设应该是____。

38.一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2…xn(n∈N*),其中xk(k=1,2,…,n)称为第k位码元,二元码是通信中常用的码,但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1,或者由1变为0)。

已知某种二元码x1x2…x7的码元满足如下校验方程组

其中运算⊕定义为:0⊕0=0,0⊕1=1,1⊕0=1,1⊕1=0。

现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101,那么利用上述校验方程组可判定k等于____。

39.已知甲、乙、丙3人恰好都去过北京、上海中的某一个城市,3人分别给出了以下说法:

甲说:“我去过上海,乙也去过上海,丙去过北京。”

乙说:“我去过上海,甲说得不完全对。”

丙说:“我去过北京,乙说得对。”

已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对,则去过北京的是____。

41.设函数f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,若则实数a的取值范围是____。

42.已知平面α∩平面β=直线a,直线b⊂平面α,直线c⊂平面β,b∩a=A,c∥a,求证:b与c是异面直线。若利用反证法证明,则应假设____。

三、解答题

43.对于一切n∈N*,求证:(2n+7)·3n+9可被36整除。

44.已知数列{an}的通项公式为an=,求证:对于任意的n∈N*,不等式a1+a2+a3+…+an＜2n都成立。

45.已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1,求证:a,b,c至少有一个大于

46.如图1,已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点,点A是长轴的右顶点,BC过椭圆

图1

(1)求椭圆的方程。

(2)若过C关于y轴对称的点D作椭圆的切线DE,则AB与DE有什么位置关系?证明你的结论。

48.设实数a,b,c成等比数列,非零实数x,y分别为a与b,b与c的等差中项,证明:

49.已知数列{an}的前n项和Sn满足:

(1)求a1,a2,a3,并猜想{an}的通项公式;

(2)使用数学归纳法证明通项公式的正确性。