复数知识要点归纳

■河南省开封高级中学1808班 张泽润

常言道:纲举才能目张。学习复数也是如此,我们只有抓住重点,才能达到事半功倍的效果。为此,建议同学们学习复数时应牢牢抓住以下几个重要知识点。

一、复数的有关概念

1.复数的概念:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,其中a,b分别是它的实部和虚部。若b=0,则a+bi为实数;若b≠0,则a+bi为虚数;若a=0且b≠0,则a+bi为纯虚数。

2.复数相等:a+bi=c+di⇔a=c且b=d(a,b,c,d∈R)。

3.共轭复数:a+bi与c+di共轭⇔a=c,b=-d(a,b,c,d∈R)。

例1 (1)设x∈R,则“x=1”是“复数z=(x2-1)+(x+1)i为纯虚数”的____(选填充分不必要条件、必要不充分条件、充分必要条件和既不充分也不必要条件)。

解析：因为a+bi=__5__=1-2i(a,b∈1+2i R),所以a=1,b=-2,ab=-2。

(4)设复数z=-1-i(i为虚数单位),z的共轭复数为z,则可得|(1-z)·|=____。

【友情提示】解决复数概念问题的方法及注意事项:

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可。

(2)解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部。

二、复数的几何意义

例2 (1)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=___

解析：由题意可知z2=-2+i,所以z1z2=(2+i)·(-2+i)=i2-4=-5。

(3)已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若(λ,μ∈R),则λ+μ的值是____。

【友情提示】对复数几何意义的理解及应用要注意以下事项:

(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系,因此可把复数、向量与解析几何联系在一起,解题时可运用数形结合的方法,使问题的解决更加直观。

三、复数的代数运算

(一)复数的乘、除运算法则

设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则:

(1)乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i。

(二)复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=z2+z1,(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)。

【友情提示】复数代数形式运算问题的解题策略如下:

(1)复数的乘法:复数的乘法类似于多项式的四则运算,可将含有虚数单位i的看作一类同类项,不含i的看作另一类同类项,分别合并即可。

(2)复数的除法:除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数,解题中要注意把i的幂写成最简形式。

(3)在进行复数的代数运算时,记住以下结论,可提高计算速度。如(1±i)2=±2i;1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,n∈N*等。