简约·直观·运动——从“梯形的面积”教学中的一道练习题说起

□ 张伟明 刘琴霞

【教学回顾】

这是一节常态的练习课，内容是“梯形的面积”。在回忆了梯形的面积计算公式的推导过程及计算方法之后，笔者给出了这样一道题：

计算以下三个图形的面积，你有什么发现？

学生很快就算出三个图形的面积是“31.5”，并发现“虽然形状不同，但上底下底相同，高也相等，所以面积也相等”。还有几个在自言自语：“老师，你出的题也太简单了！”

师：“那么我来提高一点难度怎么样？”

“好！”全班几乎异口同声。

“请观察最后一个梯形，如果上底增加1，下底减少1，请计算出新的梯形面积。”

学生很快就计算出了新图形的面积是“（4+5）×7÷2=31.5”“还是简单！”

“那么上底减少2，下底增加2，面积是多少？”

“（1+8）×7÷2=31.5”

“怎么回事，上底和下底变来变去的，面积怎么都没有改变啊？”

“因为上底和下底增加和减少的刚好抵消了嘛！”学生小A说。

“因为老师出的上底和下底的和一直是9，高一直是7，梯形面积当然不会变。”小B补充说。

“哦，原来是这样，”学生“恍然大悟”，“那么你能不能照样子来设计一道题，使图形面积还是31.5呢？”学生纷纷发表意见，重新设计了好几组上、下底的数量，其中包括一组是8.5和0.5的，“这位同学设计得比较有新意，别人的数据都是整数，他却是小数，不知道对不对？”“对的，上下底之和只要还是9就是对的。”“那么上下底有相差更大的吗？”

一个学生迫不及待地说：“有的，上底是0.0000001，下底是8.9999999。还有更小的。”

“上底能不能继续小下去，直到……”我一边说一边把手指到沿着梯形的两腰向一端靠近直到并拢。

“直到上底变成0，下底就是9，”一个学生顺着我的意思说，“这样行不行？”

学生显然愣住了，过了一会，小A大声叫起来：“可以的！”

小B接着说：“对的，这样就是一个三角形啦！”

“可是这是梯形呀！”小C反对着，大声反驳前两位同学。

“唉呀，我来说，”小B不等我同意，自顾自地跑到屏幕前指着图说，“这时候梯形的面积是（9+0）×7÷2=31.5，而三角形的面积是这样算的，9×7÷2=31.5，面积还是相等的，三角形是一个上底为0的特殊的梯形！”

笔者观察其他学生的反应，直到大部分学生认同了，“对他的看法，其他同学有没有意见？”学生都表示没有意见，于是笔者表扬了小B同学能动脑动手，能把前后知识联系起来思考。

这时平时数学课较沉默的小D在下面犹豫着举起了手，笔者请她来发表意见，小D走到黑板上，自顾自地画起来，先画了一个梯形，在梯形上又画了一个长方形，然后指着梯形说：“如果这个梯形的上底和下底变成一样长，都是4.5了，就变成这个长方形的样子，面积是4.5×7=31.5，按梯形的方法算是（4.5+4.5）×7÷2=31.5，面积也是一样的。”

这是笔者没有想到的问题，于是在脑子里飞快地思索着，想着怎么来回应她，小E和同桌商量了一下，也举手了，“老师，我们觉得小D也是对的，但是如果不是长方形的话，是平行四边形也是一样的。”

“平行四边形的样子，同学们能想象出来吗？”笔者把长方形的形状向右边倾斜了一下，学生纷纷点头表示赞同。

【教学思考】

课后，学生还在纷纷交流课堂上的这道题。细细想来，当天在课堂练习构建上，亮点颇多，主要有以下三点。

（一）构建支架，于简约处激发认知

随着新课改的持续推进，数据的层次性越发凸显，过度强调的计算化也牵绊了学生的思考，往往不能直指问题的核心，缺少对问题延伸的思考。

基于对“梯形的面积”一课的常态思考，以及对梯形面积计算方法的定位，笔者删减了对数据的人为障碍，以极简数据构建图形支架。同时，通过对图形的类比，学生很快就发现了图形共同之处在于面积的相同，正是这组不“寻常”的简单数据，自然而然就激发了对更高层次学习任务的需求，为进入情境、独立思考、协作学习奠定基础。好的练习也应如此，通过对数据、形式的简单刻画，勾勒助推学生思考的画作，激发学生高水平的认知。

（二）凸显本质，于直观处达成认知

这一组题的设置，遵循了学生的认知发展规律，从直观图形、简单数据的介入到变化图形的认识，又因为学生在平行四边形、三角形的学习中均对等底等高图形面积相等有了较为深刻的认知，因此上下底相同的梯形纳入平行线间进行观察比较是顺理成章的，也是学生喜闻乐见的，在比较中学生发现，其实真正对梯形的面积起决定性作用的不是别的，而是梯形的上、下底的和以及高，把等底等高迁移到梯形中来，凸显梯形本质的同时也是为学生多样化思考、层次化认知，抽象出相关结论搭建了平台，学生的课堂参与度、学习效果自然也是非常可观的。

（三）沟通联系，于运动处升华认知

本题的精妙之处还在于，不仅关注了知识的形成，还构建了知识的联系。学生在观察、对比后，已经对梯形的上下底和的认识异常深刻，笔者适时以言语激发学生独立思考、主动探索、合作交流的内需，同时从整数到小数的有序反馈，无限逼近学生头脑中蕴含着的那个梯形，笔者最后以“上底能不能继续小下去，直到……”这样的问题打破了梯形面积公式只能计算梯形面积的模型，沟通梯形与三角形的内在联系，丰富了梯形的内涵。学生在这种无形的运动中，打破固有枷锁，收获成功喜悦。配合特定板书，学生很快又继续运动想象，沟通了梯形与平行四边形的联系，然而这并不是结束，在学生运动到倒三角形后惊喜发现，当b=0时梯形的面积公式就变成了ah÷2，这就是三角形的面积公式。顺理成章，他们又发现a=b也可以推导出平行四边形的面积公式，就是ah。尽管梯形面积计算公式来源于平行四边形和三角形，但是反过来它又能用于平行四边形和三角形的面积计算！

如俞正强老师在《种子课》一书中所言，“种子的力量在于生长，在小学数学中，每一块知识都可以描述为从生活中来、到生活中去的一个过程，这个过程具有内在联系，如果将这种内在联系的延续性视为生命过程……”这道练习题就具备了这样的力量，长于梯形，延于平行四边形、三角形，最终又成于梯形。试问，这样的练习怎能不扣动学生的心弦？