一种新型类偏心圆非圆齿轮设计及其应用

叶 军 陈建能 赵 雄 孙新城 夏旭东 高奇峰

1.浙江理工大学机械与自动控制学院，杭州，3100182.浙江工业职业技术学院机械工程学院，绍兴，3120003.浙江省种植装备技术重点实验室，杭州，310018

0 引言

偏心圆非圆齿轮节曲线简单、加工方便，在非匀速传动系统中得到了较为广泛的应用[1-4]。陈明等[5]设计了一种由两对偏心圆非圆齿轮副驱动的叶片差速泵，并根据非圆齿轮副的封闭条件、泵体结构参数及叶片转角关系，得到了偏心圆非圆齿轮副节曲线。范素香等[6-7]设计了由偏心圆非圆齿轮和偏心圆变位非圆齿轮组成的传动机构，以确保偏心圆非圆齿轮副在传动过程中的齿侧齿隙不变，并采用齿条包络的方法得到非圆齿轮的齿廓。俞高红等[8-9]将偏心圆非圆齿轮应用于一种高速水稻插秧机旋转式分插机构，并通过优化插秧轨迹和姿态，来满足高速水稻插秧机前插式作业要求。王英等[10]通过偏心圆非圆齿轮与椭圆齿轮组合,设计了一种偏心-椭圆齿轮行星轮系栽植装置。

一般偏心圆非圆齿轮副节曲线形状是由偏心距和半径两个参数决定，可调参数少。笔者曾提出一种高阶变性偏心共轭非圆齿轮，并推导了该齿轮节曲线方程，虽然增加了变形系数和阶数两个参数，提高了传动特性优化的灵活性，但还是不能很好地满足一些特殊情况的传动比变化要求[11]。为此，本文在偏心圆切线极坐标方程基础上，构造一种新型类偏心圆非圆齿轮节曲线方程，并建立了该类非圆齿轮的凹凸性判断和弧长计算模型，分析了其传动特性，同时编写了辅助设计及运动仿真软件，并应用于卧式枕形包装机横封机构的设计以更好地满足包装袋横封的工艺要求。

1 一般偏心圆切线极坐标方程

图1所示为一般的偏心圆曲线，半径为R，其圆心O在定直角坐标系O1XY上的坐标为(e，b)。选取偏心圆曲线上任意点B，作B点的切线t，并从转动中心O1作垂线交于切线t于N点，线段O1N的长度为P，O1N与X轴正方向夹角为θ，点B到O1的距离为r1，根据切线极坐标的定义，P与θ之间的函数关系即为一般偏心圆切线极坐标方程[12]。为了获得偏心圆非圆齿轮节曲线方程，设转动中心与圆心之间连线O1O与X轴正方向夹角为γ，并通过O点作O1N的垂线交于E点。

图1 一般偏心圆曲线Fig.1 The general eccentric curve

根据几何关系得到

P=R+O1E

(1)

O1E=O1Ocos(γ-θ)

(2)

(3)

tanγ=b/e

(4)

根据式(1)～式(4)，可以得到偏心圆切线极坐标方程为

P(θ)=bsinθ+ecosθ+R

(5)

使用极坐标表示方法，一般偏心圆曲线的方程为

(6)

式中，φ1为偏心圆曲线的极径r1与X轴的夹角。

从上可以得出：该偏心圆曲线的切线极坐标方程(式(5))相对于极坐标方程(式(6))的表达方式简洁明了。

2 类偏心圆非圆齿轮构造

2.1 类偏心圆非圆齿轮节曲线方程

在偏心圆切线极坐标方程基础上，在余弦函数与正弦函数上增加幂指数k、l，构建一种新型的非圆齿轮，称之为类偏心圆非圆齿轮，其主动轮节曲线切线极坐标方程为

P(θ)=bsinkθ+ecoslθ+R

(7)

由式(7)可知，P是以θ变化2π为周期的周期函数，因此由该方程构成的曲线是封闭的。

为了计算与类偏心圆非圆齿轮共轭的非圆齿轮节曲线方程，需将主动轮切线极坐标方程通过下式转化为直角坐标方程或者极坐标方程：

(8)

(9)

(10)

式中,μ为类偏心圆非圆齿轮主动轮节曲线的极径与该点切线的夹角。

将式(7)的节曲线方程代入式(8)、式(9)或者式(10)可以求得唯一的r1(φ1)。

由非圆齿轮副传动原理可知,从动非圆齿轮节曲线方程为[2]

(11)

式中，a为类偏心圆非圆齿轮副中心距。

要使从动非圆齿轮节曲线封闭，由

(12)

可以求出中心距a，最终代入式(11)可得到与类偏心圆非圆齿轮共轭的非圆齿轮节曲线方程。

2.2 类偏心圆非圆齿轮的凹凸性判断与弧长计算模型

2.2.1凹凸性判断模型

根据范成法加工非圆齿轮齿廓的要求，主从动非圆齿轮节曲线应保持凸性，因此必须对节曲线的凹凸性进行校验。

类偏心圆非圆齿轮节曲线采用切线极坐标表示，因此将式(8)对θ进行求导，得

(13)

设类偏心圆非圆齿轮节曲线的弧长用L表示，它是θ(0≤θ≤2π)的单调增函数，则该类节曲线的曲率半径ρ1可表示为

(14)

将式(7)代入式(14)可以得类偏心圆非圆主动轮无内凹的条件：

b(1-k)sinkθ+e(1-l)coslθ+bk(k-1)sink-2θcos2θ+
el(l-1)cosl-2θsin2θ+R>0

(15)

与类偏心圆非圆齿轮共轭的从动轮节曲线上各点的曲率半径ρ2可以由欧拉-萨伐里公式求出[11]，其公式为

(16)

由式(10)、式(11)、式(14)可得类偏心圆非圆从动轮无内凹的条件:

(17)

2.2.2弧长计算模型

若类偏心圆非圆齿轮节曲线的弧长用L表示，则由曲线弧长公式可得

(18)

(19)

当P(θ)=-P(θ+π)时，可以求出L=2πR。

3 类偏心圆非圆齿轮传动特性分析

3.1 正弦参数对类偏心圆非圆节曲线的影响

类偏心圆非圆齿轮节曲线切线极坐标方程由正弦函数与余弦函数两部分组成，其传动比的变化主要取决于这两个部分的参数变化。余弦函数与正弦函数的相位角相差90°，因此只讨论正弦函数对类偏心圆非圆节曲线的影响。

当e=0和主动轮角速度为ω=1 rad/s时，类偏心圆非圆齿轮节曲线只有正弦函数部分组成，根据类偏心圆非圆齿轮节曲线切线极坐标方程，可知当k=1时即为标准的偏心圆非圆齿轮表达式。选取不同的幂指数，令k=1、2、3，b=2 mm，R=12 mm，可以得到类偏心圆非圆齿轮节曲线、传动比变化曲线以及从动轮的角加速度曲线，如图2～图4所示。由图2、图3可知，不同的幂指数k对类偏心圆非圆齿轮的传动比有不同的影响，k=2时传动比的周期增加一倍并且具有对称性，但传动比的最大、最小值也相应减半；由图4可知，当k=3时传动比曲线在一个周期中最大、最小值附近的角加速度变化大。

1.k=1 2.k=2 3.k=3图2 不同的幂指数k的类偏心圆非圆齿轮节曲线Fig.2 The pitch curves of the new generalized noncircular gears with different power exponent k

图3 不同的幂指数k对应的传动比i21曲线Fig.3 The transmission ratio curves i21 with different power exponent k

图4 不同的幂指数k对应的从动轮的角加速度曲线Fig.4 The angular acceleration curves of the driven gears with different power exponent k

选取不同的偏心距，令b=2，4，8 mm，k=2和R=12 mm，可以得到类偏心圆非圆齿轮节曲线、传动比变化曲线以及从动轮的角加速度曲线，如图5～图7所示。由图5～图7可知，类偏心圆非圆齿轮节曲线的偏心距变化与偏心圆非圆齿轮节曲线的变化是一致的，都可以使得传动比的变化范围增大，角加速度也相应变大。

1.b=2 mm 2.b=4 mm 3.b=8 mm图5 不同偏心距的类偏心圆非圆齿轮节曲线Fig.5 The pitch curves of the new generalized noncircular gears with different eccentricities

图6 不同偏心距对应的传动比i21曲线Fig.6 The transmission ratio curves i21 withdifferent eccentricities

图7 不同偏心距对应的从动轮角加速度曲线Fig.7 The angular acceleration curves of the driven gears with different eccentricities

3.2 不同组合的幂指数对类偏心圆非圆齿轮节曲线影响

由3.1节可知，类偏心圆非圆齿轮节曲线方程中幂指数不同对传动比影响较大，因此当取不同余弦和正弦函数幂指数参数时，可以得到不同的传动比变化规律。通过以下具体的实例进行比较。

令b=2 mm、e=2 mm、R=12 mm，分别选取不同组合的幂指数k=1、l=1，k=2、l=1，k=3、l=1，k=3、l=2，k=3、l=3，可以得到类偏心圆非圆齿轮节曲线、传动比变化曲线及从动轮角加速度，如图8所示。

(a)类偏心圆非圆齿轮节曲线

(b)传动比变化曲线

(c)从动轮的角加速度1.k=1,l=1 2.k=2,l=1 3.k=3,l=14.k=3,l=2 5.k=3,l=3图8 不同的幂指数组合的类偏心圆非圆齿轮传动特性Fig.8 The transmission characteristics of the new generalized noncircular gears with different power exponent

从图8中可以发现，类偏心圆非圆齿轮传动比变化曲线仍然保持偏心圆非圆齿轮的对称性质，但传动比曲线出现了多样性，呈现多种变化的规律，如当k=3、l=2时，类偏心圆非圆齿轮传动比在前半段基本保持不变，在转角为150°～200°区间，呈现正弦变化规律，并且在此区间内加速度变化比标准偏心圆非圆齿轮快。

综上可知，类偏心圆非圆齿轮节曲线切线极坐标方程包含了标准偏心圆非圆齿轮节曲线表达式，可以说是偏心圆非圆齿轮的一种广义定义。通过对类偏心圆非圆齿轮节曲线参数进行选择，可以满足更多、更广的传动特性要求。

4 辅助分析软件编写及应用

4.1 辅助分析软件编写

根据第2节建立的类偏心圆非圆齿轮设计和分析数学模型，利用MATLAB编写了可视化的类偏心圆非圆齿轮辅助设计及运动仿真软件，如图9所示。

图9 类偏心圆非圆齿轮设计与仿真软件界面Fig.9 The new generalized noncircular gear design and simulation program interface

该软件根据输入参数R、e、k、l、b，可求得中心距a和各种类偏心圆非圆齿轮的节曲线，同时可计算出传动比、角速度及角加速度等，并可进行凹凸性判断。根据输入参数的变化可实时地计算并且输出参数和运动学曲线，同时进行类偏心圆非圆齿轮的运动模拟。

在计算过程中，利用式(12)计算类偏心圆非圆齿轮中心距a是一个积分过程，本软件中采用数值积分法得到一个近似解，基于变步长、牛顿-柯特斯法，采用MATLAB中quadl函数来求定积分[13]。在计算时，首先给定一个中心距a的初始值，并且给定精度，通过迭代法的思想逼近并且求出中心距a的近似值。

4.2 应用

4.2.1横封机构的工艺要求

卧式枕式包装机属于接缝式包装机，集制袋、裹包、封口、切断等功能为一体。其中横封机构是封口的重要执行机构，其性能好坏直接影响到包装产品的质量[14]。横封工艺主要由对滚封切器完成，被加热的封切器在转动过程中压向包装袋中间间隙，包装袋被热封，与此同时封切器中切刀切断包装袋，使其成为独立包装袋,具体运动过程如图10所示。

1.对滚封切器 2.包装袋图10 卧式枕形包装机横封运动过程Fig.10 The transverse seal movement of horizontal pillow packaging machine

对滚封切器旋转一周可以分为空程区、封切区及退让区，其工艺要求如下：①在封切区时，要求匀速或近似匀速转动，使封切器线速度与包装袋输送的速度相等;②在空程区时，速度尽量快，以提高效率；③在退让区时，封切器切断包装袋后需加速退让，以保证具有一定包装高度的物品通过对滚横封器并保留空隙。可见，封切器在一个周期内是做不等速运动的，传统的横封机构中常采用偏心圆、偏心链轮或者双曲柄摇杆机构等实现不等速运动[15-16]。

4.2.2满足横封机构工艺要求的类偏心圆非圆齿轮设计

类偏心圆非圆齿轮驱动横封机构(图11)，运动过程为包装袋由左往右运动，对滚封切器相对滚动，封切器处在中间位置时切断包装袋，具体如图12所示。根据横封器与包装袋运动速度同步可得

(20)

式中，v为包装袋运动速度；ω为类偏心圆非圆齿轮主动轮角速度；L2为对滚的封切器中心距；i21min为类偏心圆非圆齿轮传动的最小传动比。

1.类偏心圆非圆齿轮副 2.传动齿轮 3.对滚封切器图11 类偏心圆非圆齿轮驱动的横封机构Fig.11 The transverse seal mechanism with new generalized noncircular gear

图12 横封机构运动分析图Fig.12 The motion analysis of this transverse seal mechanism

设所需的包装高度为h，由几何关系可以得到

β=α+arccos[(L2-h)/L2]

(21)

式中，β为横封器由切断位置到离开位置的转角；α为横封器边缘和中心线的夹角。

为了使包装袋能顺利通过横封器并保留合理间隙，需要让封切器退让区转角满足以下条件：

(22)

式中，φ1=0处为对滚封切器速度最小位置；l2为被包装物离切断边缘距离。

(23)

将设计参数代入式(21)、式(23)，得到该型横封机构的类偏心圆非圆齿轮传动比最小值i21min=0.679 1，横封器由切断位置到离开包装物的转角β=43.55°。

根据设计要求，给定类偏心圆非圆齿轮参数R=30 mm，对该新型横封机构的类偏心齿轮参数进行优化设计。

(1)目标函数建立。根据上文可知，横封器从切断位置到离开包装物的退让区转角越大，能包装的物品越高，因此优化的目标函数为

(24)

其中，φ1=0时对滚封切器速度最小。

(2)约束条件。节曲线应该是凸的，即节曲线的曲率半径ρ1>0，ρ2>0；为保证热封、切断时匀速或近似匀速转动，类偏心齿轮传动比最小值i21min=0.679 1。

(3)优化结果。根据设计要求，选取类偏心齿轮参数的取值范围如下： 0≤b≤10 mm、0≤e≤10 mm,运用MATLAB中的fmincon优化工具箱中的函数寻找类偏心齿轮驱动的横封机构的优化目标函数的最大值。选取不同幂指数得到优化结果,如表1所示。

表1 不同幂指数的类偏心齿轮优化

设类偏心圆非圆齿轮节曲线参数R=30 mm、b=5.68 mm、e=5.67 mm、k=3、l=3，通过数值计算得到中心距a=60.13 mm，i21min=0.679 2，横封器退让区转角为52.47°,大于β。根据式(19)计算得到主从动轮弧长L=60π，因此选取主从动齿轮模数m=2 mm，得到主从动齿数Z=30，建立齿轮副齿廓，得到该齿轮啮合图见图13。

图13 卧式枕形包装机类偏心圆非圆齿轮副及其节曲线Fig.13 The new eccentric noncircular gear pair and its pitch curve in the transverse seal mechanism

如果采用其对应的传统偏心圆非圆齿轮节曲线参数(R=30 mm、b=0.19 mm、e=5.53 mm、k=1、l=1)，横封器退让区转角为41.10°，小于β，不符合设计要求。优化后的类偏心圆非圆齿轮与偏心圆非圆齿轮的传动特性对比如图14所示。

1.偏心圆非圆齿轮传动比 2.类偏心圆非圆齿轮传动比图14 优化的类偏心圆非圆齿轮与偏心圆传动特性Fig.14 The transmission characteristics of new optimal eccentric noncircular gear and eccentric noncircular gear

对比两个非匀速齿轮的传动比曲线可以得出类偏心圆非圆齿轮运用在卧式枕形包装机上有以下优势：①相比于偏心圆非圆齿轮，该类偏心圆非圆齿轮在退让区具有较快的加速度，能够让更高高度的物品通过横封器，适用于更多物品包装;②类偏心圆非圆齿轮传动比变化规律灵活，能够更好地满足其他的热封、切断工艺要求。

5 结论

(1)提出了一种类偏心圆非圆齿轮节曲线，推导出了该类非圆齿轮副主从动轮的节曲线方程。

(2)采用切线极坐标表达方式，类偏心圆非圆齿轮节曲线及其共轭的非圆齿轮节曲线表达式简洁，凹凸性判断和弧长计算模型简单。

(3)相比于一般的偏心齿轮,类偏心圆非圆齿轮具有更好的设计灵活性，可满足更多的非匀速传动特性要求。

(4)将该类型非圆齿轮用于驱动卧式枕形包装机横封机构，更好地满足了横封工艺要求。

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