解导数试题中常见的问题与对策——来自阅卷场和研讨会的报告

□ 海南华侨中学 李玉玲 李红庆

下面借2017年高考数学第（II）理科第21题第（1）问，谈谈解导数试题常见的问题与对策．先看试题：

已知函数 f（x）＝ax2－ax－xlnx，且 f（x）≥0。（1）求 a；

（2）证明：f（x）存在唯一的最大值 x0，且 e﹣2﹤f（x0）﹤2﹣2。

函数和应用导数研究函数的性质的教学缺少建立数与形、式与式的联系过程，缺失利用图像理解和解决问题的直观想象素养的培养，含参数a的函数xg（x）＝ax2－ax－xlnx 与 g（x）＝ax－a－lnx 的图像随参数a的变化规律，应该借用几何画板等软件拖动参数，观察与体验两函数图像随参量的变化规律，教学中学生需要这个感受与体验过程，学生需要建立数与形、式与式的相互联系的思维品质的养成。

也许是前几年试题中，使用“若f（x）≥0，则f＇（x）≥0”歪打正着能撞运气撞到参量a临界点值，如2010 年高考试题中的 f（x）＝ex－1－x－ax2，f＇（x）＝ex－1－2ax≥（1－2a）x 都是恰好在定义域[0,＋∞)的端点x＝0时取值，今年阅卷中发现大量使用 “若f（x）≥0，则 f＇（x）≥0”，这充分暴露了教学中，没有搞清 f＇（x）的符号仅与 f（x）的单调性的关系，而 f＇（x）≥0 与 f（x）≥0 并充要关系。

1.探寻充分条件证明其必要性的方法。

第一步，求定义域，等价转化，盘活题目：

f（x）的定义域为(0,＋∞)，由 x﹥0，f（x）≥0，得ax－a－lnx≥0 恒成立，令 h（x）＝ax－a－lnx。

第二步，探寻充分性：

当 a＝1 时，由 lnx≤x－1（当且仅当 x＝1 时，等号成立），所以当 a＝1 时，h（x）≥0，即 f（x）≥0 恒成立，所以“a＝1”是“当任意 x﹥0 时，f（x）≥0 恒成立”的充分条件。

第三步，证明必要性：

（i）当 a≤0 时，彐 x﹥1，h（x）＝a(x－1)－lnx﹤0，所以 h（x）≥0 不恒成立，即 f（x）≥0 不恒成立（此情形下不须用导数就能得到结果）。

（ii）当 0﹤a﹤1 时，h＇（x）＝a－ l x （xl

x ＝a·l

a ），当 x∈(1,l a)，使得 h（x0）﹤h（1）＝0，即 f（x）≥0 不恒成立。

（iii）当 a﹥1 时，h＇（x）＝a－l a)时，h＇（x）﹤0，所以 h（x）在(1,l

a)上递减，存在x0∈(1,l a），当x∈(l

x ＝a·l

x （x－l a,1)上递增，彐 x0∈(l

a,1)时，h＇（x）﹥0，所以 h（x）在(l

a,1)，使得 h（x0）﹤h（1）＝0，即f（x）≥0不恒成立。

由（i）（ii）（iii）知“a＝1”也是“当任意 x﹥0时，f（x）≥0恒成立”的必要条件。

综上所述，a＝1。

解法逻辑分析：命题p：a＝1，命题 q：任意 x﹥0时，f （x）≥0恒成立，充分性是p q；必要性是q p，必要性证明非常困难，改为等价的逆否命题证明，－p：a≠1，根据要得到－q：彐 a﹥0，f（x）≥0 不恒成立的具体情况，－p：a≤0或0﹤a﹤1或a﹥1。

2.抓“纲”不抓“目”的分类讨论方法。

含参量的分类讨论，长期以来解答都是抓“目”不抓“纲”的方法，解答非常紊乱，包括过去命题者提供的解答，这道题如果当时没有注意到等价盘活，那么就是需要分类讨论解答，分类讨论要以参量a为纲，提纲挈领的讨论，作出参量a轴，找出参量a的临界值，然后从左至右有序进行。

f（x）的定义域为(0，＋∞)，f＇（x）＝2ax－a－lnx－1，令 φ（x）＝2ax－a－lnx－1，则 φ＇（x）＝2a－ l 2

x 。寻找a的临界值，考虑因式2ax－1是否为一次因式，得a＝0，在a≠0的条件下，得到x＝ l

2 a＝2ax－1 2 ，注意到 φ（1）＝a－1，令 φ（1）＝0，得到 a＝1，作出 a 轴，然后考虑临界值是单独讨论，还是与区间一起讨论，如把a＝0与(﹣∞,0)放在一起，主要考虑因式 2ax－1 在(0，＋∞)上恒为负值。a，注意到 f（1）＝0，令 l 2

a ＝1，得到 a＝l

（i）当 a≤0 时，当 x﹥0 时，φ＇（x）﹤0，φ（x）在(0，＋∞)上递减，注意到 φ（l 2 ）＝ln2－1﹤0，φ（e﹣2）＝1＋a·2－e﹣2

e2

﹥0，则存在 x1∈(e﹣2,2﹣1)，使得 φ（x1）＝0，即 f＇（x1）＝0，则

当 x∈(0,x1)时，f＇（x）﹥0，f（x）递增；当x∈(x1,＋∞)时，f＇（x）﹤0，f（x）递减，存在 x0﹥1，则 f（x0）﹤f（1），所以f（x）≥0不恒成立；

（ii）当 0﹤a﹤ l

2 时，φ＇（x）＝2a－ l2a·1

x （x－

综上所述，a＝1。

3.用两边夹和洛比达法则等高数知识的方法。这个题也能用分离参变量求解，但必须谙熟高等数学相关法则、定理及支撑条件，要主动加强命题和做一些预备铺垫，下面介绍高数的解法：

先证明预备不等式lnx≤x－1，当且仅当x＝1取等号。

综上所述，a＝1。