“函数的基本性质”单元的整体规划和起始课设计

【编者按】《普通高中数学课程标准（2017年版）》突出了数学本身的系统和结构，强调“整体把握课程”。因此，比课时教学更突出整体性的“单元教学”“主题教学”等“中观教学设计”研究成为热点。2018年第9期，我们刊发了华东师范大学第二附属中学任念兵老师的文章《高中数学中观教学设计：现状、问题与对策》。本期，我们继续呈现任念兵老师对“高中数学中观教学设计”的后续研究成果——一个章节型单元的整体规划和起始课设计。

摘 要：以“函数的基本性质”单元为例，阐述如何对章节型单元进行中观教学设计：通过单元整体教学规划，明确逻辑主线；通过单元起始课教学设计，呈现研究“图景”。该单元中观教学设计的基本原则是：数形结合，抓住关键词“关系”“规律”。该单元起始课应始终围绕函数的对应法则f这个核心，通过从特殊到一般、从一般到特殊、数形结合等手段，多角度地阐释函数概念的本质和形式，提升学生的数学抽象素养和数学表达能力。

关键词：中观设计 章节型单元 整体规划 起始课 函数的性质

在《高中数学中观教学设计：现状、问题与对策》一文中，笔者根据内容在教材中所处的位置及其内在逻辑关联，将教学单元分为章节型单元和整合型单元两类。对于章节型单元，中观教学设计的主要任务是寻找体现单元内容内在逻辑关联的主线（暗线），勾勒出学习该单元的“思维导图”，从而引导学生掌握研究该单元的基本“套路”。单元起始课对于整个单元教学具有开宗明义、提纲挈领的作用，是中观教学设计研究的重要课例类型。本文先具体规划“函数的基本性质”单元的整体教学，明确该单元的逻辑主线；再具体设计“函

数的基本性质”单元的起始课教学，大致呈现该单元的研究“图景”。

一、“函数的基本性质”单元的整体规划

（一）教学内容分析

对于“函数”这一概念（数学对象），沪教版高中数学教材的研究脉络如下——（1）界定研究对象：定义函数概念，指出函数的三要素（定义域、值域、对应法则）；（2）表示研究对象：函数的三种表示方法（列表法、解析法、图像法）；（3）研究基本性质：奇偶性（对称性）、单调性、最值（有界性）、零点；（4）研究特殊模型：常用基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数）。总体来说，函数部分的研究遵循数学对象的一般研究思路，即“定义、表示—分类—性质—特例—联系与应用”，只是在细节上略有差异。

沪教版高中数学高一第一学期第3章“函数的基本性质”（章节型单元）在初中学习函数“变量说”的基础上，先用集合与对应的语言刻画函数（“对应说”），再从直观到解析、从具体到抽象研究函数的性质，并从解析的角度理解相关性质；在没有引入幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的情况下，以正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数以及它们的线性组合为载体，研究函数的奇偶性、单调性、最值、零点等基本性质和图像特征，体现了函数研究的基本思路和基本方法。

“函数的基本性质”单元讨论的函数基本性质包括：奇偶性、单调性、最值、零点——周期性不在本单元。要讲清楚这些性质，需要弄清楚这些性质的重要意义：函数奇偶性的重要性在于，只需要研究自变量大于零的情形，就可以根据对称性得到自变量小于零的情形；函数单调性的重要性在于，不需要知道函数的具体性态，就可以直接依据单调性知道函数值的变化特征，并由此得到函数的最值等其他性质；函数最值问题是数学研究的重要对象，在实际应用中有极其重要的价值；而函数的零点其实是利用函数的性质研究方程问题而产生的概念。

要理解这些性质的研究顺序（奇偶性—单调性—最值—零点），需要认识这些性质的内在关联：函数的奇偶性可以让研究的工作量减少一半，需要最先研究；函数的单调性是研究函数最值的重要工具，需要在函数的最值之前研究；而函数的零点作为函数性质的应用，应该放在最后研究。由此不难发现，在这些函数性质中，单调性是重点，同时也是难点。

事实上，学生在初中已经结合具体函数定性地研究过函数的单调性、最大值、最小值等性质；到高中研究函数的性质，一方面是“从定性到定量”，另一方面是丰富内容，即用精确量化的符号语言进行刻画，并用于研究各类基本初等函数及解决问题。

（二）教学原则规划

根据对“函数的基本性质”单元的内容分析，笔者规划了该单元的中观教学设计的基本原则：

（1）数形结合，引导学生整体把握函数研究的基本方法。既要根据函数的基本性质准确地掌握函数的图像特征，又要借助函数的图像特征直观地揭示函数的基本性质。

（2）抓住关键，引导学生自然地探索函数的性质，整体把握函数性质研究的基本思路。函数是刻画事物变化规律的数学模型，是变量之间相互依赖关系的反映。那么，函数的性质应该是“事物的关系和规律”的反映，函数性质的教学应该以“关系”“规律”为关键词，把自变量“增大”看成一种“规律”，把自变量“取相反数”看成一种“关系”，然后考察相应的函数值出现怎样的变化规律（单调性）或有什么确定不变的关系（奇偶性）。

下面以函数单调性的教学为例加以说明。函数单调性所研究的问题是：当自变量在某个范围内按照“增大”的规律变化时，函数值有什么变化规律？是随着増大，还是随着减小？由初中的学习经验，结合函数图像，学生很容易理解函数单调性的定性刻画。这里的任务是要把它提升为定量刻画，做法是从具体到抽象，先以简单的二次函数为载体给出示范，再让学生通过模仿性练习进行体会，最后给出精确的符号语言。因为“增大”“减小”涉及大小关系，所以自然要采用不等式语言。在这个过程中，要通过图像直观，而且涉及“任意”，所以可以培养学生的直观想象素养；要把定性刻画提升为定量刻画，所以可以培养学生的数学抽象素养；在解决单调性的具体问题中，需要大量的推理、运算，所以可以培养学生的数学运算、逻辑推理素养。

二、“函数的基本性质”单元的起始课设计

（一）教学内容解析

《函数的概念》是“函数的基本性质”单元的起始课，揭示了这一单元的研究对象和研究方法，为函数关系的建立和函数性质的研究做好知识和方法的准备。

首先，用集合与对应的语言刻画函数，将“自变量的取值范围”明确为“非空实数集D ”，将“依赖关系”明确为“对应法则f ”，将依赖关系的特征“变量y随着x的变化而变化”明确为对应法则f的特征“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的实数值与它对应”，更准确、严谨地揭示函数的本质特征。这是函数关系的建立和函数性质研究的基础。

其次，用抽象的符号y=f（x），x∈D高度概括函数的一般结构，反映两个数学对象之间的内在关系和变化规律，表明函数的核心要素，从而便于函数性质的研究：f表示一种对应法则，可以是一个数学运算的符号，作用到x就得到一个结果y；也可以是一个图像、一个表格，从图、表中可以比较直观地看出x与y之间的对应关系。

最后，给出函数的三种表示方法（尤其是图像法和解析法），为函数性质的研究提供重要的工具和方法：函数的图像从几何直观上反映了函数的性质，利用函数的解析式可以从代数上严格推导函数的性质，数形结合、相得益彰。

因此，本节课的主要教学目标是：从实例中抽象概括出函数的定义并用符号y=f（x），x∈D表示函数；理解函数的概念和符号y=f（x），x∈D的意义；熟悉函数的表示方法（列表法、图像法和解析法）；会求一些具体的函数值和简单函数的定义域；能判断两个函数是否为相同的函数。

（二）教学过程设计

1.复习回顾，提出问题。

师 日常生活中处处存在着量与量之间的依赖关系。函数是刻画从一个变量的信息推知另一个与之有相互依赖关系的变量的信息的数学模型。同学们在初中已经学习过“函数”，请举几个函数的例子。

（师生一起回顾初中的函数定义。）

[设计意图：通过举例，回顾初中函数定义的“变量说”，联系学生的“最近发展区”，实现与初中内容的衔接与过渡，并作为引进新概念的切入口。]

问题1：判断下列各情境中的两个变量之间的关系是不是函数关系。

（1）中国体育代表团参加近几届亚运会获得的金牌数y（枚）随参赛年份x变化的情况。如表1所示。

（2）上海市今年8月上半月每天的最高气温T（℃）随日期t变化的情况。如图1所示。

（3）出租车车费y（元）与行车里程x（千米）之间的关系。上海的出租车价格规定：起步价14元，可行3千米；以后再行12千米，按每千米2.5元计价；再以后都按每千米3.75元计价（假设每一次乘车的车费由行车里程唯一确定）。

[设计意图：针对具体的实例，通过分析“自变量”“因变量”和“确定的依赖关系”，归纳提炼出“对应关系”（对应法则）。]

2.归纳抽象，建构概念。

师 “确定的依赖关系”其实是指由自变量x可以“确定”因变量y，或者说有“确定”的y值与x——

（预设学生回答：对应。）

师 很好，“依赖关系”可以改为更精确的语言（预设学生回答：对应关系），需要按照一定的规则（预设学生回答：对应法则）来体现。“确定”二字反映了这种“对应关系”的特点，什么量确定？如何确定？

问题2：函数的对应法则具有怎样的特点？

[设计意图：明确对应法则的特征（“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应”）和对应法则的适用范围（定义域），分散难点，为归纳抽象出函数的“对应说”定义做铺垫。]

师 对比初中的函数定义，“依赖关系”明确为“对应法则”，“确定”揭示的是对应法则的上述特点，x的“取值范围”用实数集D表示。

问题3：你能用更严谨的语言来定义函数吗？

[设计意图：引导学生在归纳问题1情境中函数关系的基础上，用集合和对应的语言来解释函数的“变量说”定义，总结出函数的“对应说”定义，顺势给出定义域、值域的定义，点明“对应说”观点下函数概念的本质：“由实数集（定义域）到实数集（值域）的一个唯一确定的对应关系。”]

师 f是英文function（原始的意思是“作用”）的缩写，y就是对应法则作用于x产生的结果，记为y=f（x），x∈D。

问题4：函数的表示方法主要有哪些？

师 请同学们分组讨论情境3中函数的解析式，并作出该函数的大致图像。

（请两位学生板演。）

[设计意图：从抽象的符号到具体的表示方法——列表法、图像法和解析法，与问题1中三种情境相呼应。比较三种表示方法的各自特点，深化对函数对应法则的认识。]