初中数学最值类题目的命题思维特质探微

陈嫦

【摘 要】本文着重探讨了初中数学中最值类题目的命题思维特质。这就是命题者总要在题目中设置一个干扰项，让答题者的思考偏离正确的方向。最值问题一直是教师命题的热点，学生思维的弱点、考生解题的疑点、老师评析的重点。本人在教学一线多年，结合近几年中考命题中所涉及到“最值”的 相关问题，谈一谈一些典型题目的类型，在解题审题中相关的看法，具体来讲其设置干扰的策略主要有三种：其一是消解；其二是异构；其三是掺合。

【关键词】最值类题目；命题思维特质；干扰策略

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2017）16-0107-03

最值问题，也就是最大值和最小值问题。有过答题实践的人都知道，初中数学最值类题目基本上可以分为几何型与代数型两大类。要解答这类题目，总的方法无非是要找到答题的媒介，亦即解答题目所需要借助的相关原理或知识点。具体来讲，解答几何型题目经常要用到的知识点有：三角形三边和与差之关系、两点之间线段最短之原理、垂线段最短的原理、在定圆所有弦中直径最长的原理等。解答代数型题目通常被用来答题的知识点有：完全平方式非负数原理、反比例函数原理、根的判别式大于等于零原理、不定式中某一变量的取值区间等。

上述关于最值类问题的答题方向虽说众所周知，但是说来容易做起来难，在实际的答题操作中真正能做到顺利解答者却不在多数。究其原因这跟最值类题目的命题思维特质有着直接的关系。那么最值类目的命题思维方式到底有什么特性呢？先看这样一道题目。

例1. A、B两点在直线L的同侧，在直线L上取一点P，使PA+PB最小。

【分析】这是一道典型的求解最值的题目。明眼人一看都知道这里面肯定要用到三角形边长关系的知识来答题，但是怎么让这一知识点为我所用，是解开问题的关键所在。要解答这道题目，只要以点A为基点，建立直线L的对称点，然后根据三角形两边之和大于第三边的原理，问题便可迎刃而解（如下图1）。但是在实际的答题操作中，要让学生们一下子都朝这个方向去想恐怕就不是那么容易的事。为什么？因为题目设置了干扰项，它将A、B两点放在直线L的同一侧。这就很容易给学生以误导，他们在答题探索的时候往往会朝这个方向去思考：在直线L上任取一点P′，去连接AP′，BP′。但这条思路是走不通的，因为在△ABP′中AP′+BP′>AB，如果AP′+BP′=AB，则P′必在线段AB上。如此，则线段AB与直线L无交点。许多同学往往因为无法突破这一层制约，故而造成答题困惑。当然，头脑灵活者则可以从题目中获取解题灵感，顺利找到突破口、有效利用所学的相关原理或知识点来解题了。

上述剖析意在说明，命题者在设置最值类题目的时候，都有其特定的思维特性：命题者总是会在题目中设置一个干扰项来增添题目的迷糊性，以达到使答题者无法顺利应用相关知识点来解题的目的。而求解者只有能够越过这层障碍，才能够如愿以偿驾着冲破问题风浪之轻舟，顺利通达问题的彼岸。

讲到这里，可能就有一个问题要被提出来了。最值类题目设置干扰项的方式或者说命题者的干扰策略有几种呢？下面结合相关的例子分类阐析之。

根据本人的观察，这类题目的干扰策略大体上来讲主要有如下三种：

第一种策略我们将其命名为“消解”。所谓消解是指命题者有意让题目中的已知条件变得非常零碎，说得直白一点就是刻意要让已知条件变得“风马牛不相及”，从而使答题者无法快速探明其内在联系，以此来达到打落其答题信心之目的。请看题例：

例2、如下图所示，在△ABC中，已知AC=2，AB=3，以BC为边长的△BCP是正三角形，求AP的最大值与最小值。

【分析】要解答好这道题目，答題者要能冲破一层障碍，首先应该想到将△ACP绕点P逆时针旋转60°，然后答题的路径才能走顺。只要想到这一层，题目解开就显得十分容易了。因为在△A′BP中，则有A′B=AC，A′P=AP；又∠APA′=60°，可得△AA′P是等边三角形，于是有AP=AA′，这样就把求AP的最大值与最小值问题转化为求AA′的最大值与最小值问题。同时将AB=3，AC=A′B=2与所求的AA′就集中到△AA′B中（特殊情况A、A′、B三点在同一直线上）。如是则可用三角形两边之和大于第三边与两边之差小于第三边的原理来解答了。其解题过程可表述为：

∵ AB-A′B≤AA′≤AB+A′B

∴ 1≤AA′≤5

∴ 1≤AP≤5

但是要想到这一点不是容易的事情。虽然答题者很容易推断，解答这道题目肯定要借助三角形三边和与差之间关系的原理，但却无法迅速探明题目中的已知条件如何跟这一原理挂上联系？为何？因为命题者在题目中提供的已知条件鸡零狗碎的。答题者根本无法一下子找出其内在关联。这是一种常见的干扰策略。

第二种干扰策略叫异构。所谓的异构是指，一个问题不以常规的形式来呈现，而是以超常规的方式或者叫另类的方式加以呈现。还是来看下面的例子：

例3. 使+ 取最小值的实数x的值为_____。

【分析】在此题中，要求我们求解的是实数x的最小值。整整一道题目就一个代数式子孤零零的放在那里，大有不让解题者产生丈二和尚摸不着头脑的感叹，就绝不善摆甘休的意味。这种局面之根源就在于命题者采用异构的干扰策略。只有当答题者具有睿智的眼光，看出了问题的本质所在才有办法答题。

目光敏锐者通过仔细观察就会发现，题设条件中有明显的几何意义。即可将、分别视为x、2和（8-x）、4为直角边的直角三角形的斜边，进而构造如图所示的几何图形。

AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=2，BD=4，AB=8。

则PC=，PD=。于是，问题可转化为：在线段AB上找一点P，使得PC+PD最短，由“两点之间线段最短”的性质可知，当点P、C、D共线时，PC+PD最短，亦即原式取最小值。此时有△ACP∽BDP，=，解得x=。

只有当看出了问题的实质，只有明白了上面所讲这一点问题才能彻底得到解决。

第三种干扰模式叫掺和。就是题目在考查学生对最值问题的求解之时，还要同时考查学生对多个知识点的掌握情况，其常见的表现形式就是在题目中叠合了多重解题障碍。求解者要想顺利破解题目中所要求解答的相关最值问题，先必须先逐一冲破相关障碍才能达到目的。下面这道题目就是这种干扰模式的典型代表：

例4. 已知：抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A，B，点A的坐标为（4，0）。

（1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标。

【分析】题目要求我们探寻的是，当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标。

点Q之坐标，这个问题实际上等同于求△CQE的面积最大值了。要破开这个问号在解题过程中应该突破三重阻力才行：首先是要求出函数的解析式；其次是要搞定三角形之间的相似关系；再次是相似三角形边与边之间的比例关系及边长的计算。可以说其整个答题过程所要求的思维精密度是非常高的，其完整的答题程序可表述如下：

（1）由题意，得 16a-8a+c=0c=4 解得a=-c=4

∴所求抛物线的解析式为：y=-x2+x+4

（2）设点Q的坐标为（m ，0），过点E作EG⊥x轴于点G。

由-x2+x+4=0，得x1=-2，x2=4

∴ B的坐标为（-2，0），

∴ AB=6，BQ=m+2

∵ QE∥AC，

∴ △BQE～△BAC，

∴ =。

又 =，

∴ =，即=

∴ EG=，

∴ S△CQE = S△CBQ-S△EBQ

= BQ×CO-BQ×EG

= （m+2）（4-）

= -m2+m+

= -（m-1）2+3

∵ a=-<0，

∴ S△CQE有最大值。

即當m=1时，S△CQE有最大值为3，此时Q（1，0）。

从上述答题程序来看，无论如何我们都必须承认，这样的题目每个学生都顺利完成作答是有难度的，这种方式的干扰给学生心理上带来的负面影响是极其巨大的。

以上介绍了最值类题目命题的思维特质，并进而探究了在这种命题思维模式下，常见的几种设置干扰项的方法。希望通过这方面的探究，对我们的教学与学生对此类题目的解答均会有所裨益。

参考文献：

[1] 康美明.函数最值的几种求法[J].数学之友，2011，（9）.

[2] 黄健.平面解析几何中求最值的几种方法[J].高等函数学报（自然科学版），1994，（5）.

[3] 隆肇明.均值不等式的妙用[J].科学咨询（教育科研），2011，（9）.

（编辑：张 婕）