具有环境污染的两种群互惠模型的稳定性分析

杨秀香

(渭南师范学院数理学院，陕西渭南714099)

0 引言

随着人类社会的不断发展，科学技术突飞猛进，人类对自然界的改造已经对生物种群产生了很大的影响，人类占据了这些生物的大片领域，致使它们的生存受到了严重威胁，很多物种濒临灭绝，这些生物不仅面临领域被占领，而且环境污染也正在威胁着生物种群的持续生存。随着工农业的发展，环境污染日益严重，大量的环境毒物被连续地或一次性地排放到环境中，这些毒物对生物体的生长发育和繁殖等都有较明显的毒理效应。这严重地破坏了生态平衡，导致自然环境发生了很大的变化。目前，国内外许多学者都在研究生物种群的发展规律，并且取得了较好的成果。

本文研究生活在一个自然环境中的两个种群A和B，首先假设两种群密度分布是均匀的，以x(t)、y(t)分别表示种群A和B在时刻t的密度。1935年，Gause和Wirt认为在一个生态环境中生活的两种群A和B的密度增长模型Kolmogorov模型可以用线化F1、F2的方法近似表示，这就是著名的Lotka－Volteera模型，我们假设 β11≤0，β22≤0，其中:β11≤0表示A种群是密度制约的，β22≤0表示B种群是密度制约的。β12≤0、β21≤0表示两个种群A和B是相互竞争的关系，β12≥0、β21≥0表示两个种群A和B是互惠共存的关系。

文献［1］研究了毒素具脉冲扩散与输入的单种群动力学模型。文献［2－3］研究了有毒物影响的捕食者－食饵两种群模型的定性分析;大气污染下具HollingⅡ功能性反应的种群生存条件。文献［4］研究了具有饱和项的互惠模型正解的存在性。文献［5－11］研究了生态环境受污染下单种群的持续生存;两种群竞争模型中毒物对种群的影响;在连续性捕杀效应下SIS生态流行病模型的稳定性;具有双线性传染率的捕食－食饵种群传染病模型的全局稳定性等。鉴于此，本文基于环境污染的生物种群模型，结合生物动力学原理和生态毒理学原理，建立了一个基于一次性排放的环境毒物影响的广义生物种群模型，具有密度制约和毒物影响的两种群互惠模型:

其中:a1、a2分别表示x种群、y种群的自然增长率;b1、b2分别表示x种群、y种群的密度制约系数;c1、c2表示两种群互惠关系中相互间的干扰系数;E1、E2分别表示x种群、y种群受毒物影响的消耗率。

本文假设a1、a2、b1、b2、c1、c2、E1、E2均为正常数，基于实际意义，a1＞E1，a2＞E2，否则两种群在负增长过程中将同时消亡。我们在内讨论模型(1)的稳定性态。该模型的一切解在R内正向有界。

1 定义与引理

如果对任意给定的ε＞0，存在δ＞0，使当任一解Y0满足‖Y0‖≤δ时，方程组(2)的由初值条件Y(t0)=Y0确定的解Y(t)，对一切t≥t0均有‖Y(t)‖＜ε，则称方程组(2)的零解Y(t)=0为稳定的;如果零解Y(t)=0为稳定的，且存在δ0＞0，使当‖Y0‖≤δ0时，有由初值条件Y(t0)=Y0确定的解Y(t)均有，则称零解Y(t)=0为渐近稳定的;如果零解Y(t)=0为渐近稳定的，且δ0=+!，则称零解Y(t)=0为全局渐近稳定的。

定义2［12］对于一阶驻定微分方程组，假设X、Y对x、y有连续偏导数且X2+Y2不恒为0，同时满足X(x，y)=0，Y(x，y)=0的点(x*，y*)是微分方程组的奇点，则x=x*，y=y*是方程组的解。

引理1［12］(赫尔维兹(Hurwitz)判别代数方程的根的实部是否均为负值的法则)

其中:a0＞0，作行列式，那么，方程(3) 的一切根均有负实部的充分必要条件是下列不等式同时成立:

引理2［13］一阶常系数线性微分方程组(2)的特征方程det(A－λE)=0的根均具有负实部，则方程组的任一解当t→0时都趋于0，从而系统的平衡点是渐近稳定的;若特征值的实部为0的根是单根，则方程组的任一解有界，系统的平衡点是稳定的，但不一定渐近稳定。

极限环理论是常微分方程定性理论中一个重要的模块，在判断二维平面自治系统极限环不存在的过程中Dulac函数起到了重要作用，寻找合适的Dulac函数往往能简化过程并且优化结果。文献［13］中著名的Bendixson－Dulac判别法给出了判定极限环不存在的一个重要依据。

引理3［13］考虑二维平面系统，若在单连通区域G内存在函数B(x，y)∈G，使，且不存在G的任一子区域恒为0，则系统不存在全部位于G内的闭轨线和具有有限个奇点的奇异闭轨线。其中:函数B(x，y)常称为Dulac函数。

2 模型平衡点的存在性

定理1 模型(1)中a1＞E1，a2＞E2，在R内一定有平衡点正平衡点存在的充要条件是:b1c2＞b2c1。其中:

确定，边界平衡点O(0，0)、A(0，，由于a1＞E1，a2＞E2，当b1c2＞b2c1时，存在正平衡点C(x0，y0)，其中:

3 平衡点的局部稳定性态

模型(1)任一平衡点E的雅可比矩阵为:

定理2 模型(1)的平衡点O(0，0)是不稳定结点。

证明 在平衡点O(0，0)处

其特征方程为 (λ－a1+E1)(λ－a2+E2)=0，

特征根为 λ1=a1－E1＞0，λ2=a2－E2＞0，

所以平衡点O(0，0)是不稳定结点。

定理3 当a1＞E1，a2＞E2时，模型(1)的平衡点是不稳定结点。

特征根为λ1

由于a1＞E1，a2＞E2，故λ，此时，平衡点是不稳定结点。

定理4 若a1＞E1，a2＞E2，且b1c2＞b2c1，则模型(1)的正平衡点是局部渐近稳定的。其中

证明 在正平衡点Cx0，y0)处，雅可比矩阵为:

由于a1－E1－b1x0+c1y0=0，a2－E2+b2x0－c2y0=0，所以

当a1＞E1，a2＞E2，且b1c2＞b2c1时，由韦达定理得:

λ1、λ2具有负实部，此时，正平衡点C(x0，y0)为稳定结点，由引理1(赫尔维兹(Hurwitz))、引理2可知正平衡点C(x0，y0)是局部渐近稳定的。

4 平衡点的全局稳定性分析

基于生物学意义，我们只讨论正平衡点的全局稳定性。

定理5 若a1＞E1，a2＞E2，且b1c2＞b2c1，则模型(1)的正平衡点C(x0，y0)全局渐近稳定。

证明 当a1＞E1，a2＞E2，且b1c2＞b2c1时，该模型存在唯一的正平衡点是局部渐近稳定的。

由引理3(Dulac判别法)可知，模型(1)在R内不存在极限环，所以当b1c2＞b2c1时，唯一的正平衡点是全局渐近稳定的。

5 正平衡点C( x0，y0)全局稳定性的计算机模拟

取满足定理条件的参数值如下:

由此得到两种群受环境污染的程度不能超过种群的内禀增长率，同时两种群受密度制约和互惠率满足关系b1c2＞b2c1，正平衡点在局部稳定的条件下最终稳定的模拟图如图1所示。

图1 受环境污染的两种群互惠模型的稳定性模拟图

6 生物学解释

模型(1)在满足a1＞E1，a2＞E2，且b1c2＞b2c1的情况下，唯一的正平衡点是全局渐近稳定的。从生物学的角度可以说明，x种群和y种群受环境污染的程度不能超过种群的内禀增长率，同时从两种群受密度制约和互惠率存在一定关系b1c2＞b2c1的情况下，可以看出模型(1)中受环境污染的x种群和y种群在正平衡点的全局稳定性，也就是说无论初值如何，当时间t充分大以后两种群的密度将接近于正平衡位置C(x0，y0)。换言之，这个生态系统中两种群将长期生存下去，不会导致任何一种群的灭绝，从而保持了生态平衡。

但由于自然因素和其他因素，该种群自身的生老病死和人为捕杀以及受污染物的影响等，原来两种群共有的平衡点状态改变了，因此会出现某一种群灭绝的现象。为了生态平衡，我们应该致力于生物种群的研究，讨论同一环境下生活的诸多种群是否能够持续生存下去，在什么情况下，至少有一种群会灭绝;在某种意义上来说，持续生存也是一种生态平衡，让人们把握好对自然界改造的程度，更加清楚地了解种群之间的关系，从而保持整个生态系统的平衡，保证种群的持续生存，构建和谐的人与自然的关系。

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