路网宏观基本图中磁滞现象的产生机理

王鹏飞，岳 昊，关宏志

(1.河北科技师范学院城市建设学院，河北秦皇岛066004；2.北京工业大学交通工程北京市重点实验室，北京100124；3.北京交通大学城市交通复杂系统理论与技术教育部重点实验室，北京100044)

0 引言

为了实时把握路网中车辆的运行状态，进而对交通流进行诱导与控制，交通工程师在道路网中布设了各式各样的检测器(例如线圈检测器、浮动车等)。但管理者想通过各路段上零散的交通信息把握路网整体的车辆运行状态依旧十分困难，这是非线性的交通流现象与出行者路径选择行为相互作用的结果[1]。

对此，文献[2]提出可以表征路网车辆数与路网总流量之间函数关系的路网宏观基本图(Macroscopic Fundamental Diagram,MFD)的概念。文献[3]通过对日本横滨商业中心的检测器数据进行分析，验证了MFD在真实城市道路网中的存在。近年来，针对法国图卢兹[4]、美国明尼苏达州[5]、波特兰[6]、芝加哥与尔湾[7]高速公路网络的研究发现，MFD会产生磁滞现象。同时，以中国北京[8-10]、上海[11-12]和日本仙台[13]、京都[14]的城市道路网为研究对象，也发现MFD会产生磁滞现象。其中，文献[13-14]使用1年的交通检测器数据验证了MFD中磁滞现象在一定条件下出现的稳定性。

针对MFD中磁滞现象的产生机理，在理论研究方面，文献[15-16]通过仿真实验，揭示了交通密度在时空上的不均匀分布是MFD出现磁滞现象的关键原因；文献[17]以2环模型从理论上给出了MFD中磁滞现象的产生条件。在实证研究方面，文献[5]使用检测器数据发现在出行高峰时段过后的一段时间内，路网中会出现车辆在空间上分布不均衡的现象；文献[8-9]认为高峰时段前后不同的车道变换率是产生磁滞现象的重要原因；文献[12]发现各个检测器检测到的交通状态并非同步，认为这是MFD磁滞现象产生的重要原因；此外，文献[14,18]以1年的检测器数据验证了文献[15-16]结论的正确性，即在同一平均交通密度下的交通密度标准差与平均流量之间呈现线性负相关。

但至今为止，鲜有研究从路网中高峰时段前后交通流状态演变的角度去揭示磁滞现象的产生机理并对其存在的普遍性进行说明，而这是将MFD应用于实际交通管控中的重要环节。现阶段，基于MFD的路网流入流出量控制策略(国内外代表研究见文献[19-20])全部以区域内存在明确路网宏观基本图(well-defined MFD)为前提，而这与大量的现实观测情况并不相符。

鉴于此，本文以存在单一交通瓶颈的、由若干同质路段串联而成的交通网为对象，利用车流波动理论从交通流状态演化的角度，对MFD中磁滞现象的产生机理及其存在的普遍性进行分析，并以日本京都市的实际观测数据来验证理论分析得到结论的可靠性。

图1 交通网Fig.1 Roadway network

图2 交通需求时变图Fig.2 Time-vary diagram of transportation demand

图3 每个路段的交通基本图Fig.3 Fundamental diagram for different roadway segment

1 模型建立

1.1 路网结构与交通需求的设定

所有车辆从O点(居住地)出发向D点(商业中心)移动，且在此过程中存在通行能力为μ的交通瓶颈(瓶颈可视为真实路网中的平面交叉口或通行能力较低的路段)，从O到瓶颈的部分称为路段1，而从瓶颈到D的路段为路段2(见图1)。上游的交通需求在T2时刻由qA(qA＜μ)增加至(qB(qB＞μ))，而后在T5时下降至qA(见图2)，此设定反映了(早晚)高峰时段前后的交通需求时变特性。路段1表示路网中在瓶颈上游受到拥堵流影响的路段，路段2代表在瓶颈下游未受到拥堵流影响的路段。此外，各路段的交通基本图如图3所示。

1.2 路网交通状态的演变过程

在上述设定的路网结构与交通需求的条件下，路网中交通状态的演化过程可由时空图(见图4)表示。其中，各交通流状态(A,B,C,D)的交通量与交通密度可由下列公式计算得出：qA=kAv，qB=kBv，qD=μ=kDv，qC=μ。另外，冲击波ωBC与ωCA的波速为

式中：qA，qB，qC为交通流状态A，B，C的交通量；kA，kB，kC为交通流状态A，B，C的交通密度。

由此可知，每一时段内路网中存在的交通流状态不尽相同，并且每一种状态所覆盖的路段数量与长度也不同。

2 MFD中磁滞现象产生机理

2.1 MFD的定义

MFD表征路网总流量P(t)与路网车辆数N(t)之间的函数关系，即

式中：li为第i条路段的长度/km；qi(t)为第i个检测器在时段t内检测到的交通量/(辆·5 min-1)；ki(t)为第i个检测器在时段t内检测到的平均交通密度/(辆·km-1)。

根据上述定义，要求解每一时段的MFD，必须首先计算每种交通流状态在路网中所占有的路段总长度l(t)。例如，在时段⑤，路网中存在三种交通流状态：B，C与D(见图4)，它们的分布如图5所示，因此，路网总流量与路网车辆数分别为

式中：交通量qC=qD=μ。

2.2 各时段的MFD及其变化趋势

根据上述MFD的定义(公式(3)，(4))计算得出的每一时段的路网总流量与路网车辆数，并通过对计算结果进行判别，得出每一时段的路网总流量与路网车辆数的变化趋势(见表1和表2)。其中，时段④的路网总流量与时段⑥的路网车辆数的变化趋势因无法从符号判定，所以需要分情况讨论，结果如表3与表4所示。

图4 时空图Fig.4 Time-space diagram

图5 时段⑤交通流状态的空间分布Fig.5 Spatial distribution of traffic flow state in roadway network during time period⑤

表1 路网总流量及其变化趋势Tab.1 Total traffic flow and its variation trend

表2 路网车辆数及其变化趋势Tab.2 Total number of vehicles and its variation trend

将表1～表4中的计算结果反映在MFD(见图6)上则可明显的发现，在此模型的设定(存在交通瓶颈，并且高峰时段的交通量超过瓶颈容量)下MFD一定会出现磁滞现象，其中，时段④与时段⑥的变化趋势虽具有不确定性(图6中的红线)，但这些不确定性并不影响磁滞现象的出现。

2.3 磁滞现象的产生机理

首先，需要对磁滞环形成过程(时段④与⑤，上环用U表示)与消除过程(时段⑦与⑧，下环用L表示)中的路网总流量及路网车辆数的取值范围，路网中存在的交通流状态进行比较分析。

表3 时段④路网总流量的变化趋势Tab.3 Variation trend of total traffic flow during time period④

表4 时段⑥路网车辆数的变化趋势Tab.4 Variation trend of number of vehicles during time period⑥

图6 路网宏观基本图的形状特征分析Fig.6 Characteristics of macroscopic fundamental diagram of roadway network

表5 磁滞环形成与消除过程中交通流状态的演变Tab.5 Evolution of traffic flow state in loading and recovery process in the hysteresis loop

虽然两个过程中的路网车辆数的取值范围有所重合，但上环的路网总流量却总是大于等于下环，即PU(t)≥PL(t)。

对比公式(7)与公式(9)即可发现产生此结果的关键原因是因为磁带环在消除过程中缺少低密度、高流量的交通流状态B。从磁滞环形成与消除过程中的交通流状态演变过程(见表5)分析，在时段④⑤时，交通流状态B逐渐被向上游蔓延的交通流状态C(拥堵流)所代替。而当路网的交通需求开始下降后(时段⑥以后)，交通流状态A(低流量、低密度)逐渐开始取代状态B与状态C。因此，状态B的缺失是出行高峰时段的拥堵传播(拥堵溢出点增加)与出行高峰过后的出行者需求降低这两个原因接连作用的结果，非人为强制干预(即恢复、增加路网容量的交通管制措施，例如交通事故处理完毕或公交专用车道恢复为普通行车道等交通管制措施[21])不可避免，这也就是为什么在很多城市路网的MFD中都可观测到磁滞现象(见引言部分)的重要原因。

进一步对比磁滞环的形成过程与消除过程中存在的交通流状态即可发现：在消除过程中，低密度、低流量的交通流状态A与拥堵流状态C同时存在，即路网中交通密度在空间上的分布(相较形成过程)是不均匀的。此结论与文献[5,14]中出行高峰前后交通密度在空间上的分布观测结果相一致，从理论上阐述了此现象出现的机理。

此外，在同一路网车辆数的条件(公式(11))下，进一步定量分析磁滞环在形成与消除过程中的路网交通流状态，即可得到lC,U(t)＜lC,L(t)的结论。即在同一路网车辆数的条件下，在磁滞环消除过程中，拥堵状态C所占据的路段总数量更多、总长度更长。而在真实路网中，这意味着在比较相同路网车辆数条件下的拥堵模式时，会发现在磁滞环的消除过程中存在更多的拥堵路段与拥堵溢出点。此结论与文献[14-15]中仿真实验所得结果相符。

3 实例分析

大城市路网中MFD某种特征的产生机理受到交通数据采集方式、检测器的数量与位置以及众多因素的影响。本文以日本京都市为例，以实际的检测器数据对上述理论分析的可靠性进行验证，并非以研究京都市路网中MFD磁滞现象的真正产生机理为目的。

3.1 京都市道路网中的路网宏观基本图

京都市是日本的古都也是著名的旅游胜地，截至2013年10月人口约147万。路网中的单向路段由1～3条车道组成，道路交叉口间距为100～500 m。在城市路网中分布着约800个检测器，记录各路段每5 min的断面交通量与车速[14]。在剔除错误数据后，利用公式q=kv即可得到交通密度，再依照公式(3)，(4)计算每5 min的路网总流量与路网车辆数即得到路网宏观基本图。研究发现在每年①11月(红叶观光季节)的周末，京都市的MFD(见图7)都会呈现如下两个特点：1)具有一个巨大的磁滞环；2)在磁滞环形成的过程中(13:00—17:15)会出现罕见②的水平推移现象(即磁滞环在形成过程中路网车辆数持续增加、但路网总流量保持不变的现象)。

3.2 磁滞现象分析

在对磁滞现象进行分析前，首先需要对路网中的拥堵溢出数St进行定义。

式中：K为路网中交叉口的集合；IN(k)，OUT(k)为交叉口k的上游流入与下游流出路段的集合；为交叉口k上游与下游路段的车速；为交叉口k处拥堵溢出点的个数。根据此定义，在时段t，某一交叉口处上游与下游路段同时陷入拥堵状态时，则计算为1个拥堵溢出点。本文将时段t的平均车速小于等于20 km·h-1的路段定义为拥堵路段。

依据公式(12)，(13)对全天每5 min整个路网中拥堵溢出点的数量进行计算，发现在同一路网车辆数的条件(Nt≈8 250，t=13:00与t=18:55，见图7)下，拥堵溢出点数量在磁滞环形成过程中为15，而在消除过程中为29(见图8)。此实证结果验证了2.3节理论分析得到的结论：在同一路网车辆数中，相较形成过程，磁滞环在消除过程中会拥有更多的拥堵溢出点。

3.3 水平推移现象分析

对于京都市MFD中产生的水平推移现象，文献[14]并未从理论角度阐述其产生机理及意义。根据2.2节的理论分析，只要满足 表 3 中 (μ-qA)v+(μ-qB)ωBC=0 这 一条件，即交通流状态D代替状态A导致的路网总流量的增加量与状态C代替状态B导致的路网总流量的减少量时刻等同，则会出现水平推移现象。

图7 京都市红叶观赏季周末的MFDFig.7 Macroscopic fundamental diagram in Kyoto roadway networks on weekends during the autumn maple viewing

图8 拥堵溢出点数量的推移Fig.8 Time-vary of the number of congestion spillover spots

在真实路网中，状态A转化为状态D，意味着路网中不断增加的车辆选择了非拥堵路段(即拥堵可以回避，图1中路段2上的车辆)，从而使得非拥堵路段的路网总流量(图9a中的蓝线)上升，接近其交通容量。相反，状态C代替状态B意味着车辆选择了拥堵路段(即拥堵无法回避，图1中路段1上的车辆)，使得拥堵路段的路网总流量(图9a中的红线)下降，低于交通容量。但无论怎样，路网中车辆总数的增加总会使得拥堵路段与非拥堵路段的车辆数上升(见图9b)，若两种选择使得路网总流量保持基本不变就会出现水平推移现象。此条件意味着路网中存在非拥堵路段可供不断增加的车辆选择，而这即是京都市MFD中出现水平推移现象的直接原因。上述分析是否符合实际路网中出行者的路径选择行为还有待考证。

4 结语

本文利用车流波动理论，从交通流状态演化的角度阐述了MFD中磁滞现象的产生机理并得出以下结论：1)低密度、高流量的交通流状态B经过拥堵流状态C后逐渐被低密度、低流量的交通状态A所代替，是磁滞现象产生的重要原因；2)在相同路网车辆数的前提下，磁滞环的消除过程将会产生更多的拥堵路段及拥堵溢出点；3)路网中尚存在非拥堵路段可供逐渐增加的车辆选择是MFD中水平推移现象产生的必要条件。以日本京都市的实际观测数据验证了上述部分理论分析的可靠性。

未来，可以从以下几个方面进行拓展研究：1)追加考虑道路网布局、OD的空间分布特性；2)追加考虑绝对理性或有限理性视野下的出行者路径选择行为[22]；3)探讨网络交通流逐日动态演化[23]与MFD特性再现的关系等。此外，本文以存在单一交通瓶颈、属性相同的路段组成的串联路网为对象得到MFD中磁滞现象产生的机理及特性，在应用于较大范围路网时还有待进一步的严谨证明。

图9 路网总流量与路网车辆数的平均值推移Fig.9 Time-vary of the average total traffic flow and number of vehicles

注释：

Notes:

①在此仅展示具有代表性的2012年11月25日(周日，晴天)的路网宏观基本图。

②在至今为止关于MFD的实证或仿真研究中，尚未发现类似现象。

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