双指数跳跃扩散条件下上市公司违约风险分析

宫晓莉,庄新田

(东北大学工商管理学院,辽宁 沈阳 110169)

1 引 言

随着我国股票期权推出,金融市场信用衍生工具日益繁荣,上市公司公开募集资金信用问题愈加突出,如何测量信用风险,加强风险监管再次成为关注焦点.大型上市公司多采用映射法估计违约概率,即参考一系列相同风险债务人历史违约信息,估计相似债务人违约可能性.由于只是粗糙划分参考债务人,使得违约概率计算不够精确.同时,金融市场数据时刻变化,历史信息分析未来经济波动对企业信用状况影响也存在局限.KMV公司基于Merton期权定价思想研发出测算上市公司违约风险KMV模型,KMV方程利用Merton期权定价公式,假设公司资产价值动态遵循几何布朗运动,研究最优资本结构问题[1,2],当企业资产价值低于负债门槛时,公司违约便发生.然而,受外界不稳定因素如金融危机、货币贬值等影响,公司股价呈现非连续式跳跃,资产价值经常大幅缩水,发生跳跃式变动.基于Merton期权定价的KMV方程无法反映跳跃风险.金融资产收益率在跳跃同时还表现出非高斯特性[3].几何布朗运动趋于平稳分布特性不能捕捉金融市场跳跃特征和非高斯特性,无法描述突发因素下经济现象.因此,金融跳跃波动下信用风险度量建模需要引进新跳跃成分以刻画跳跃形态,追踪市场非高斯特性.

KMV信用风险模型将股权价值看作资产价值的欧式看涨期权,资产价值过程服从几何布朗运动,学者们逐渐转向其他扩散过程取代几何布朗运动.资产收益波动是一系列离散跳跃结果,Hilberink等[4]在资产价值变动中引入跳跃成分,采用时变L´evy模型分析公司资本结构,研究内在破产机理.但所设L´evy模型仅有向下跳跃过程,不能刻划资产价值升值跳跃现象.Ran Huang[5]在KMV方程中增加复合泊松过程,刻画突发因素引起的跳跃,通过金融数据波动探究公司资产价值跳跃变化,进而测算企业违约距离和违约概率.其中,复合事件模型假设跳跃次数服从泊松分布,随机跳跃幅度服从正态分布.然而,正态分布跳幅不能捕获收益率分布的尖峰、厚尾性.

据相关研究知,金融市场资产价格噪音分布呈现异于正态分布的独特性,如尖峰厚尾性、集聚性和非对称性等.Kou[6,7]证明了双指数分布在尖峰、厚尾拟合上更符合金融理论建模和实际需要.同时，该类L´evy过程能同时反映市场上涨和下跌跳跃,更符合真实金融市场情形.由于双指数分布具有无记忆性,在跳跃扩散期权定价模型中加入双指数分布模型,使得各类期权定价结果的解析解变的可能[8],而正态分布下跳跃扩散模型却得不到解析解.该模型在金融风险识别与管理上有很大应用优势.向华等[9]使用双指数跳跃扩散过程描述资产价值动态过程,研究时齐滚动债券均衡定价问题,给出公司最优结构计算式.罗长青等[10]建立行业信用风险指数,利用双指数跳跃扩散模型鉴别出企业信用风险跳跃点.杨瑞成等[11]运用该模型对汇率进行了跳变识别;周伟等[12]结合胡素华[13]的指数分布形态,构建了同时满足有偏、反对称和尖峰厚尾特性的广义双指数分布,对比了正态分布、普通双指数分布和广义双指数分布的双重跳跃模型,发现广义双指数成分灵活捕获了金融资产价格波动特征,具备拟合优越性.为此,本文将双指数分布引进Ran Huang的复合泊松跳跃KMV方程,假设资产价格随机跳跃幅度服从双指数分布,跳跃次数服从泊松分布,通过测算违约距离和违约概率构建起上市公司违约风险新模型.

为度量金融跳跃波动下公司信用风险,描述资产价值动态跳跃现象,刻画金融收益率尖峰、厚尾特性,本文以双边跳跃双指数分布取代正态分布随机跳幅,将双指数分布跳跃扩散过程引入信用风险模型,扩展了带复合泊松跳跃的KMV违约模型.使用股权信息反映资产价值跳变.引进双指数分布能识别金融跳跃风险,使用双指数跳跃扩散违约风险模型,测算上市公司违约距离和违约概率,对比分析存在跳跃风险和无跳跃风险下的违约概率,进而度量上市公司违约风险.新模型有利于完善信用衍生品定价理论,也为投资者应对违约风险、加强风险管理提供参考.

2 双指数分布跳跃扩散信用风险模型框架

2.1 双指数分布跳跃扩散期权定价模型

双指数跳跃扩散模型中,资产价格动态过程[14]为

其中Wt是标准布朗运动,Nt是跳跃强度为λ,大小为V的泊松过程,Vi为独立同分布非负随机变量序列,对数跳跃幅度γ=ln(V)服从密度函数如下所示的非对称双指数分布

其中η1(η1＞1)和η2(η2＞0)分别表征投资者对外界利好与利空消息的反应敏感度,η值越大市场对外界冲击反映越不敏感,表现为投资反应不足.双指数分布的期望分别为1/η1,1/η2,η1＞1的条件确保E(V)＜∞和E(St)＜∞.I[y]代表示性函数.p,q≥0,p+q=1,概率密度函数积分后,向上跳跃概率为p,向下跳跃概率为q.

图1 正态分布与双指数分布峰部比较图Fig.1 The peak comparison f i gure of normal distribution with double exponential distribution

图2 正态分布与双指数分布尾部比较图Fig.2 The tail comparison f i gure of normal distribution with double exponential distribution

双指数分布比正态分布更能体现收益率分布尖峰厚尾特性,与真实金融市场行情更贴近.与正态分布相比,体现了更高峰度和肥厚尾部,为了与标准正态分布N(0,1)作对比,令双指数分布期望θ=0,标准差δ=1,根据设定两组跳跃概率中上、下跳概率为p、q,图形内p从上到下依次为0.3,0.4,...,0.8,间隔为0.1,下跳概率q从上到下依次为0.7到0.2.图1和图2六条双指数分布曲线与正态分布对比图可见,两组分布比正态分布有更尖的峰部,左尾部分布(右尾分布类似)比正态分布更肥厚.

令V∗=eγ∗,Xt=ln(St/S0)表示资产价格对数收益率,则Xt可表示为

在式(5)基础上,以股票为标的物,T时刻到期,执行价格为K的欧式看涨期权面临与标的物相同风险.根据无风险套利原则[15],在风险中性测度下,St为鞅过程.双指数跳跃扩散条件下t时刻欧式期权定价公式为

2.2 利用双指数分布跳跃扩散期权定价模型分析公司违约

以企业包含股权和债权的资产价值为标的物,公司股权价值看作标的物欧式看涨期权.当资产价值低于债权临界值时,企业存在违约风险.假设资产价值跳跃幅度服从双指数分布,跳跃次数为泊松分布,公司股权和资产间存在非线性函数关系,通过上市公司金融市场上股权信息能测算上市公司相应资产价值变化.资产价值动态跳跃扩散模型为

其中At为t时刻的公司资产价值,上市公司股权是资产价值的欧式看涨期权,期权执行价格为企业的债务总额.

式(6)可变为

根据风险中性下无套利原理得

其中Std代表标准差.

上市公司债务总额由短期债务与长期债务构成,设定违约债务门限水平为D,当上市公司资产价值总额AT低于设定的负债门限水平D时,上市公司便发生违约,违约概率为

利用ln(AT/At)的概率分布来计算上市公司违约概率.式(8)给出了公司股权和资产值间函数关系,通过关系式用金融市场上的权益信息求解资产价值收益率概率分布中相关参数.为简化双指数分布计算的复杂性,满足求参实际需要,假设股票和资产跳跃风险相同,λA=λS,并且µA=µS∗St/At,结合以上计算并利用ln(ST/St)的未知参数可求得ln(AT/At)的概率分布函数式中未知参数µA,σA,λA,pA,η1A,η2A.从而利用上市公司股权交易跳跃模型分析公司相应资产价值跳跃动态,估算公司资产价值低于设定的负债水平的可能性,进而推断上市公司违约概率.

3 双指数跳跃扩散模型参数估计的MCMC方法

双指数跳跃扩散模型参数估计方法使用马尔科夫链蒙特卡洛模拟(MCMC)进行,MCMC将抽样方法与蒙特卡洛积分结合,从未知参数后验分布取样,Gibbs算法能确保抽样次数趋于无穷时,样本分布为待估参数和潜在变量联合后验分布.在跳跃风险识别的参数估计方法上,MCMC优于广义矩估计(GMM)等其他方法[16].样本容量充分大时,增加蒙特卡洛迭代次数能有效降低模型从离散形式向连续形式的转换偏差[17].实证研究发现：MCMC方法估计参数值不会因先验分布不同而发生显著变化[18,19],待估参数和潜变量后验分布不随先验分布而变.

根据上述股价收益率概率分布参数,能确定资产价值收益率的概率分布参数.在计算相关参数前,需先确定股票收益率的分布函数,对式(5)欧拉离散化,计算离散时间Δt内的收益率Xt

当时间间隔Δt无穷小,离散形式收益率分布近似为连续时间形式,忽略高阶无穷小量,根据泰勒近似表达式ex≈1+x+x2/2得

其中µ=Z和B分别服从标准维纳过程和伯努利分布,Pr(B=1)=λΔt=k表示Δt时间内出现跳跃的概率为λΔt,零跳跃的概率为1-λΔt=1-k.离散情形下收益率Xt的密度函数能近似表示为

由于式(13)的计算复杂性而难以用EM算法或GMM算法估计,基于贝叶斯推断的马尔科夫过程蒙特卡洛模拟方法,通过构造平稳分布的Markov链充分刻画变量的分布特性,并且增加模拟迭代次数能有效降低相对误差.令x=(x1,x2,...,xn),ω=(µ,σ,k,p,η1,η2),B=(B1,B2,...,Bn),γ=(γ1,γ2,...,γn),参数空间ω关于收益率Xt的后验分布由似然函数π(x|ω)和先验分布π(ω)导出

迭代和推算求解需要依赖待估参数、跳跃时间和跳跃幅度的后验分布,且

据实证研究结论,先验分布选择虽会影响收敛速度,但估计的参数值不会因先验分布形式不同而发生显著变化.选取计算过程中MC误差最小的分布形式,未知参数先验分布形式设定为µ∼N(0,5),σ∼IG(5,0.05),k∼ Beta(2,35),η1∼ Pareto(2.5,1),η2∼χ(2),p∼ U(0,1).在Gibbs抽样中结合Metropolis-Hasting抽样方法,从参数空间ω、跳跃时间B和跳跃幅度γ的后验分布中抽取样本直至Markov链收敛得到参数值.算法步骤如下：

步骤1根据先验分布和后验密度初始化ω0,B0,γ0;

步骤2抽取ωi+1∼π(ωi+1,Bi,γi|x);

步骤3抽取Bi+1∼π(Bi+1|ki)π(p|Bi+1,γi,µi+1,σi+1);

步骤4抽取

步骤5重复步骤直到Markov链收敛,停止迭代,输出结果ω,B,γ.

4 引入双指数跳跃的违约风险实证研究

4.1 上市公司权益价值跳跃风险分析

选择权益价值跳跃风险的样本为沪深交易所公开交易的上市公司,借鉴罗长青[10]研究行业信用风险时对行业的划分,以信息技术业(行业Ⅰ)、零售业(行业Ⅱ)、电力行业(行业Ⅲ)、石油行业(行业Ⅳ)依次作为成长性行业、防御性行业、强周期性行业、弱周期性行业的代表.考虑到我国房地产行业的住宅目的占主体部分,投资性房地产只占少数部分,结合近几年行业发展趋势将其归为防御性行业.选取2010年1月到2014年12月五年内行业指数周收盘价,研究数据来源于Wind资讯.

对上市公司收益率序列进行描述性统计,发现收益率波动存在尖峰厚尾特点.上市公司违约风险是基于资产价值发生跳跃突变的基础,公司的股权价值作为资产价值的欧式看涨期权,其波动跳跃风险引起公司违约风险,跳跃风险是违约风险的前提.应用非对称双指数跳跃扩散模型对不同行业资产价格跳跃风险进行识别,模型求解使用MCMC迭代算法,预热期为1 000,再进行500次迭代获得待估参数值.双指数分布跳跃扩散违约模型参数估计结果见表1.

表1的双指数分布模型跳跃风险参数值看出四类行业的跳跃风险具有下列特征：

1)从跳跃概率k、跳跃幅度θ、跳跃波动率δ分析,2010年1月到2014年12月期间,房地产行业和信息技术行业跳跃概率高于电力行业与石油行业.其中,房地产业每年平均跳跃2次∼3次,平均跳跃幅度为0.199,跳跃波动率为0.421;信息技术行业平均每年跳跃2次,平均跳跃幅度为0.107,跳跃波动率为0.3,石油行业和电力行业平均每年分别跳跃1次∼2次与1次.以房地产行业为例,根据估计参数值生成模拟数据序列,并与原始数据做Q—Q图对比,得到图3.

表1 双指数分布模型跳跃风险参数估计值Table 1 The parameter estimates of jump risk model with double exponential distribution

图3 原始股指数据与模拟股指数据Q—Q图Fig.3 The Q-Q f i gure of raw stock index data and simulation index data

图3大致成一条直线,表明双指数分布跳扩散违约模型很好的拟合了原始数据,构建的模型是有效的.模拟生成行业股指收益率的峰度和偏度,峰度为5.09,比正态分布陡峭,偏度为—0.36,服从左偏分布.使用不带跳扩散过程拟合原始数据得到的平均绝对误差大于模型的平均绝对误差,表明模型拟合效果优于无跳扩散模型.

2)从跳跃方向p、跳跃风险大小µ、跳跃风险方差σ分析,四类行业收益率上跳概率均高于下跳概率,反映最近五年内信息技术行业总体平稳向上的发展趋势和房地产行业收益率稳步增加的趋势.从µ、σ值上看,电力行业与石油行业跳跃变化较大,波动幅度相对较宽,不同行业的违约风险跳跃特点有所差异.

3)从跳跃风险变化对外界消息的反映程度η1、η2分析,η值表示对外界消息的反应敏感度,η值越大表示跳跃变化对外界消息越不敏感.四类行业对不利冲击的反应程度η1大于有利冲击的反应程度η2,其中,房地产行业和信息技术行业对各类消息的敏感度强于石油行业和电力行业,说明国家宏观政策调控楼市与高新技术产业的有效性.

可见,上市公司资产收益存在跳跃风险,随着宏观政策调控和社会突发事件对金融市场冲击,跳跃风险出现明显变化.为深入分析跳跃风险如何影响上市公司违约风险,分别从违约距离与违约概率两个角度进行度量.

4.2 双指数分布跳跃风险违约度量

违约距离度量了资产价值与违约门槛的距离,违约概率分析了公司信用状况与违约可能性.上市公司被ST记作违约事件,以信息技术行业的∗ST普林、电力行业的∗ST东力、石油行业的∗ST仪化2014年的周收盘价为研究样本,对比测算上市公司2014年底跳跃风险下的违约距离、违约概率与无跳跃情形下的违约距离、概率.由于房地产行业无ST公司,故只选取其他三个行业的样本代表,样本数据来自上市公司年报.McQuown[20]在KMV模型里将违约门槛(D)设置为D=流动负债+0.5非流动负债,张大斌等[21]使用差分进化算法优化违约点系数,预测企业违约概率;曾诗鸿等[22]计算了82家上市公司,得出适合我国的违约门槛,违约门槛采用曾诗鸿的.违约距离使用Duff i e和Singleton[23]的计算方法该方法具有波动率计算的稳健性[24],在表2列出了本文计算结果.

表2 非跳跃情形下信用状况和跳跃情形下信用状况Table 2 The credit conditions in jumping situation and without

对比发现,跳跃情形下资产价值距违约门槛更近,平均违约概率高于非跳跃情形.样本公司违约概率较大,分别为5.92%、3.02%和3.41%.这说明外界突发事件对金融市场的冲击给公司带来了跳跃风险,跳跃风险增加了公司违约可能性.由于我国股市存在涨跌停限制,样本公司跳跃风险下的计算结果与纯扩散过程计算结果相差不大.使用市场数据计算的违约距离包含了市场上公开交易的信息,能实时反映公司的信用状况.

4.3 双指数分布跳跃风险违约概率分析

仍以上述三家ST公司2010年1月到2014年12月的周收盘价为例,对比分析不存在跳跃的违约概率与跳跃情形下的违约概率,以及跳跃幅度取不同值时的违约概率.时间区间以年报的季度为单位,假设资产和负债不变,数值单位为百万,分析跳跃规模方差δ2变化与时间变化对违约率的影响.

计算得*ST普林的年均资产价值At=789、违约门槛D=206、资产波动方差D(At)=0.007;*ST东力的At=1 987、D=898、D(At)=0.005;*ST仪化的At=8 691、D=3 593、D(At)=0.004,跳跃规模γ的方差δ2分别取值δ2=0、0.3、0.6,利用上市公司股票数据,变换后得到资产收益率相关参数,进而刻画上市公司累积违约概率随季度时间的变化.图4到图6反映了三家上市公司在跳跃规模方差取不同值时,累积违约概率随时间变化情况.

信息技术行业的*ST普林、电力行业的*ST东力、石油行业的*ST仪化的累积违约概率呈现不同特点.*ST普林和*ST仪化的跳跃模型在短期内比无跳模型的累积违约概率更大,长期内违约概率高于无跳模型,长期内跳跃风险带来更高违约可能性.这与公司三年内连年亏损股价频繁跳跃而被冠以ST的事实相吻合.*ST普林在第8季度以后跳跃风险增加,边际违约概率与无跳模型的边际违约概率相同,*ST仪化在第6季度以后跳跃模型的违约概率明显高于无跳模型的违约概率,边际违约概率呈上升趋势,上升速度逐渐加快,随着时间变化,跳跃风险带来的边际违约可能性增加;外界突发事件冲击金融市场时,资产价值跳跃风险δ变大,加快了违约概率上升速度.*ST东力的累积违约概率变化与其他两家公司表现不同.样本期间内跳跃模型累积违约概率始终高于无跳模型累积违约概率,第10季度以后边际违约概率稍微增加.截止到第5年末,δ2=0的三家上市公司违约概率分别是42.3%,36.8%和39.3%,在数值计算上δ2=3的违约概率比δ2=0的数值分别高0.9%,1.69%和2.5%.

图4 *ST普林不同方差跳跃规模下累积违约概率变化图Fig.4 The cumulative default probability variation of Pulin under different variance jump size

图5 *ST东力不同方差跳跃规模下累积违约概率变化图Fig.5 The cumulative default probability variation of Dongli under different variance jump size

图6 *ST仪化不同方差跳跃规模下累积违约概率变化图Fig.6 The cumulative default probability variation of Yihua under different variance jump size

长期内,三家公司都表现出累计违约概率与跳跃波动方差正相关特点,对于公司信用评级有启发式意义.通过金融市场上股票信息推导公司资产价值动态进而对企业信用评级,要区别对待不同信用风险溢价,除需考虑同跳跃幅度方差下不同时间内累计违约概率的不同外,更需考虑公司的个体异质性,使风险溢价合理反映公司违约风险.

5 结束语

上市公司违约风险分析一直是学界关注重点,以前研究大多未考虑金融资产收益率变动的尖峰厚尾性.金融市场资产价格噪音分布呈现异于正态分布的独特性,如尖峰厚尾性、集聚性和非对称性等,金融跳跃波动下信用风险度量建模需要引进新跳跃成分以刻画跳跃形态.通过构建双指数分布跳跃扩散违约风险模型将双指数分布跳跃扩散过程引进信用风险KMV模型,识别了上市公司资产价格跳跃风险,进而测算了上市公司违约距离和违约概率.以双边跳跃双指数分布取代正态分布随机跳幅,使用股权信息反映资产价值跳变风险,对于公司信用评级具有指导性意义.

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