基于Pareto粒子群算法的路口多目标信号控制模型

李巧茹 ，李欣，陈亮

(1. 河北工业大学 土木与交通学院，天津 300401；2. 河北省土木工程技术研究中心，天津 300401)

在城市交通网络中，路口不仅影响着路网的通行能力，同时也是造成车辆延误、排队以及交通拥堵的瓶颈节点。传统路口的交通信号控制方法主要是建立流量、延误、停车次数、排队长度等评价指标与周期、绿信比、相序等交通信号控制参数之间的联系，通过适当的算法寻找能够使单个或多个评价指标最优化的信号配时方案，以满足交通流的实时需求。经典的信号控制系统TRANSYT、HCM法、自适应交通信号控制模型都遵循着该原则。国内外学者提出了许多该原则下优化信号控制模型及算法优化路口的评价指标。为全面地反映交通流的实际状态，大部分学者致力于多目标信号控制模型研究。Schmöcker等[1]提出一种基于模糊逻辑控制的多目标信号控制方法，模型根据模糊决策的Bellman-Zadeh principle来优化各个子目标函数，最终得到信号配时的多目标最优解，但该模型未考虑各子目标之间原有的关系；Shou等[2]基于模糊逻辑控制理论，提出以车辆平均延误、平均次数以及排队长度最小为目标的多目标信号控制模型，该模型仅在饱和条件下比传统的固定配时更为高效、实用。刘金明等[3−5]大都将延误、停车次数、通行能力评价指标组合在一起，把多目标模型转化为单目标最优求解，不是真正意义上的多目标最优模型。交叉口多目标信号控制模型需要群智能算法搜寻全局最优解。在众多求解多目标非劣解问题的算法中，粒子群算法是一种具有全局性、随机性及群智能性的优化算法，该算法由Kennedy等[6]首次提出。国内外大量研究者从优化速度更新[7]、收敛机制[8]、粒子组织和群结构优化[9−10]等方面对基本粒子群算法进行了改进，已基本成熟。目前，引入粒子群算法求解信号配时的多目标优化问题的研究主要有：瞿高峰等[11]以交叉口车辆平均延误和停车次数最小为目标，建立信号控制交叉口配时模型，并运用粒子群优化算法求解该模型；张兰[12]在以上模型目标中引入了通行能力指标，并针对交通平峰时期和高峰时期的特殊交通流情况，分别用基本的粒子群算法和改进粒子群算法进行优化计算；苏长慧[13]采用折中模糊思想将以上多目标模型转化为单目标函数，并用Powell搜索法改进的粒子群算法对模型进行求解。以上研究均是以延误、停车次数、通行能力为多目标，并通过不同方法改进的粒子群算法对模型进行求解，但均是静态交通流情况下的固定配时求解，未能根据交叉口交通流量变化实时进行动态调整。针对以上研究存在的不足，本文以延误和停车次数最小、有效通行能力最大为目标，根据路口转向流量在不同时段的变化定义引道动态累积流量，进而得到信号控制路口有效通行能力的计算方法，同时实现信号配时、延误、停车次数的动态更新，建立基于Pareto最优化多目标粒子群算法求解路口信号实时控制模型，有效提高了路口的运行效率。

1 问题描述

在一个传统的四相位信号控制路口，在禁止掉头的情况下，设有N个信号配时相位，r个进口道、s个出口道，以逆时针顺序分别给路口各进口道编号i，i∈(1, 2, …, r)，给各出口道编号 j，i∈(1, 2, …, s)。

定义如下信号配时参数。

T：四相位信号控制路口信号配时周期时长；tn：信号控制路口的第n个信号配时相位的时长，n=1,2, …, N；gn：第n个信号配时相位的显示绿灯时间，n=1, 2, …, N；gen：第n个信号配时相位的有效绿灯时间，n=1, 2, …, N；Rn：第n个信号配时相位的全红时间，n=1, 2, …, N；Yn：第n个信号配时相位的黄灯时间，n=1, 2, …, N；：第n个信号配时相位的最小显示绿灯时间，n=1, 2, …, N； gmax：

n第 n个信号配时相位的最大显示绿灯时间，n=1,2, …, N；ln：第n个信号配时相位的车辆启动损失时间，n=1, 2, …, N。

在每个信号周期内的信号配时参数存在如下基本关系：

在路口的信号配时中，各相位的显示绿灯时间需控制在某个合理的范围内，存在不等式约束条件：

2 路口多目标信号控制模型

首先定义如下变量：

λn：第n个信号配时相位的绿信比；：第n个信号配时相位由i进口方向到j出口方向的车辆到达率；aij：由i进口方向到j出口方向的车道数；dn：第n个信号配时相位的车辆平均延误；sn：第n个信号配时相位的车辆平均停车次数；capn：第 n个信号配时相位的有效通行能力；：第n个信号配时相位各进口道饱和度的最大值；：第n个信号配时相位的实际交通量的最大值；：第n个信号配时相位由i进口方向到j出口方向的实际交通量；qn：第n个信号配时相位的实际总交通量；pmax：第n个信号配时相位的各进口道流量比的最大值； unmax：第n个信号配时相位各进口道饱和流量的最大值；

在信号控制路口，车辆到达路口的时间间隔和车辆数是随机变化的，同时，在每个信号周期内，总有部分车辆在到达停车线前受到红灯阻滞，即使在绿灯时间内到达路口停车线也会因为排队过长而不得不减速甚至停车，导致二次排队。本文将信号控制路口的车队通过进口引道停车线分为2个阶段：1)初始加速阶段；2)致密行驶队列阶段。假设有K个优化目标，以各信号相位时间tn为自变量，建立基于Pareto最优解集的路口信号控制模型：

为了在满足不等式约束条件的情况下，保证每个信号周期内二次以上排队车辆以及本周期内到达的车辆及时通过路口，本文以车辆的平均延误最小、平均停车次数最小、各相位的平均有效通行能力最大3个评价指标的综合最优化为目标函数：

不等式约束条件：

等式约束条件：

3 评价指标体系

车辆平均延误、车辆平均停车次数、有效通行能力的定义如下。

3.1 车辆平均延误[14]

3.2 车辆平均停车次数

其中：f为对停车次数的矫正系数，通常取0.9。

3.3 有效通行能力

每个信号周期内第n个信号配时相位的有效通行能力capn定义为：其中：hij为由第i个进口方向驶入，从第j个出口方向驶出的车辆饱和车头时距；Yn为当前周期第n个相位的黄灯时长；Rn为当前周期第n个相位的全红时长；ln和 ln,H分别为当前周期和上一周期第 n个相位的损失时间；tn和 tn,H分别为当前周期和上一周期第n个相位的相位时长；qij为在当前周期第n个相位内由第i个进口方向驶入，从第j个出口方向驶出的实时车辆数，应当由3部分组成，分别是为上一周期第n个相位绿灯时间结束到当前周期第n个相位绿灯时间结束的到达车辆数，为上一周期第n个相位由第i个进口方向驶入，从第j个出口方向驶出的车辆数，以及aij[(tn,H−ln,H)/hij+1]为上一周期第n个相位绿灯时间内驶出的车辆数；gn′ 为根据第n个相位内的最大值所得显示绿灯时间；为上一周期第n个相位绿灯时间结束到上一周期结束的时长；为当前周期开始到第n个相位绿灯时间开始的时长。

4 基于Pareto最优化的多目标粒子群算法

粒子群算法具有操作简单，算法搜索效率较高等优点，算法通用性较强，对多变量、非线性、不连续及不可微的问题求解有较大优势。

本文的多目标问题由3个评价指标的最优化作为全局目标，目标之间存在相互制约的关系，由于Pareto最优解集是非劣最优解集，因此将Pareto支配理论融入多目标粒子群算法。

Pareto最优化理论实际上就是求解决策变量空间Rm到目标空间Rk的映射，具体归纳为：

S为包含 m维决策变量的可行解区域，t∈S⊂Rn，设,∈S⊂Rm，当且仅当∀k∈

n{1,2,…,K}，fk() ≤ fk() ∧ ∃k ∈ {1,2,… , K }使得fk() ＜ fk()，则称解非劣于(支配)解，记做≺。

若t*∈ S ，且在 S中没有比t*更优越的解 tn，则t*是可行解集S的Pareto最优解。

由t*构成的集合S*为Pareto最优解集：

所有Pareto最优解对应的目标函数值所形成的区域就是Pareto Front。

Pareto支配理论与粒子群算法结合求解模型配时参数过程归纳为：针对N个目标，在N维空间中采用M个粒子进行位置搜索，首先对粒子群算法的加速常数、最大粒子速度、惯性权重等参数和粒子位置(4个相位的信号配时)、粒子速度等变量初始化。进入迭代循环，每次迭代中先计算每个粒子的延误、停车次数、有效通行能力3个适应度函数值，然后顺序比较粒子的适应度函数值确定全局最优位置和非劣解集，比较过程分2步：第1步是基于粒子适应度的支配关系对粒子进行排序，得到从 1开始升序的不同序值的Pareto前端，这样序值小的粒子就支配(优于)序值大的粒子，序值为1的Pareto前端就是Pareto Front；第2步是对序值为1的Pareto第一前端的各个粒子位置比较密度距离，拥有更大密度距离的粒子更优，选取第一前端中密度距离最大的粒子所对应的信号配时为该次迭代全局最优位置，若该次迭代的全局最优位置的适应度函数值支配当前全局最优位置，则更新全局最优位置，当迭代次数大于2时，将该次迭代全局最优位置与之前每次迭代的全局最优位置合并构成新的非劣解集，剔除其中被支配的粒子位置。同时，每次迭代中，顺序比较每个粒子当前位置(信号配时)与其个体历史最优位置(首次迭代不需要比较，即为粒子初始位置)的适应度函数值的Pareto支配关系，若个体历史最优位置被粒子当前位置支配，则将粒子当前位置支配作为新的个体历史最优位置。将全局最优位置和个体最优位置用于更新下一次迭代时粒子的位置的速度，不断迭代直到迭代次数或者精度达到要求，最后得到最终的非劣解集，从中随机选择一个解作为最优解。

4.1 变量定义

针对路口多目标信号控制模型，本文采用全局粒子群算法，设群体共有M个粒子(通常取10~50)，每个粒子在N维空间(即相位个数)中以一定速度飞行，在飞行路径搜索时，考虑到自身在全局搜索的历史最优位置和粒子群的其他粒子的历史最优位置的基础上变化位置(即可行解)，第m个粒子具有3个N维向量属性(即适应度函数个数)，即：

目前位置：

个体历史最优位置：

速度：

其中：m=1, 2, …, M，目前位置便是各个相位的信号配时，在粒子群算法中可以看作是描述空间点的一套坐标，在每一次迭代中，目前位置作为多目标问题的解被用来计算评价指标，即算法的适应度函数，由每次迭代所得目标位置的适应度函数得出粒子之间的Pareto支配关系及粒子之间的密度距离，若目前位置的适应度函数值支配该粒子个体历史最优位置 pm的适应度函数值，则更新 pm；若迭代过程中某一次迭代的全局最优位置的适应度函数值支配当前全局最优位置，则更新全局最优位置gbest = (g best1, g best2,… , g bestn,… , g bestN)。

4.2 位置及速度更新

设lmax为最大迭代次数，每次迭代搜索过程l需要根据粒子群各粒子个体历史最优位置p和粒子群全局最优位置gbest更新每个粒子的位置及速度：

其中：rand( )是在[0,1]内取值，服从均匀分布的随机函数。

4.3 参数设定

4.3.1 加速常数

c1和c2是2个非负的加速常数，分别反映粒子自我总结学习和向群体中优秀个体学习的能力，两者的和通常为 4，一般取 2能够使算法迭代次数较小。

加速常数除了取固定值外，还可以使2个加速常数实现在迭代过程中的同步变化和异步变化。

1) 同步变化

其中：cmax为加速常数最大值，通常取4；cmin为加速常数最小值，通常取0。

2) 异步变化

其中： c1,ini和 c2,ini为加速常数 c1和 c2的初始值；c1,fin和 c2,fin为加速常数c1和c2的迭代终值。通常取c1,ini=2.5，c2,ini=0.5，c1,fin= 0 .5，c2,fin= 2 .5。

4.3.2 最大粒子速度

Vmax是常数，限制了速度的最大值，通常取为当前位置可能取得的最大值，将速度限制在一个范围内 [- Vmax, Vmax]，即：

如果 vm,n＜-Vmax，则vm,n=-Vmax；

如果 vm,n＞Vmax，则vm,n= Vmax；

4.3.3 惯性权重

惯性权重w能够实现对粒子飞行速度的有效控制与调整，惯性权重最简单的是固定惯性权重，通常取[0.4,1.4]效果较好，若算法早期取较大值，具有发散性，可以加强全局搜索，后期取较小值，具有收敛性，可以侧重局部搜索以提高搜索效率和精度，因此，更多会选择动态惯性权重粒子位置及速度。常见的动态惯性权重有线性递减权重、非线性惯性权重、自适应权重、随机权重等动态惯性权重，还有采用收缩因子代替惯性权重，避免了惯性权重后期过小而失去搜索新区域的能力。

1) 线性递减权重

线性递减权重，随迭代时间步数t线性递减，先取最大值，后取最小值比较合适，收敛精度、收敛速度更优。

第1种：

第2种：

2) 非线性惯性权重

第1种：

第2种：

第3种：

3) 自适应权重

4) 随机权重

其中：N(0,1)为标准正态分布的随机数；rand(0,1)为0到1之间的随机数；σ为随机权重平均值的方差，通常取0.2。

5) 收缩因子

ωstart为初始惯性权重，通常取0.9；ωend为迭代至最大次数时的惯性权重，通常取0.4。

4.3.4 密度距离

第i个粒子与第j个粒子之间的距离算子取欧几里德距离：

Fk( xi)为第xi个粒子第k个目标的适应度函数值，本文共包括延误、停车次数、有效通行能力 3个目标，具体参照式(6)~(8)进行计算，K为问题空间的变量个数，和分别为Fk的上、下界。

则M个粒子之间的距离矩阵可以表示为：

可行解集合S中每个个体在目标空间上与其他个体的欧几里德距离，从小到大顺序排列，若和为最小的2个距离，集合S中个体m的密度距离为：

其中：M是当前支配等级中的粒子个数，mj≠。

在Pareto支配关系的同一等级中，密度距离越大，粒子之间就越不拥挤，粒子群的多样性就越好。

以上参数共同维护了粒子对全局和局部搜索能力的平衡。

4.4 算法流程

基于Pareto最优化的粒子群算法采用Pareto支配关系、密度距离形成粒子淘汰准则，最终得到多目标问题的非劣解集。具体算法及选择策略见图 1所示。

图1 粒子群算法流程图Fig. 1 Particle swarm optimization

Step 1：迭代次数t=1，初始化粒子群算法的加速常数、最大粒子速度、惯性权重等参数和粒子位置(4个相位的信号配时)、粒子速度等变量；

Step 2：根据式(6)~(8)计算各粒子适应度；

Step 3：第1步迭代，个体历史最优位置p即为各个粒子的当前位置，按照Step 2中的适应度函数值两两顺序比较进行排序，得到各粒子间的Pareto支配关系，进而得出若干组序值由1递增的Pareto前端，则第一前端(序值为 1)即为该次迭代循环的Pareto 第一前端，对序值为1的Pareto第一前端的各个粒子位置比较密度距离，如式(37)~(38)所示，拥有更大密度距离的粒子更优，选取第一前端中密度距离最大的粒子所对应的信号配时为该次迭代全局最优位置gbest，粒子的当前位置即为个体历史最优位置p；

Step 4：迭代次数t=t+1，更新权重，基于个体最优位置和全局最优位置，根据粒子位置、速度动态表达式更新粒子的位置及速度；

Step 5：根据式(6)~(8)计算各粒子适应度；

Step 6：基于新的粒子位置，首先，将各粒子当前位置与其个体历史最优位置p进行比较，按照粒子适应度的Pareto支配关系，若新的粒子位置支配p，则更新p为新的粒子位置，反之不更新；同时，基于粒子适应度的支配关系对粒子新位置进行排序，得到从1开始升序的不同序值的Pareto前端，这样序值小的粒子就支配/优于序值大的粒子，序值为1的Pareto前端就是该次迭代的Pareto第一前端，对序值为1的Pareto第一前端的各个粒子位置比较密度距离如式(37)~(38)所示，拥有更大密度距离的粒子更优，选取第一前端中密度距离最大的粒子所对应的信号配时为该次迭代全局最优位置，若该次迭代的全局最优位置的适应度函数值支配当前全局最优位置，则更新全局最优位置gbest，将该次迭代全局最优位置与之前每次迭代的全局最优位置合并构成新的非劣解集，剔除其中被支配的粒子位置；

Step 7：重复Step 4到Step 7的工作直到达到预先设定的迭代次数或精度要求，得到多目标问题的非劣解集；

Step 8：结束算法，从非劣解集中随机选择一个粒子的位置，输出该粒子位置对应的各信号配时相位时长t1, t2, …, tN及评价指标(适应度函数值)。

5 案例研究

以北京市赵登禹路与平安里西大街路口为案例，采用工作日 2013−04−24(周三)早高峰 7:00~10:00的交通流数据进行分析。在得到单位时间内各个转向车流的到达率的基础上，交通流通过路口时，采用北京市信号控制路口的首车车头时距4.54 s[15]，后续排队车辆的启动损失时间总和2.95 s[15]，另外，信号控制模型每个信号配时相位全红时间为1 s，黄灯时间为3 s，最小显示绿灯时间为15 s，最大显示绿灯时间为45 s。

首先，为了确保粒子群算法适用于案例，提高算法的效率和精度，对粒子群算法的惯性权重、学习因子等参数进行模型试算，以确定最优参数设置。

5.1 参数确定

5.1.1 惯性权重

惯性权重能够实现对粒子飞行速度的优化，研究表明，粒子群算法的惯性权重通常取[0.4,1.4]内效果较好。下面取种群粒子数为20，迭代次数为100，2个学习因子均取 2，对比分析固定惯性权重、线性递减权重、非线性惯性权重、自适应权重、随机权重以及采用收缩因子代替惯性权重对粒子群算法应用的影响。

首先，当惯性权重取固定权重，并由0.1变化到1.4时，通过计算得出，惯性权重取0.4时，粒子群算法求解信号控制模型所得配时方案所有周期的车辆平均延误、平均停车次数以及平均有效通行能力整体最优，处于建议范围[0.4,1.4]内，如表1所示。

表1 固定权重比较Table 1 Comparison of fixed weight

以惯性权重0.4作为固定权重(F)的代表，并与线性权重第 1种(La)、线性权重第 2种(Lb)、非线性权重第1种(Na)、非线性权重第2种(Nb)、非线性权重第3种(Nc)、自适应权重(A)、收缩因子(C)、随机权重(R)对比，如图2~4所示。

由此可以得出结论，随机惯性权重的平均延误、平均停车次数均是最优，并且平均有效通行能力次优，配时结果最佳，说明随机惯性权重为粒子群算法带来了随机性，使粒子速度、位置的变化更为灵活，进而更加容易找到最优解，也适应了城市交通流随机性的特点。

图2 惯性权重延误对比分析图Fig. 2 Analysis of inertia weight delay

图3 惯性权重停车次数对比分析图Fig. 3 Analysis of inertia weight stops

图4 惯性权重通行能力对比分析图Fig. 4 Analysis of inertia weight capacity

5.1.2 加速常数

粒子群算法的2个加速常数，分别代表粒子群中粒子的自我总结学习和向群体中优秀个体学习的能力，而加速常数的选取也有多种方案，下面取种群粒子数为 20，迭代次数为 20，惯性权重为随机惯性权重，在加速常数取值范围0至4内拟定15种加速常数方案进行对比分析，如表2所示，评价指标对比结果如图5~7所示。

表2 加速常数选取方案Table 2 Select program of accelerated constant

图5 加速常数延误对比分析图Fig. 5 Analysis of accelerated constant stops delay

图6 加速常数停车次数对比分析图Fig. 6 Analysis of accelerated constant stops

图7 加速常数通行能力对比分析图Fig. 7 Analysis of accelerated constant capacity

不难发现，当c1和c2和为4，且取得靠近2的值时，平均延误、平均停车次数和平均有效通行能力更优，分别为1.5和2.5；2.5和1.5以及2和2，而同步变化和异步变化反而效果不佳，这进一步证明了加速常数均在 2附近取值收敛效果更好的特点。

5.2 指标对比

在确定粒子群算法的最终参数配置的基础上，将最优配时方案的结果与现状配时进行对比，首先，现状为固定配时，周期时长为 159 s，而基于Pareto最优化的多目标粒子群算法路口信号控制模型所得配时方案的平均周期时长为146 s，其中，早高峰时段7:00~8:30平均周期时长150 s，平峰时段142 s，实现了高峰平峰的差异化，周期的时间序列如图8所示，在前36个周期，即早高峰时段7:00~8:30，周期时长明显大于后续的周期时长，随交通流的变化而实时调整。

图8 周期时长的动态变化Fig. 8 Dynamic change of cycle

通过点样本法收集到了现状路口不同进口道的车辆平均延误情况，如表3所示，本模型的信号配时方案各个进口道的平均延误均在一定程度上优于现状，路口每辆车的平均延误比现状优化了2.2 s。如表4所示，本模型所得信号控制方案的各进口道每小时的平均延误和有效通行能力，除东进口外，明显优于现状每小时的有效通行能力。因现状为固定配时，且给东西直行分配了过长的绿灯时间，虽然满足了东进口直行的通行需求，但西进口直行通行能力盈余很大，造成绿灯时间浪费，而其他进口绿灯时间不够，如表5所示，同样，南北直行绿灯时间也有一定程度的浪费。固定配时不能够适应交通流实时变化的需要，采用本模型的实时信号配时方案，动态适应交通流的变化，能够得到更为理想的单位小时有效通行能力。

表3 现状与本模型所得平均延误对比Table 3 Average delay comparison of present situation and this model

表4 现状与本模型所得单位h有效通行能力对比Table 4 Capacity comparison of present situation and this model

表5 现状单位h通行能力盈余Table 5 Status quo of the hourly capacity surplus

5.3 单目标与多目标对比

采用多目标信号控制模型转化为单目标最小化求解，以每个信号周期内的平均延误最小、平均停车次数最小和平均每个相位有效通行能力最大建立单目标目标函数：

其中：为了将3个评价指标转化为单目标，引入了各自对应的加权权重，使得和随着各相位饱和度之和 P的增加而减小，随各相位饱和度之和P的增加而增加，从而使优化目标在交通平峰期间侧重减少延误和排队，而在高峰期间则着重提高通行能力，同时，随着周期时间的增长，停车次数随即增大，在停车次数加权系数中引入周期时长T：

其中：P为各个信号配时相位各进口道饱和度之和。

表6 单目标与本模型所得平均延误对比Table 6 Average delay comparison of single objective model and this mode

表7 单目标与本模型所得平均停车次数对比Table 7 Average stops comparison of single objective model and this mode

表8 单目标与本模型所得单位h有效通行能力对比Table 8 Capacity comparison of single objective model and this mode

从表6~8来看，采用多目标信号控制模型转化为单目标最小化求解信号配时，能够在一定程度上实现信号配时方案动态适应交通流的变化，控制效果要优于固定配时方案，但是却不能实现真正的信号控制评价指标的多目标优化，勉强将不同的评价指标通过加权粘合在一起，其权重的合理性、加权的组合方法等都不能够真实反映信号控制下路口评价指标变化的实际情况，对不同指标的盈余能力挖掘程度不够，因而，其控制效果不如本模型的多目标优化结果。

6 结论

1) 将 Pareto最优化原理引入粒子群算法来求解该模型，基于各粒子所得配时方案建立Pareto支配关系并得到粒子之间的密度距离，采用锦标赛选择策略筛选出评价指标最优的配时方案，进而得到信号配时的Pareto最优解。

2) 综合考虑评价指标的对比和在线应用的需要，确定适用于案例路口的粒子群算法参数，案例运算结果优于路口现状，同时，也优于将多目标问题转化为单目标求解的信号控制模型，证明了模型的可靠性。

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