高架简支箱梁与U梁车−轨−桥耦合振动分析

汪振国，雷晓燕，罗锟

(华东交通大学 铁路环境振动与噪声教育部工程研究中心，江西 南昌 330013)

在我国高速铁路和城市轨道交通中，高架桥梁结构应用极为普遍，例如京津城际高速铁路、京沪高铁中桥梁占比均超过 80%，北京地铁 5号、13号线，上海轨道交通5号线，天津地铁9号线等均使用高架桥梁结构。在高架桥梁结构中，箱型桥梁的应用最为广泛，U型梁作为一种新型的城市轨道交通载体，与其他梁型相比，具有建筑高度低、降噪效果好、行车安全等诸多优点，在城市轨道交通中应用也越发广泛。然而，高架桥所带来的结构振动与噪声问题已成为制约轨道交通发展的重要因素。混凝土桥梁结构振动会向四周辐射低频噪声(0~200 Hz)，该频段噪声对人的注意力、反应时间及语言辨识能力等有诸多负面影响[1−2]。振动为噪声之源，因此，对轨道交通高架桥梁结构振动开展研究，找到减少桥梁结构振动的合理措施，对降低桥梁结构低频噪声、保障人体身心健康和促进轨道交通的发展都具有重要意义。列车过桥时会导致桥梁结构发生振动，同时，桥梁也会对车体产生反作用力，引起车辆振动。这种车辆和桥梁之间的相互作用问题就是车桥耦合问题。一直以来，国内外学者围绕该问题开展了大量的研究工作。YANG等[3]采用动态缩聚法对车桥耦合系统求解方法进行改进，使得求解时的计算效率得以提高；TAN等[4]提出了一种简化的车桥耦合模型并分析了多参数对车桥耦合振动的影响；Crockett等[5]建立车辆—轨道—箱梁的有限元模型，并计算轮轨相互作用引起的结构振动。翟婉明等[6−9]对车辆、轨道、桥梁耦合动力学，桥梁振动对行车稳定性及周边环境影响等进行了大量的科学研究，取得了不少研究成果。此外，计算机仿真模拟技术的发展与成熟，也为车桥耦合问题的解决提供了一种新型有效途径[10−11]。本文为研究列车过桥时简支箱梁、U型梁桥及轨道结构的振动规律，基于多体系统动力学与有限元法，建立城市轨道交通列车—轨道—箱梁(U梁)—桥墩三维车轨桥耦合振动仿真模型，对列车过桥时箱梁、U梁及轨道结构的竖向和横向振动进行研究，针对箱型梁桥，进一步探讨扣件、板下弹性支承与桥梁支座参数对箱梁及其轨道结构的振动规律，进而寻求各连接部件参数的合理取值，从而为铁路高架桥梁结构的减振设计提供合理的参考。

1 多体动力学基本理论

1.1 多刚体与柔性体动力学方程

由多个刚体组成的刚体系统可以用第二拉格朗日方程表示[12]：

式中：q为坐标矢量；q˙为广义速度矢量；Q为广义力矢量；T为多体组成的系统动能，可由下式表示：

式中：vi为广义速度向量；mi为质量矩阵；ωi为广义角速度向量；Ii为刚体的惯性矩阵；i为刚体序号；p为刚体数量。

广义力矢量 Q可用每个刚体上的外力 Fi和外力矩Mi表示：

式中：Jci和 Jωi分别为刚体平动速度和转动角速度对应的Jacobian矩阵。

柔性体的运动方程可从以下方程导出：

式中：Ψ为约束方程；λ为对应于约束方程的拉式乘子；ξ为广义坐标矢量；˙ξ为广义速度矢量；Q为投影到ξ上的广义力；Γ为能量耗散函数；L为拉格朗日项，定义为L=T−W，T和W分别表示动能和势能。

1.2 多体系统中柔性体的实现

根据弹性结构有限元模型的质量矩阵M，刚度矩阵K及相应形状函数U，可获得结构的模态质量矩阵M和模态刚度矩阵K及车轮与结构间作用的广义向量p[11]，公式表述如下：

式中：ul(l=1，2，…，n)为结构的第l阶模态振型，其中n为模态自由度；p为车轮和结构间的作用力。对于正交形状函数，固有振型为正交化的静态振型，弹性结构的运动方程为：

式中：z为结构的模态(振型)坐标；z˙˙为结构的模态(振型)加速度。

式(7)为解耦方程组，进一步可简化为n个二阶微分方程组：

式中：ml，dl，kl和pl分别为对应每一振型ul的模态质量、模态阻尼、模态刚度和广义力。

模态阻尼dl可用结构的临界阻尼表示：

式中：D为结构的阻尼比。

借助 Duhamel积分法[13]，式(8)可分别独立求解。

2 车辆—轨道—桥梁耦合系统建模

以轮轨接触面为界，将车轨桥耦合振动仿真模型分为上下两个子模型：上部为列车模型，将其考虑为多刚体系统；下部为轨道—桥梁—桥墩模型，

将其考虑为柔性体系统。为实现弹性结构模型转换为多体系统中柔性体结构模型，需先应用有限元动力子结构技术分别对钢轨、轨道板、桥梁及桥墩有限元模型进行处理，获得包含各结构的几何、质量、刚度、模态以及节点坐标信息文件，再通过Simpack接口程序，将上述信息文件转换成Simpack识别的*.fbi柔性体文件，即实现模型间的转换。箱型梁车轨桥耦合振动仿真模型如图1所示。

图1 仿真计算模型Fig. 1 Simulation calculation model

2.1 列车模型

本文车辆模型参照地铁B型车参数建立。列车模型由3辆车按两动一拖的形式进行编组，中间车辆为拖车，动车位于两端，通过车体间的钩缓装置实现编组挂接。依据本文研究目的，在模型中只考虑车辆的竖向和横向运动，不考虑纵向运动情况，因此单节车辆共选取27个自由度(表1)。计算中取列车速度为80 km/h，轨道不平顺按美国5级不平顺谱施加垂向(高低)和横向(方向)不平顺。

表1 单节车辆自由度Table 1 Degree of freedom of single vehicle

2.2 柔性体子系统模型

下部模型各结构均考虑为柔性体。各结构部件间通过力元连接，桥墩与大地固接，共同构成多柔性体系统，如图2所示。

箱型梁长30 m，宽12 m，为双线行车梁型，计算工况为列车单线通过桥梁左侧轨道，混凝土底座浇筑于梁体顶面之上，如图2(a)所示；U梁长30 m，为单线型车梁型，混凝土底座浇筑于梁体底板之上，如图2(b)所示。

图2 柔性体系统Fig. 2 Flexible body system

混凝土底座截面尺寸为2 800 mm×200 mm(长×高)，其与轨道板通过 5号力元(Spring-Damper Parallel Cmp)连接，用以模拟板下弹性支承结构，力元横向与纵向间距均为 1.2 m；轨道板截面尺寸为2 400 mm×190 mm(长×高)，其与钢轨同样使用5号力元连接，用以模拟扣件，扣件纵向间距为0.6 m；钢轨依据60 kg/m钢轨参数建立，为提高计算效率，多体系统中只在桥梁段将其考虑为柔性体，桥梁范围外的钢轨考虑为刚体，多体系统中钢轨柔性体的实现除了需要上文所述的*.fbi文件外，还需自编*.ftr文件，该文件包含了钢轨的长度、位置、轮轨接触面上钢轨离散点、扣件连接节点、节点误差等信息，用以实现列车轮对与钢轨间的数据交互；桥墩通过5号力元连接于桥梁底板之下，该力元用以模拟桥梁支座，支座距梁端 0.6 m。各结构及连接部件计算参数见表2~3。

表2 结构部件计算参数Table 2 Calculation parameters of structural components

表3 连接部件计算参数Table 3 Calculation parameters of connecting parts

3 桥梁及轨道结构振动响应分析

3.1 箱梁及轨道结构振动响应分析

为研究箱梁及轨道结构整体的振动响应，且考虑箱梁截面的对称性，在桥梁跨中、1/4及支座截面处分别选取6个观测点，箱梁观测截面选择如图3所示。以桥梁跨中截面为例，如图4所示，在桥梁翼板、顶板、腹板、底板、轨道板及钢轨顶面设置6个观测点。

图3 箱梁观测截面Fig. 3 Observed sections of box- girder

图4 箱梁跨中截面观测点布置Fig. 4 Arrangement of observation points in cross section of mid-span

各截面观测点竖向振动响应最大值计算结果见表 4与图 5，横向振动响应最大值计算结果见表5。

表4 钢轨与轨道板竖向振动响应Table 4 Vertical vibration response of rail and track plate

图5 各截面竖向振动响应最大值Fig. 5 Maximum value of the vertical vibration response

由表4和图5可知：各截面上钢轨的竖向振动最大，轨道板次之，箱梁竖向振动最小；列车过桥时，箱梁梁体长度方向上，各观测点竖向振动均呈先增大后减小再增大的趋势；3号(跨中)与4号(1/4)截面各观测点竖向振动相差不大，但在1号、5号(支座)及2号(1/4)截面相差较大，其中翼板处位移和加速度竖向响应均为最大，其次为腹板，应注意箱梁翼板与腹板的竖向振动情况。

表5 横向振动响应计算结果Table 5 Calculation results of transverse vibration response

由表5可知：各观测点横向位移相差不大，但钢轨横向加速度明显大于其他观测点，表明钢轨横向振动较之轨道板与箱梁更剧烈，但对比表4与表5钢轨与轨道板振动响应，发现两者竖向振动响应远大于横向振动，故应重点关注钢轨与轨道板的竖向振动；对比箱梁各观测点(1~4号)，发现底板(4号)横向振动响应在各截面上均要大于其它观测点，应注意箱梁底板的横向振动情况。

3.2 U梁及轨道结构振动响应分析

为研究桥梁整体的振动响应，在桥梁跨中、1/4及支座截面处分别选取7个观测点，以桥梁跨中截面为例，如图6所示，在桥梁翼缘、腹板、底板、轨道板及钢轨顶面设置7个观测点。振动响应计算结果见表6。

图6 U梁跨中截面观测点布置Fig. 6 Arrangement of observation points in cross section of mid-span

由表6可知：跨中与1/4截面处钢轨竖向位移最大，轨道板次之，U梁竖向位移最小，且跨中截面各观测点竖向位移均大于 1/4截面处观测点；U梁在上述两截面上竖向位移响应由下至上呈减小趋势，即底板位置竖向位移最大，腹板次之，翼缘处竖向位移最小；支座截面处由于受支座约束的影响，U梁底板与轨道板竖向位移响应变小，同时腹板和翼缘处竖向位移增大；U梁各截面横向位移响应规律与竖向位移响应规律相反，即翼缘处横向位移最大，腹板次之，底板横向位移最小，且除2号与6号观测点外，其他观测点横向位移由跨中至支座截面呈增大趋势；各观测点加速度响应规律与位移响应规律大致相同。

表6 振动响应计算结果Table 6 Calculation results of vibration response

3.3 箱梁与U梁振动对比分析

综合2种梁桥结构振动分析结果，可以得到：

1) 除受支座约束的支座截面外，无论哪种形式的梁桥，轨道结构(钢轨与轨道板)竖向振动响应都要大于梁体结构(箱梁与U梁)的竖向振动响应；且2种桥梁的轨道结构竖向振动要远大于横向振动，因此，应重点关注钢轨与轨道板的竖向振动情况。

2) 对比表5与表6可以发现：箱梁各观测点横向振动较之U梁要小上许多，特别是U梁翼缘处的横向振动最为剧烈，这主要是因为U梁的横向刚度较小的缘故，因此，U型梁横向振动不容忽视，尤其应注意翼缘处横向振动情况。

3) 依据图5和表5，可大致预测列车过桥时箱梁结构振动空间分布情况：梁体长度方向上，竖向振动呈先增大后减小再增大的趋势，1/4截面处达到最大；梁体支座与1/4截面上，翼板处竖向振动最大，其次为腹板，顶板与底板竖向振动相差不大；跨中截面上，各部位竖向振动相差很小；箱梁各部位横向振动都很小，而且相差甚微。

4) 依据表6数据，亦可预测列车过桥时U型梁结构振动的空间分布情况：梁体长度方向上，支座截面处翼缘与腹板竖向振动剧烈，1/4截面竖向振动减弱，跨中截面竖向振动较于1/4截面有所增大，横向振动由支座至跨中截面逐渐减小，整梁体高度方向上，除支座截面底板位置外竖向振动由翼缘至底板逐渐增大，横向振动则与之相反。

4 参数影响分析

针对高架简支箱梁桥，为研究扣件、板下弹性支承及桥梁支座竖向刚度对箱梁及轨道结构振动的影响，选择2号(1/4)截面中1号(箱梁)、5号(轨道板)和6号(钢轨)观测点为参考点，得到各参考点在改变连接结构的竖向刚度值后的振动响应规律，进而寻求各连接结构竖向刚度的合理取值。

4.1 扣件竖向刚度的影响

钢轨扣件是轨道上用以连接钢轨和轨下结构的重要中间连接件。轨道结构中使用的扣件形式多样，其竖向刚度值也相差较大，例如科隆蛋扣件节点刚度为10 MN/m，而弹条Ⅲ型扣件节点刚度却达到60 MN/m。固定其他计算参数，只改变扣件竖向刚度值，得到的各观测点竖向振动响应最大值列于表7。

表7 扣件竖向刚度影响Table 7 Influence of fastener vertical stiffness

由表7可知：扣件竖向刚度增大对轨道板与箱梁竖向位移影响不大，两者竖向位移最大值在 0.2 mm左右，但扣件刚度的增大能明显减小钢轨的竖向位移，当刚度达到20 MN/m后，较小趋势变缓，如图7所示；轨道板与箱梁的竖向加速度随扣件刚度增大而增大，这表明扣件竖向刚度的增大会使轨道板与箱梁的振动更加剧烈；钢轨的加速度随扣件刚度的增大先呈减小趋势，当刚度值达到50 MN/m后逐渐增大。

由此可见，增大扣件竖向刚度能明显减小钢轨的竖向变形，但过大的刚度会使箱梁与轨道结构整体的振动加剧，这里建议高架箱梁桥板式轨道较合理的扣件竖向刚度取值范围为20~50 MN/m。

4.2 板下弹性支承竖向刚度的影响

为研究板下弹性支承竖向刚度对 U梁及轨道结构振动的影响，选取9种不同刚度的板下支承结构进行对比分析，得到的各观测点竖向位移及加速度最大值见表8。

图7 扣件刚度影响下的竖向位移Fig. 7 Vertical displacement under the influence of fastener stiffness

由表8可知：观测点1的竖向位移与加速度变化不大，说明板下弹性支承竖向刚度变化对箱梁振动影响较小；轨道板的竖向位移与加速度随支承刚度的增大而减小，当刚度达到1×103MN/m后减速变缓，如图8所示；钢轨竖向位移随支承刚度影响较小，呈现出随刚度的增加先减小后增大的趋势，其竖向加速度随刚度增大而增大。

表8 板下弹性支承竖向刚度影响Table 8 Influence of vertical stiffness of elastic support under the track plate

由此可见，增大板下弹性支承刚度可明显减小轨道板的振动，但过大的刚度会加剧钢轨的振动，这里建议高架箱梁桥板式轨道较合理的板下弹性支承竖向刚度取值范围为(1.0~1.5)×103MN/m，与文献[9]建议值一致。

图8 支承刚度影响下轨道板竖向振动Fig. 8 Vertical vibration of track plate under the influence of stiffness of elastic support under the track plate

4.3 桥梁支座竖向刚度的影响

为研究不同桥梁支座竖向刚度对箱梁及轨道结构振动的影响，参考常用的几种桥梁支座刚度，选取7种不同竖向刚度的支座进行对比分析，得到的各观测点竖向位移及加速度最大值见表9。

由表9可知：钢轨竖向位移随支座刚度变化不大，其值在0.9~1 mm范围内变化，竖向加速度随支座刚度增大而增大；轨道板与箱梁竖向位移随支座刚度增大而减小，当刚度值达到3×103MN/m后减小速率变缓，竖向加速度随支座刚度增大先减小，当刚度值达到4×103MN/m后逐渐增大，如图9所示。

由此可见，增大支座竖向刚度在一定范围内可减小轨道板与箱梁的竖向振动，但过大的支座刚度反而会使箱梁及轨道结构竖向振动加剧，不利于减振，这里建议高架简支箱梁桥较合理的支座竖向刚度取值范围为(3~4)×103MN/m。

表9 桥梁支座竖向刚度影响Table 9 Influence of vertical stiffness of support

图9 支座刚度影响下轨道板与箱梁竖向振动Fig. 9 Vertical vibration of track plate and box-girder under the influence of stiffness of support

5 结论

1) 对于2种高架桥梁，轨道结构竖向振动均要远大于横向振动，故应重点关注钢轨与轨道板的竖向振动情况；对于箱梁，应注意翼板与腹板的竖向振动情况；U梁横向振动不容忽视，尤其应注意翼缘处横向振动情况。

2) 列车以80 km/h的速度过桥时，箱梁梁体长度方向上，竖向振动呈先增大后减小再增大的趋势；梁体支座与1/4截面上，翼板处竖向振动最大，其次为腹板；跨中截面上，各部位竖向振动相差很小；箱梁各部位横向振动都很小，而且相差甚微。

3) 列车以80 km/h的速度过桥时，U型梁梁体长度方向上，支座截面处翼缘与腹板竖向振动剧烈，1/4截面竖向振动减弱，跨中截面竖向振动较于1/4截面有所增大，横向振动由支座至跨中截面逐渐减小；梁体高度方向上，除支座截面底板位置外竖向振动由翼缘至底板逐渐增大，横向振动则与之相反。

4) 对于高架简支箱梁桥，增大扣件竖向刚度能明显减小钢轨的竖向变形，但过大的刚度会使箱梁与轨道结构整体的振动加剧，建议扣件竖向刚度取值范围为20~50 MN/m；增大板下弹性支承刚度可明显减小轨道板的振动，但过大的刚度会加剧钢轨的振动，建议板下弹性支承竖向刚度取值范围为(1.0~1.5)×103MN/m；增大支座竖向刚度在一定范围内可减小轨道板与箱梁的竖向振动，但过大的支座刚度反而会使箱梁及轨道结构竖向振动加剧，不利于减振，建议支座竖向刚度取值范围为(3~4)×103MN/m。

参考文献：

[1] Waye K P. Effects of low frequency noise and vibrations:Environmental and occupational perspectives[J].Encyclopedia of Environmental Health, 2011: 240−253.

[2] Thompson D J, Jones C J C. A review of the modelling of wheel/rail noise generation[J]. Journal of Sound &Vibration, 2000, 231(3): 519−536.

[3] YANG Y B, LIN B H. Vehicle-bridge interaction analysis by dynamic condensation method[J]. Journal of Structural Engineering, 1995, 121(11): 1636−1643.

[4] Tan G H, Brameld G H, Thambiratnam D P. Development of an analytical model for treating bridge-vehicle interaction[J]. Engineering Structures, 1998, 20(1−2):54−61.

[5] Crockett A R, Pyke J R. Viaduct design for minimization of direct and structure-radiated train noise[J]. Journal of Sound & Vibration, 2000, 231(3): 883−897.

[6] 夏禾, 张楠, 郭薇薇, 等. 车辆耦合振动工程[M]. 北京: 科学出版社, 2014.XIA He, ZHANG Nan, GUO Weiwei, et al. Vehicle coupled vibration engineering[M]. Beijing: Science Press,2014.

[7] 雷晓燕. 高速铁路轨道动力学—模型、算法与应用[M].北京: 科学出版社, 2015.LEI Xiaoyan. High speed railway track dynamics: Model,algorithm and application[M]. Beijing: Science Press,2015.

[8] LEI X Y, ZHANG B. Analysis of dynamic behavior for slab track of high-speed railway based on vehicle and track elements[J]. Journal of Transportation Engineering,2011, 137(4): 227−240.

[9] 翟婉明. 车辆—轨道耦合动力学[M]. 4版. 北京: 科学出版社, 2015.ZHAI Wanming. Vehicle-track coupling dynamics[M].4th ed. Beijing: Science Press, 2015.

[10] 李奇, 吴定俊, 邵长宇. 考虑车体柔性的车桥耦合系统建模与分析方法[J]. 振动工程学报, 2011, 24(1): 41−47.LI Qi, WU Dingjun, SHAO Changyu. Modeling and dynamic analysis method of vehicle-bridge coupling system considering car-body flexibility[J]. Journal of Vibration Engineering, 2011, 24(1):41−47.

[11] 崔圣爱, 祝兵. 客运专线大跨连续梁桥车桥耦合振动仿真分析[J]. 西南交通大学学报, 2009, 44(1): 66−71.CUI Shengai, ZHU Bing. Coupling vibration simulation of long-span continuous beam bridge on passenger dedicated railway[J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 2009, 44(1): 66−71.

[12] 缪炳荣, 张卫华, 肖守讷,等. 基于多体动力学和有限元法的车体结构疲劳寿命仿真[J]. 铁道学报, 2007,29(4): 38−42.MIAO Bingrong, ZHANG Weihua, XIAO Shoune, et al.Car-body fatigue life simulation based on multi-body dynamics and FEM[J]. Railway Transaction, 2007, 29(4):38−42.

[13] Dietz S, Hippmann G, Schupp G. Interaction of vehicles and flexible tracks by co-simulation of multibody vehicle systems and finite element track models[J]. Vehicle System Dynamics Supplement, 2003, 37(Suppl): 372−384.