案例对比合情推理的两种形式

摘 要：所谓合情推理是通过已有的数学结论直观推测某些其他结论的一种推理过程，主要通过类比思想和不完全归纳推理思想两种形式体现。虽然合情推理不能像论证推理那样得到绝对正确的结论，但它对于未知科学的产生有着极其重要的作用，比如我们大家所熟悉的四色猜想、哥德巴赫猜想都是合情推理产物，因为它是一种非常具有创造性的推理方式。本文通过一个具体的数学案例对比分析合情推理的两种形式的区别。

关键词：合情推理；类比思想；不完全归纳思想

一、介绍

合情推理是波利亚的“启发法”中的一个推理模式，它是波利亚深入研究数学问题的解决过程得出的理论成果。波利亚对启发法解释道：“现代启发法力求了解问题解决过程，特别是问题解决过程中典型有用的智力活动……在这种研究中，我们不应忽视任何一类问题，并且应当找出处理各类问题所共有的特征来；我们的目的应当是找出一般特征而与主题无关。”也就是说波利亚的启发法是在寻找解决数学问题的相同点，这说明波利亚早在50年前就已经把问题和问题解决的主要特征搞清楚了。

关于合情推理，文献[1]是这么介绍的。所谓合情推理，就是一种比较自然的、合乎情理的，似乎为真的推理，它是根据已有的数学事实和正确的数学结论，或以个人数学经验（数学实验或实践）和数学直观进行推测而得到某些结果的一种推理，常表现为凭直观和联想、直观或直觉等非逻辑思维形式，通过观察、实验、归纳、类比，特殊和一般等方法直接获得某种数学结论。

类比是最具有创造力的一种思维方式。它关注两个对象在某些方面的相同或者相似，从而推测它们在其他方面也可能存在相同或相似之处。然后找出其相似或相同的性质或关系，并在此基础上，推测这两类对象在其他性质或关系上存在着的相似点或相同点。一千多年前鲁班发明锯子的故事中就蕴涵了类比的思想。相传有一次他进深山砍树木时，一不小心，脚下一滑，手被一种野草的叶子划破了，渗出血来，他摘下叶片轻轻一摸，原来叶子两边长着锋利的齿，他用这些密密的小齿在手背上轻轻一划，居然割开了一道口子。他的手就是被这些小齿划破的，他还看到在一棵野草上有条大蝗虫，两个大板牙上也排列着许多小齿，所以能很快地磨碎叶片。鲁班就从这两件事上得到了启发。他发现叶子的边缘和大蝗虫的牙都是齿妆的，并且很容易划开一些物体。他想，要是用这样齿状的工具，是不是也能很快地锯断树木了吗！于是，他经过多次试验，终于发明了锋利的锯子，大大提高了工效。

归纳推理是指由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理称为归纳推理，简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。比如我们知道直角三角形的内角和是180度，推出所有三角形的内角和都是180度，就是一种归纳推理。同时这是一种不完全归纳推理。归纳推理分为不完全归纳和完全归纳。那什么是完全归纳呢？例如：直角三角形内角和是180度；锐角三角形内角和是180度；钝角三角形内角和是180度；直角三角形，锐角三角形和钝角三角形是全部的三角形；所以，一切三角形内角和都是180度。这个例子从直角三角形，锐角三角形和钝角三角形内角和分别都是180度这些个别性知识，推出了一切三角形内角和都是180度就是一种完全归纳。完全归纳是一种逻辑推理，得到的结论一定正确，而不完全归纳是一种合情推理得到的结论不一定正确，我们这里所说的归纳推理思想，更多是指不完全推理。

二、案例分析

案例：四个平面最多将空间分成几个部分？

类比思想分析：很容易我们就能想到四个平面分空间最多的情况就是四个平面围成一个四面体的情形，但具体分成了多少个空间？很难想象。这个时候我们可以类比三条直线最多将平面分成几个部分，显然是这三条直线围成一个三角形的情形。这个我们很容易数出来是7个。如果仔细分析，我们可以看到这7部分由三种情形构成：①三角形的内部1个部分，②与三角形共点的有3个部分，③与三角形共线的有3个部分。这个时候我们可以类比推测四个平面分空间的问题。它可以分成四种情形：①四面体的内部1个部分，②与四面体共点的4个部分，③与四面体共线的6个部分，④与四面体共面的4个部分。一共是1+4+6+4=15个部分。

不完全归纳推理分析：我们刚才通过类比给出一共分成了15个部分。我们可以由不完全归纳得到一个新的结果。一个平面分空间最多2个部分，两个平面分空间最多4个部分，三个平面分空间最多8个部分。因此推理n个平面分空间最多2n-1个部分，从而就有了四个平面分空间最多可以分成16个部分。

三、总结

类比和不完全归纳是合情推理的两个主要部分，它们得到的结论都不一定正确，但都是极具创造力的思维。我们用逻辑推理证明，看究竟哪种结果正确，或者都不正确。我们都知道三条直线最多将平面分成了7个部分。三条直线分平面最多的情形是在两条直线分平面最多的基础上新增一条直线。并且让这条直线与原来的两条直线都相交且不过它们的交点。从而在新增直线上会产生两个交点，它将新增直线分成了3个部分，而每个部分将它所穿过的平面一分为二。因此三条直线分平面最多的情况就是在两条直线分平面最多的基础上多出3个部分，最多分成了4+3=7个部分。这个时候可以通过类比思想尝试给出命题证明。 四个平面分空间最多的情形，是在三个平面分空间最多的基础上新增一个平面。并且让这个平面与原来的三个平面都相交且不过它们的交点。从而在新增平面上会产生三条交线，它将新增平面分成了7個部分，而每个部分将它所穿过的空间一分为二。因此四个平面分空间最多的情况就是在三个平面分空间最多的基础上多出7个部分，最多分成了8+7=15个部分。

从案例分析我们可以看出，类比思想在对一个问题进行分析时，主要是通过类比一个与它相识的、更容易得到结论的问题，从而来得到结论。而归纳推理在对一个问题分析时，主要是同个这个问题本身的一个特殊情况，来得到一般结论。分析问题的方法不同，结果也不尽相同。虽然它们得到的结论时对时错，但都是极富创造力的思想。波利亚曾经说过，我们要既教证明，也教猜想。这里的教猜想就是要丰富学生们的合情推理能力。

参考文献：

[1]袁作兴.领悟数学[M].长沙：中南大学出版社，2014.

作者简介：曾德炎（1989—），男，汉族，湖北荆州人，硕士，助教，主要研究方向：应用数学。