考虑强度退化的车辆主动轮可靠性灵敏度分析

刘 喆， 陶凤和， 贾长治， 牟鹏博

(1.68129部队，兰州 730060； 2.军械工程学院 火炮工程系，石家庄 050003； 3.装甲兵学院 装备运用系，安徽 蚌埠 233050)

履带车辆是现代战争中十分重要的地面火力武器装备，具有机动性好、火力猛、高新技术含量高和生存力强的独特优势，在难以计数的战争中主要起着火力打击作用，可以快速构筑发射场地形成火力压制，同时迅速撤出发射场地，躲避敌军武器打击，同时还可以为己方人员和重型坦克提供火力支援，在信息化、机械化的战场环境中发挥着越来越重要的作用。

履带车辆传动系统的主动轮主要负责将发动机的动力传递到履带板从而带动整体车辆运动，是十分重要的传动部件。可靠度是衡量机械系统质量的重要指标[1]，研究如何快速准确分析机械系统的可靠性，进而对其可靠性进行的优化设计研究具有十分重要的意义[2-4]。

进行机械零部件可靠性分析的研究模型应用最多是应力—强度模型，它是基于概率统计方法对机械系统的可靠度进行度量，为现代可靠性分析和机械系统结构优化设计做了较好的铺垫。Lewis等[5-7]在运用应力—强度干涉模型研究可靠性问题时，将载荷作用过程用随机性模型表示，符合实际情况，但研究时却假设构件强度为确定值或者服从分布已知的概率函数，导致计算结果偏大。工程实际中，机械零部件由于载荷作用、内部微应力改变、材料本身缺陷等原因，其构件强度是随着工作时间增加而逐渐下降的[8-9]，所以在进行可靠度分析时将零部件的强度也作为一种逐渐减小的随机过程来计算将会更加符合工程实际情况。

机械零部件的可靠性灵敏度分析，是在可靠性分析的基础上进行的零部件随机参数的敏感性分析，分析结果可以评价机械零部件随机参数的改变对其结构可靠性的影响程度[10]。机械零部件的可靠性灵敏度分析方法主要有基于矩理论方法和数值仿真模拟法的可靠性灵敏度分析方法[11]。进行机械可靠性的灵敏度分析对于其结构的可靠性设计、可靠性优化和定寿命可靠性设计等方面都有十分重要的应用前景[12]。

本文在可靠性理论中应力—强度干涉模型的基础上，考虑机械系统零部件强度随时间存在退化的情况，将机械部件的强度退化用Gamma随机过程来近似模拟，运用可靠性设计的随机摄动法、四阶矩理论和灵敏度分析方法讨论了履带车辆传动系统主动轮的可靠性灵敏度分析问题。在机械零部件随机参数变量概率分布特性已知的条件下，可以迅速的获得主动轮各随机参数变量对其可靠度的灵敏度规律，从而为主动轮的可靠性设计、加工制造和使用维护提供科学准确的信息，为其可靠性优化设计做一定的探索和铺垫，研究方法可以应用到其他机械产品上，有较好的适用性。

1 可靠性设计的摄动法

运用概率论分析设计方法，在机械系统的可靠性设计时考虑各设计变量的随机性，确定基本的设计约束条件，建立交互设计模型等，是机械设计理论面临的基本问题。可靠性设计摄动法可以准确的提供机械系统零部件的固有可靠性，提供可以进行实际工程计算的数学模型，分析零部件在工况条件下的可靠性，给出机械可靠性的设计方法。

要计算机械系统零部件的可靠度或者失效概率，需要明确零部件各随机参数的概率密度函数或联合概率密度函数，工程实际中，有很多基本随机变量，如零部件强度和承受载荷等都是很多基本随机变量的函数，这时如果计算其联合概率分布函数又必须知道所有基本随机变量各自的分布函数。但是在工程实际中往往没有足够的信息去确定它们，即使近似的指定其分布，知道其分布函数，通常也很难用多重积分算出零部件的可靠度或者失效概率。

当随机变量的概率分布函数未知，只能通过数据资料计算获得其前四阶矩时，可以通过可靠性设计摄动法计算得到机械构件的可靠性指标，从而计算得到构件的可靠度或失效概率值。

零部件随机参数的向量X和其状态函数g(X)分别如下

X=Xd+εXp

(1)

g(X)=gd(X)+εgp(X)

(2)

式中：ε为一个参数；下标d为随机参数变量中的确定部分；下标p为随机参数变量中的随机部分，均值为零，且随机部分远小于确定部分。

由摄动关系理论和相应的随机分析理论，推导整理机械零部件状态函数g(X)的均值、方差、三阶矩和四阶矩的表达式分别为

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：Var(X)，C3(X)，C4(X)为随机参数的方差、三阶矩和四阶矩向量；(·)[k]=(·)[k-1](·)=(·)⊗(·)⊗…⊗(·)为(·)的Kronecker幂，符号⊗代表Kronecker积，定义为(A)m×n⊗(B)p×q=[aijB]mp×nq。

将机械零部件的状态函数g(X)对其随机变量的向量X求偏导数如下所示

(7)

将式(7)代入式(4)～式(6)，可以得到零部件状态函数相应的表达式。

矩方法是进行可靠性分析时十分实用的方法之一，应用矩方法可以很有效的对机械系统零部件进行可靠性分析，已知基本随机参数的前两阶矩时，机械零部件可靠性指标的数学定义为

(8)

式中：βSM为标准化坐标系中原点至曲面切平面的最短距离。

如果机械零部件的各个随机参数服从正态分布，则可以获得其可靠度的估计量为

RSM=Φ(βSM)

(9)

式中：Φ(·)为标准的正态分布函数。

如果已知零部件基本随机参数的前四阶矩，其可靠性指标定义为

(10)

要计算可靠度或失效概率，需要知道概率密度函数或联合概率密度函数。但在工程实际中很难有足够的数据资料来确定它们的。因此，当概率密度函数未知，只能确定它们的前四阶矩(即均值、方差、三阶矩和四阶矩)时，可以采用四阶矩理论计算零部件的可靠性指标βFM，进而可以计算得到机械零部件的可靠度估计量RFM为

RFM=Φ(βFM)

(11)

工程实际计算时，前四阶矩已经可以很准确的逼近随机参数的真实分布情况，而且随机参数的N(N>4)阶矩是难于获取的。

2 Edgeworth级数

机械零部件各随机参数并不都服从正态分布，如果运用上式计算，可能会得到不准确甚至错误的结果，而运用Edgeworth方法可以将不服从正态分布的随机变量随机展开成标准的正态分布形式，进而便于进行可靠性分析计算，将随机变量y近似展如下所示

(12)

式中：φ为标准正态分布的概率密度函数；HJ-1为Hermite多项式，且

Hj+1(y)=yHj(y)-jHj-1(y)

H0(y)=1

H1(y)=y

(13)

这时，机械零部件的可靠度R可以运用下式来计算

R(β)=P[g(X)>0]=1-F(-β)

(14)

由于计算时只取Edgeworth级数的前四项，计算结果有时会出现零部件可靠度>1的错误情况，这时可以运用下面的修正公式来计算机械零部件的可靠度

(15)

3 基于Gamma过程的强度退化

机械零部件的强度服从随着时间t增大而逐渐退化的函数，针对某个具体零部件在任一时刻来说，强度退化量的数值大小是不确定的，即强度退化过程是时间t的随机过程；且强度退化是单向的，零部件抵抗应力作用的能力是逐渐降低的，即机械零部件的强度退化具有单调性。

Gamma过程是一个具有独立的非负增量随机过程，且服从同一尺寸参数，能够较好的拟合机械零部件强度的退化过程。

Gamma过程的数学模型为：假设所有参数随机变量服从形状参数ν>0和尺寸参数u>0的Gamma分布，其概率密度函数为

(16)

1)X(0)=0且概率为1；

2)X(τ)-X(t)～Ga(xv(τ)-v(t),u)，∀τ>t≥0；

3)X(t)具有独立的增量。

X(t)代表t时刻机械零部件强度的退化量，由Gamma过程函数的数学模型可知，X(t)的概率密度函数为fX(t)(x)=Ga(xv(t),u)，其均值和方差的计算公式如下

(17)

(18)

经过分析计算可知(对比参考文献[4])，时刻t的期望劣化数值与指数成正比，即

∝tb

(19)

式中：b，c，u为Gamma过程的参数，其具体值可以通过统计理论运用最大似然法估计法获得。

4 可靠性灵敏度分析

机械系统零部件的可靠度对其随机参数均值和方差的灵敏度可以通过求偏导的方法计算

(20)

(21)

φ(βFM)

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

5 数值算例

为验证本文分析计算方法的适用性，以履带车辆底盘传动系统的主动轮为例进行计算。履带底盘系统主动轮是其传动系统中重要的传动部件之一，它将发动机的动力经过侧减速器系统传递到履带系统，通过轮齿的齿圈与履带板啮合，拨动履带运动，从而推动履带车辆整体前进或者后退，运行过程中只承受扭矩载荷，如图1和图2所示。

图1 主动轮三维实体模型图Fig．1 Solidmodelsofcapstan 图2 主动轮轮齿结构简图 Fig．2 Structuresketchofagearoncapstan

若已知主动轮所传递的扭矩为P，危险截面处的直径为D1，分度圆处直径为D0，主动轮厚为h，各个参数的统计数值在表1中给出，Gamma过程的参数分别取为u=5，b=0.5，c=0.4，应用可靠性应力—强度干涉模型对主动轮进行可靠性灵敏度分析。

表1 随机变量的统计特性

根据巴赫法，将主动轮的轮齿采用悬臂梁结构模型进行简化，可以求得在D1直径处为危险应力截面，且此处的切应力值为

(29)

则考虑强度随时间退化情况的应力极限状态方程可以表示为

g(X)=r(t)-τ

(30)

式中：r(t)为t时刻主动轮结构许用强度随时间退化后的值，其均值、方差等可以运用Gamma随机过程函数计算得到；基本随机变量参数向量为

X=(bcuD0D1hP)T

主动轮的可靠度计算结果，如图3曲线所示。图3对比了四阶矩方法和Monte-Carlo数值模拟方法的计算结果，从图3可知，这两种方法的计算结果比较接近，故运用四阶矩理论计算考虑强度退化主动轮的可靠度，其计算结果是可以接受的，可靠度的变化规律符合工程实际情况。

图4和图5分别为主动轮可靠度对其各个随机参数均值和方差的灵敏度变化曲线。

从图4和图5可知，随着主动轮许用扭转强度r、几何尺寸D1和h均值的增加而可靠度增加，而主动轮承受的扭矩载荷P和几何尺寸D0均值的增加将使主动轮可靠性降低；可靠度的变化率最大为主动轮的轮齿厚度h，其次依次为危险截面直径D1，分度圆直径D0，主动轮的许用扭转强度r，最小的为主动轮承受的扭矩载荷总和P，即令主动轮趋于更加可靠(或使其失效)的速度大小排序为几何尺寸、材料强度和载荷；灵敏度的绝对值都随时间而逐渐增大，各参数方差的增加都会使主动轮趋于更加不可靠(失效)。

图3 强度退化的主动轮可靠度曲线

图4 主动轮对随机参数均值的灵敏度曲线

图5 主动轮对随机参数方差的灵敏度曲线

图6为传动系统主动轮可靠度对Gamma随机过程参数的灵敏度变化曲线。

图6 可靠度对Gamma过程参数的灵敏度

从图6可知，Gamma随机过程参数的灵敏度在初始时刻都比较小，随着时间的增加，参数b，c对可靠度的影响在逐步增大。

6 结 论

在机械零部件可靠性研究的基础上，提出了一种考虑强度退化过程的机械零部件可靠性灵敏度计算方法，准确的反映了各因素对其可靠度的影响变化规律，结果表明机械零部件的强度退化服从Gamma随机过程。以履带车辆底盘传动系统主动轮为例对考虑强度退化的可靠性灵敏度进行分析，结果表明要提高主动轮可靠度，首先应该增大主动轮的厚度。机械零部件的可靠度受Gamma随机过程中参数b和c的影响较大，且随参数b的增大而提高，随参数c的减小而降低。

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