线性有限元误差的L2范数估计及其应用*
2018-04-20王刘彭易年余
王刘彭, 易年余
(湘潭大学 数学与计算科学学院,科学工程计算与数值仿真湖南省重点实验室,湖南 湘潭 411105)
有限元方法是求解偏微分方程的一种行之有效的数值方法,广泛应用于科学与工程计算的各领域.它的基本思想是分片函数(多项式)逼近与变分原理.随着泛函分析在偏微分方程逼近理论中的成熟应用,有限元方法与偏微分方程逼近完美结合,有限元方法的数学理论得到了蓬勃发展.自20世纪60年代开始,逐渐建立了有限元方法的先验误差估计理论[1-3]和后验误差估计理论[4-7].
有限元误差估计理论主要是基于误差方程和Galerkin正交性.设Th是区域Ω的一个正则剖分,Vh是定义在Th上的有限元空间.在能量范数意义下,注意到有限元解是有限元空间Vh中偏微分方程解的最佳逼近,即
特别地,取vh为u在Vh上的插值uI,可将有限元误差能量范数估计转化为插值误差估计
‖u-uh‖E≤‖u-uI‖E.
关于有限元误差的L2范数估计,一般是通过引入对偶问题,利用Aubin-Nitsche技巧将误差的L2范数转化为误差的能量范数控制,进而得到有限元误差L2范数的一个上界
‖u-uh‖≤Ch‖u-uh‖E≤Ch‖u-uI‖E.
设Ω⊂Rd(d=1,2,3)为d维空间中的一有界区域,其边界∂Ω是Lipschitz连续的.记Th为区域Ω上的一正则剖分,Vh⊂H1(Ω)是定义在网格Th上的连续分片线性有限元空间.
对任意的函数u∈L2(Ω),其在有限元空间Vh上的L2投影记为Pu∈Vh,满足:
(u-Pu,vh)=0,∀vh∈Vh.
(1)
对于投影Pu,有
‖u‖2=‖Pu‖2+‖u-Pu‖2,∀u∈L2(Ω).
(2)
易知
‖Pu‖≤‖u‖,∀u∈L2(Ω),
(3)
当且仅当u∈Vh时,等式成立.
基于估计式(2),可以合理假设:存在常数0<θ<1,使得
‖Pu‖≤θ‖u‖,∀u∉Vh.
(4)
显然,在L2范数意义下,Pu是u在有限元空间Vh中的最佳逼近,即
(5)
因此,投影误差可由误差‖u-vh‖来估计.下面定理给出投影误差‖u-Pu‖与误差‖u-vh‖的比较结果.
定理1设u∈L2(Ω),Pu∈Vh为u的L2投影且满足假设(4),则对任一vh∈Vh,
(6)
从而有
(7)
证明由三角不等式和(4),对任意的vh∈Vh,有
‖u-vh‖≤‖u-Pu‖+‖Pu-vh‖=‖u-Pu‖+‖P(u-vh)‖≤
‖u-Pu‖+θ‖u-vh‖.
因此,(1-θ)‖u-vh‖≤‖u-Pu‖.即得(6).再结合(5)可得(7).
将定理1的结果应用到有限元的误差估计中,分别得到有限元误差L2范数和H1范数的估计.基于估计式(7),可以得到有限元误差与插值误差在L2范数下的等价性,进一步基于插值误差的渐近展开式和Hessian重构方法,构造了一个后验误差估计子.
考虑如下模型问题:
(8)
(9)
a(uh,vh)=f(vh),∀vh∈Vh.
(10)
记uI∈Vh为u的分片线性插值,在定理1中分别取vh=uh和vh=uI可得
由上述两式,得到有限元误差‖u-uh‖和插值误差‖u-uI‖的等价性
‖u-uh‖≈‖u-uI‖.
(11)
因此,
(12)
可作为有限元误差L2范数的一个可靠且有效的误差指示子.对于问题(8),定义能量范数如下:
c|u-uh|1≤‖u-uh‖E≤‖u-Pu‖E≤C|u-Pu|1.
(13)
由三角不等式,Vh空间上的逆估计以及‖u-uh‖与‖u-Pu‖的等价性,有
再利用对偶论证可得‖u-uh‖≤Ch|u-uh|1.结合上述两式,有|u-Pu|1≤C|u-uh|1,即得
‖u-Pu‖E≤C‖u-uh‖E.
(14)
由(13)和(14),即得有限元误差‖u-uh‖E与投影误差‖u-Pu‖E的等价性:
‖u-uh‖E≈‖u-Pu‖E.
(15)
由插值误差估计理论,我们有
(16)
其中,(ξi,ηi),1≤i≤3介于点(x,y)和点 (xi,yi)所成线段上,φi(x,y)为顶点(xi,yi)对应的线性元基函数.
基于误差展开式(16),可以得到单元误差估计的一个近似
其中,Hh(uh)表示由有限元解uh得到的Hessian重构,是D2u的分片常数近似.
(p(zi)-uh(zi))2.
则单元τ上重构的Hessian定义为
Hτ(uh):=2pτ.
基于以上的Hessian重构,我们可以构造相应的重构型后验误差估计子ητ
(17)
它是关于有限元误差的L2范数的一个可靠且有效的后验误差估计子.
我们测试了大量的数值算例来检验有限元L2范数误差的重构型误差估计子(17)的有效性.考虑如下椭圆偏微分方程
(18)
其中,∂Ω=ΓD∪ΓN,n为边界上的单位外法向量.我们应用自适应有限元方法求解上述偏微分方程,其中误差估计子采用(17),网格加密方法分别考虑了二分法[15]和CfCVDT[16]方法.所选取的算例主要来自[17],包括解含有大梯度问题,区域几何形状引起的奇性问题,界面奇性问题等.限于篇幅,我们仅列出了一个例子的结果.
例1考虑问题(18),其中A=I是一个2×2的单位阵,b=0,Ω=(0,1)2,ΓD=∂Ω,真解
图1画出了解的图形,这个解是光滑的,但是有一个陡峭的内层,其中参数S反应内层斜坡的陡峭程度,本例中取S=60.图2画出了自适应网格,误差‖u-uh‖及误差估计子η,误差有效因子η/‖u-uh‖ 等图形.可以看到,误差估计子能够引导网格在内层处加密,且误差估计子是渐近准确的,误差‖u-uh‖=O(N-1),达到了最优下降速度.
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