一道高考题的多角度思考及推广

毋晓迪　韩道兰

摘要：高考数学注重考查学生的解题能力以及逻辑思维推理能力，由于数学学科知识答案的固定性，学生往往会被束缚在特定的解题模式中，这样会制约学生的解题思路，对于教师来说主要的任务是教会学生掌握解题的思想，能学以致用，触类旁通，而不是仅仅教会学生能够解出一道题，下面笔者就针对2016年四川卷第8题的解法进行多角度分析，来谈一谈高考题一题多解之妙，挖掘其一题多解的内在联系。

关键词：一题多解；多角度；推广；教学启示

一、 解法分析

设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p>0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM斜率的最大值为。

A. 33

B. 23

C. 22

D. 1

1. 基本不等式的视角

解法1：由焦点F（p2，0），设点P、M的坐标分别为P（y202p，y0），M（x，y），现就y0>0来讨论，由于|PM|=2|MF|，即PM=2MF，解出M（p3+y206p，y03），即kOM=y-0x-0=yx=22py0+y0p≤222=22，当且仅当y20=2p2时，取等号，即kOMmax=22。

2. 方程的视角

解法2：设点P、M的坐标分别为P（x0，y0），M（x，y），由|PM|=2|MF|，得x=13x0+p3，y=13y0，即∴P（3x-p，3y），得到M的轨迹为：9y2=6px-2p2，将OM所在的直线方程为y=kx与M的轨迹方程联立得：9k2x2-6px+2p2=0，由Δ=（-6p）2-4·9k2·2p2≥0，解得k的取值范围为：-22≤k≤22，即直线OM斜率的最大值为22。

3. 函数的视角

解法3：由解法4知，当AP与抛物线相切时斜率最大，当然我们可以通过求导去解决，设P（x0，2px0），由y2=2px知y=2px，所以y′=kAP=k=p2px，即k=p2px=2px0-0x0-（-p），解得p=x0，所以直线的斜率为k=p2p2=22，即kOMmax=22。

4. 几何的视角

解法4：根据|PM|=2|MF|，考虑到中心的性质，可以巧妙构造一个三角形，不妨设B（p，0），使得焦点F为OB的中点，此时M为ΔBOP的重心，此时设点P的坐标为P（x0，y0），所以x0=y202p，由三角形重心坐标得M（x0+p3，y03），kOM=y0x0+p=1y02p+py0≤1212=22，

当且仅当y20=2p2时，等号成立，即kOMmax=22。

二、 替代推广，巧得性质

该高考题难度适中，题目虽小，有容乃大，不难发现我们得到的答案是一个与解析式中参数p无关的常数，一道好題的价值在于它能产生其他一些好题，因此我们可以大胆做出尝试，做出假设，利用好题进行适当变形和替换，用λ（λ>0）来替换原题中的数字2可得到如下一般形式：设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p>0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=λ|MF|，则直线OM斜率的最大值是一个与p无关的常数。

证明：焦点F（p2，0），点P、M的坐标分别为P（y202p，y0），M（x，y），就y0>0来讨论，由于|PM|=λ|MF|，所以PM=λMF，即：（x-y022p，y-y0）=λ（p2-x，-y），解出M（λp2-y202（1+λ）p，y01+λ），∴kOM=y-0x-0=yx=2py0λp2+y20=2y0p+λpy0≤22λ=λλ，当且仅当y20=λp2时，等号，直线OM斜率的最大值为λλ。

得出结论：不难发现，对该题变形后，得到的答案是一个与参数p无关的常数，这个答案很特殊，只与分焦半径的系数λ有关，为此本试题就得到了一般的推广的同时，我们可以得到一个与抛物线焦半径有关的一个性质：O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p>0）上任意一点，M是线段PF上的点，满足PM=λMF，则直线OM斜率的最大值为1λ。

参考文献：

[1]司政君，巩继忠.一道数学高考题的多种解法[J].数学学习与研究，2012（5）.

[2]教育部考试中心.2016年普通高等学校招生全国统一考试大纲的说明[M].北京：高等教育出版社，2016.

作者简介：

毋晓迪，韩道兰，广西壮族自治区南宁市，广西民族大学理学院。