未知负载轮式移动机器人轨迹跟踪控制*

张元亨，张 森，普杰信，杨婷婷，金 超

（河南科技大学信息工程学院，河南 洛阳 471023）

0 引言

轮式移动机器人具有运动稳定，结构简单，控制较易等优点，已经广泛应用于工业、运输业、探测、国防等领域。然而，作为典型的非完整约束系统，轮式移动机器人不满足Brockett必要条件［1］，线性系统理论中的一些经典方法无法应用到其控制中，如何对轮式移动机器人进行较为精确的轨迹跟踪控制是近些年来学者们研究较多的方向。文献［2］提出了一种改进的PID控制器用于移动机器人的轨迹跟踪控制，得到了较好的跟踪效果。但这种控制器的鲁棒性较差，对外界干扰不敏感。文献［3］利用积分反演方法和Lyapunov直接法设计轨迹跟踪控制器，完成了对满足特定条件的参考模型的全局指数跟踪。文献［4-5］提出了一种有限输入转矩下移动机器人轨迹跟踪控制器，但在设计时未考虑未知参数的问题。文献［6］将自适应控制和模糊控制结合，设计了轨迹跟踪控制率，实现对移动机器人位姿的跟踪。文献［7］将力矩控制和反演方法结合，设计出了具有全局稳定性的轨迹跟踪控制率。文献［8］根据移动机器人的侧向误差和角度误差设计出引导角，并将该引导角作为虚拟输入，结合反演方法设计了基于机器人运动学模型的轨迹跟踪控制率。文献［9-11］将人工神经网络技术应用到了移动机器人控制器的设计中。

上述文献的研究中，多数是将轮式移动机器人假设为刚体，运动过程未考虑因车体负载不均或生产瑕疵导致的轮子半径变化问题，而移动机器人实际运动过程中，由于负载不均导致的左右轮半径形变和大小不一都会对轨迹跟踪控制的精度造成较大的影响。本文针对这一问题，在轮式移动机器人运动学模型的基础上，结合反演方法提出了一种新型的自适应轨迹跟踪控制器，通过自校正率对移动机器人的轮子半径进行估计，最后通过计算机仿真实验对所提出的控制器的有效性和稳定性进行验证。

1 问题提出

本文以两轮差分驱动的轮式移动机器人为研究对象，两后轮各由一个独立电机驱动，前轮为导向轮。当机器人运动时，左右两个电机转速不同，两驱动轮会产生差动，进而实现车体的转弯。移动机器人的结构示意图如图1所示。

rL和rR分别为左右两轮的半径，b为车体中心到驱动轮间的距离，为左右两轮的角速度，φ为运动方向与X轴的夹角，轮式移动机器人的运动状态可表示为表示移动机器人在笛卡尔全局坐标系中的位置，V，ω为机器人前进的线速度和角速度。移动机器人的运动学方程为：

由式（2）得：

将式（3）代入式（1）中，得：

假设局部坐标系与笛卡尔全局坐标系的夹角为φ，根据坐标变换公式，得到移动机器人的位姿误差方程为：

位姿误差微分方程为：

2 自适应反演轨迹跟踪控制器设计

本部分的设计目标是基于反演方法设计自适应轨迹跟踪控制器，在左右轮形变未知的情况下完成对参考轨迹的跟踪任务，并使跟踪误差在有限时间内收敛，即寻找控制输入，式（6）在该输入下，有界，且。由于式（6）中不存在实际控制输入，可采用反演方法，取移动机器人线速度V和角速度ω为虚拟控制量，其期望值记为。

步骤1为了保证系统的稳定性，根据式（6）定义Lyapunov函数：

其中，k2为正的设计常数，式（7）的微分形式为

选取控制率：

将式（9）代入式（8）中，得：

步骤2由于左右轮半径未知，上述设计的控制率无法直接用作轨迹跟踪，需要基于反演法设计自适应控制器对未知的左右轮半径进行估计。

控制目标可描述为：

定义Lyapunov函数：

对V2求导，得：

期望控制率为：

参数自适应率为：

将式（17）、式（18）代入式（16）整理得：

3 稳定性分析

定理1考虑轮式移动机器人系统式（1）～式（3），控制率式（17）和参数自适应率式（18），对任意的初始误差，系统在控制输入的作用下跟踪误差有界，且。

证明 根据式（19），由 Barbalat引理［12］知，当 t→∞ 时，xe，φe收敛到零。用 ωd替换式（6）中的 ω，得：

因 t→∞ 时，φe收敛，式（20）可变为：

Vr为常值，则t→∞时，收敛到零，有：

由式（21）、式（22）得：

因 t→∞ 时，φe→0，由 Barlalat引理，即为不为零的常量，则ye→0。

4 仿真验证

利用matlab软件对所提出算法的有效性进行仿真验证。仿真参数设置如下：初始值，，跟踪线速度和角速度均为匀速运动的圆轨迹，，半径，初始位姿为［0 0 0］，仿真结果如下。

由以上仿真结果可以看出，系统在所设计的控制率的作用下，对x轴，y轴和方向角的跟踪效果良好，并且在较短时间内跟踪误差收敛到零，系统进入稳态，左右轮的估计值也能在短时间内收敛到真实值，对参考轨迹跟踪时取得了满意的效果，表明了控制率的有效性和正确性。

5 结论

针对运动学模型描述的差分驱动轮式移动机器人系统，考虑生产瑕疵或不确定负载对轮子半径的影响，将反演方法与自适应控制策略结合，设计了一种新型的轨迹跟踪控制器，实现了在半径未知情况下对给定参考轨迹的精确跟踪控制，对圆形轨迹进行跟踪的实验结果表明，该算法能够有效解决因车轮形变造成的无法对特定轨迹进行跟踪的问题，并且跟踪误差收敛的时间较短，为特定情况下的轮式移动机器人的行业应用提供了理论依据。

参考文献：

［1］BROCKETT R W.Asymptotic stability and feedback stabilization in differential geometric control theory［M］.Berlin：Spring-Verlag，1983：181-191.

［2］ABDALLA T Y，ABDULKAREM A A.PSO-based optimum design of PID controller for mobile robot trajectory tracking［J］.International Journal of Computer Applications，2012，47（23）：30-35.

［3］吴卫国.移动机器人全局轨迹跟踪控制［J］.自动化学报，2001，27（3）：326-331.

［4］LEE T C，SONG K T，LEE C H，et al.Tracking control of unicyclemodeled mobile robots using a saturation feedback controller ［J］.IEEE Transacions on Control Systems Technology，2001，9（1）：305-318.

［5］JIANG Z，LEFEBER E，NIJMEIJER H.Saturated stabilization and tracking of a nonholonomic mobile robot［J］.Systems and Control Letters，2001，42（1）：327-332.

［6］DAS T，KAR I N.Design and implementation of an adaptive fuzzy logic-based controller for wheeled mobile robots［J］.IEEE Trans on Control Systems Technology，2006,14（3）：501-510.

［7］BOLOGNANIS，TUBIANAL，ZIGLIOTTOM.Extend kalman filter tuning in sensorless PMSM drives［J］.IEEE Trans on Industry Applications，2003，39（6）：1741-1747.

［8］于浩，宿浩.基于引导角的轮式移动机器人轨迹跟踪控制［J］.控制与决策，2015，30（4）：635-639.

［9］FIERRO R，LEWIS F L.Control of a nonholonomic mobile robot using neural networks［J］.IEEE Transaction on Neural Networks 1998，9（4）：589-600.

［10］HU T，YANG S X.An efficient neural controller for a nonholonomic mobile robot［C］//Proceeding of IEEE International Conference on Robotics and Automation.Piscataway：IEEE Press，2001：461-466.

［11］牛玉刚，杨成梧，陈雪如.基于神经网络的不确定机器人自适应滑膜控制［J］.控制与决策，2001，16（1）：79-82.

［12］POPOV V M.Hyperstability of control systems［M］.Berlin：Spring-Verlag，1973：372-373.