谈如何有效借助线段图建构数学模型

邵国强

【摘要】人教版五年级上册《数学广角—植树问题》，在教学建议中明确指出：教师要指导学生通过线段图建立植树问题的数学模型。教学时，要用线段图的方法帮助学生思考，发展学生的模型思想。然而植树是直观的，用线段图的方法是抽象的，建构植树问题数学模型，对于小学生的思维来说，可谓是“抽象之中的抽象”。因此，如何运用线段图，从具体——抽象——具体，深入浅出的教学，显得尤为重要。以本节课的三个教学环节，谈谈如何有效借助线段图，直观形象地建构植树问题的数学模型的。

【关键词】线段图 数学模型 植树问题

一、生成线段图——生活问题数学化

线段图是形象思维过渡到抽象思维的媒介，它可以沟通数学信息与信息之间的联系。因而，《植树问题》的教学，必须从学生熟悉的模拟生活植树入手，让学生亲眼目睹生活中的植树和数学“植树”图形成过程，架起了植树问题的生活原型抽象成线段图的桥梁，将二者异曲同工之妙处展现在学生眼前。

在教学中，我在创设情境时引出研究问题，把例1的全长100m改为1000m并出示例题“同学们在全长1000m的小路一边植树，每隔5 m栽一棵（两端要栽）。一共要栽多少棵树？”引导学生审题、猜测后，应用课件引发学生再现生活中植树的场景。

师：我们先模拟生活植树：1000m长的小路一边“两端要栽”，我们从最左端开始栽上一棵，然后隔5 m栽一棵树，隔5 m栽一棵树，照这样一棵一棵地栽下去……（动态形成图1）师：还可以这样植树：把每一棵棵树都看作一个个点，从最左端开始画，1棵，每隔5m画一个点，2棵、3棵……（动态形成图2），这样就形成了数学上的“植树”图。

这个环节，从直观的生活中的树，逐步抽象成数学上的点，鲜活地再现了有趣的植树的整个过程，从而自然地生成线段图。植树中“小路一边”“栽树的棵树”和线段图上的“一条线段”“分割点数”一一对应起来，让生活问题得以数学化。学生对线段图的表示过程，在具体的植树过程不知不觉的形成，同时也为后续教学中的化繁为简研究做了孕伏。

二、借助线段图——复杂问题简单化

实践证明，线段图具有直观性、形象性、实用性。教学中，有效地借助线段图，可以使复杂问题简单化，体验从特殊到一般，经历分析、思考、解决问题的全过程。在《植树问题》教学时，为了让学生感悟化繁为简的数学思想，我做了尝试，课堂教学回放如下：

师：就这样一直画下去吗？你有什么想法？

生1：要画很久，很麻烦。

生2：如果一直画下去，也可以找到答案，但很麻烦。

生3：因为1000m里面有200个5m，要画好多点，得想其他的办法。

师：也就是说路长1000m在这道题中数据太大，画图时比较麻烦。像这样比较复杂的问题，怎么办呢？

生：用简单的路长来研究，找方法。

生：用简单的路长通过画图，看看有没有什么规律。

师：我们可以先从简单的路长入手，选取20m来研究。用一条线段表示20m，从最左边开始种1棵，每隔5m栽一棵（教师板书线段图过程）。

師：同学们，从图中你发现了什么？

生：20m平均分成了4份，有4个间隔，可以栽5棵树。

师：是的，20m长的一条路，间隔长是5m，平均分成了4份，有4个这样的间隔，可以栽5棵树（板书：20÷5=4，要栽5棵）。

师：猜猜看，间隔数和棵数可能有什么关系？

生：棵数比间隔数多1。

为了更好地让学生感悟全长和间隔数及棵数的关系，接着安排学生自主选择10m、15m、25m、30m的路长进行研究，并填表思考。

从而发现：全长÷间隔长=间隔数（平均分的份数）；棵数=间隔数+1。

在此基础上提出：现在你知道例1的猜测中哪一种是正确的？你是怎么想的？让学生在交流中充分感悟到了“难事做于易”的化繁为简和对应的数学思想，并借助如下线段图让学生理解为什么要“+1”的道理。

这个环节的教学，借用线段图引导学生经历了解决植树问题的整个过程。从遇到问题——提出猜测——例子验证——发现规律——解决问题，教师的教和学生的学始终运用线段图，在画线段图、观察线段图、想象线段图、运用线段图中，逐步建构数学模型。

三、巧用线段图——抽象问题模型化

线段图还可以把抽象问题具体化，让抽象的植树问题数学模型通过线段图变得具体形象。在《植树问题》教学中，我既引导学生把抽象的植树问题具体形象地呈现出来，同时通过线段图引发学生再现生活中的“植树”原型，丰富了植树问题的表象，培养学生想象思维能力和抽象概括能力，让植树问题模型根植于线段图中，印在学生脑海里。教学环节再现如下：

师：同学们，我们再回到刚才研究的20m栽树的线段图（图3）。这个线段图上的每隔5米的点都表示栽1棵树（图4），生活中，有没有类似的植树问题呢？

生：路灯、灯笼都是类似的植树问题。

生：还有教室窗户的安全防护栏、摆放的课桌、走廊的栏杆……

师：同学们说的真好！如果这个点是一盏路灯（课件演示），就是生活中的路灯（图5），你能用这个线段图编一道有关的植树问题？

生：一段路20m，每5m安装一盏路灯（两端都装），可以安装多少盏？

师：谁还可以学着编的？

师：线段图上的每个点想象成灯笼（课件演示），就是生活中的灯笼（图6）

师：路灯、灯笼，这是不容易看见却能“想象”的树。

师：还有看不见却能“听得见”的树，请听（课件钟声录音），植树的棵树是什么？间隔是什么？我们利用线段图再听一遍（图7），谁能编一道有关的植树的问题？

生：钟声共响20秒，每5秒响一下，一共响了多少下？

师：生活中还有不容易看见却能“想象”的树的植树问题，请看（课件演示图片）摆放花盆、同学做操的队形、一棵棵种下的菜、人行道的斑马线，等等。

师：横着画的线段图，引发我们这么多的思考，如果将这条线段竖起来（图8），你又会想到什么类似的植树问题呢？

以上教学，巧妙地运用抽象的线段图，引导学生联系生活实际，引发想象，在编题、交流中，把看视单一的植树问题，形象、具体、生动地让学生再现出来，让抽象的植树问题模型生动、形象、鲜活，发展了学生的模型思想。