斜坡上泥沙起动流速统一公式的建立

2018-04-17，

长江科学院院报 2018年4期

，

(西北农林科技大学水利与建筑工程学院，陕西杨凌　712100)

1　研究背景

泥沙起动流速、起动切应力及起动功率作为泥沙颗粒起动判别标准，一直以来备受学者的关注。对于粗泥沙颗粒，不需要考虑黏性力对泥沙起动的影响。20世纪30年代，Shields等[1]分析了床面上泥沙颗粒的受力平衡，推导出无黏性均匀沙的起动切应力公式，并在此基础上得到了无因次切应力(Shields数)。我国学者孙志林等[2]运用概率论与力学相结合的方法，对起动泥沙颗粒的力臂进行随机分析，得到了考虑非均匀沙隐暴效应的起动概率表达式，进而建立了非均匀沙分级起动的切应力公式，使得公式更具合理性。秦荣昱[3]考虑了床沙组成和变化(粗化或细化)对非均匀沙起动的影响，引入附加阻力，得到了非均匀沙起动流速公式。周双等[4]以相对暴露度为基础，采用滚动起动模式，得到了考虑起动概率的正坡上均匀散粒体泥沙起动流速公式。

但对于细颗粒泥沙，泥沙颗粒间存在着薄膜水引起的黏着力和附加下压力，其黏性力对泥沙起动的影响不能忽略[5]。唐存本[6]认为沙粒在水流作用下的稳定性主要与泥沙本身重力及泥沙颗粒间的黏着力有关(当粒径D≥1 mm时，重力起决定作用；当D≤0.01 mm时，黏着力起决定作用)；在此基础上，运用大量的实测资料，得到了粗细沙统一的起动流速公式。孙志林等[7]考虑非均匀沙起动的随机特性，并根据因次分析和交叉石英丝试验得到了黏性力表达式，最后基于瞬时底流速的概率分布和试验资料建立了适合黏性非均匀沙的起动流速公式，考虑的起动概率是通过水槽试验得到的，起动标准相当于取起动概率为0.05。张红武[8]在前人研究的基础上，通过理论分析得到了泥沙颗粒间黏结力和由水深引起的附加下压力的表达式，建立了适用于粗细泥沙颗粒的起动流速公式。韩其为等[9]对弯道边壁的泥沙颗粒进行受力分析，采用滚动起动模型，推导了适用于一般条件下的起动流速公式。窦国仁[10]通过对石英丝摩擦阻力的观察试验，得到了泥沙颗粒间黏结力、下压力及阻力对泥沙起动的影响机理，进而建立了泥沙起动的流速公式。另外，沙玉清[11]、张瑞瑾[12]都对黏性沙起动问题进行过研究，得到了适用于粗、细泥沙颗粒的统一公式。毛宁[13]在希尔兹曲线的基础上，分析、比较了各家细颗粒泥沙与黏性土的起动流速公式，粗颗粒砂砾石起动流速公式，最终得到了非正规水流不同流态情况下块石起动流速公式。值得注意的是，上述研究大多采用滚动模型来研究平坡上的泥沙起动问题，在公式推导的过程中，也没有考虑起动概率对泥沙起动的影响。

基于上述研究进展，本文采用滑动起动模型，考虑了起动概率、相对暴露度与细颗粒泥沙间黏结力、附加下压力对泥沙起动的影响。运用概率论与力学相结合的分析方法，从理论上推导了适用于粗、细泥沙颗粒起动的统一流速公式。

2　粗、细泥沙颗粒受力分析

2.1　基本作用力

如图1所示，在水流作用下，斜坡上泥沙所受到的基本作用力主要有拖曳力FD、上举力FL、水下重力G、黏着力FC以及附加下压力ΔG[9]。图1中β为斜坡的坡度。

图1　正负坡上泥沙颗粒受力分析Fig.1　Forces acting on sediment particle of normaland reverse slopes

各基本作用力表达式如下：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中：CD为拖曳力系数，一般取为0.4；CL为上举力系数，一般取为0.1；ub为泥沙起动时水流底部的瞬时流速；ρs，ρ分别为泥沙和水的密度；γ为水的重度；g为重力加速度，一般取为9.81 m/s2；D，R分别为所研究泥沙颗粒直径和半径；δ1为薄膜水厚度，δ1=4×10-7m；t为泥沙颗粒间的缝隙,根据韩其为等[5]的研究，t=0.25δ1；δ0为一个水分子的厚度，δ0=3×10-10m；q0为t=δ0时泥沙颗粒在单位面积上所受的黏结力，q0=1.3×109kg/m2；K2为薄膜水接触面积中单向压力传递所占的面积百分数,K2=2.258×10-3；H为水深。值得注意的是，当t/δ1≥1时，各颗粒周围的薄膜水不再接触，黏结力与附加下压力消失。

根据相关研究，粘性泥沙颗粒之间存在分子引力，孙志林等[7]、张瑞瑾[12]将这种分子引力考虑为附加作用水头h0。孙志林等[7]根据因次分析和杰列金交叉石英丝试验得到，附加作用水头h0=3.5 m。因此，附加下压力ΔG也可以表示为

(6)

但对于粗颗粒泥沙(D>0.5 mm)，可以忽略黏结力与附加下压力对泥沙起动的影响[9]，即FC=0，ΔG=0。

2.2　与相对暴露度有关的附加质量力

在正负坡上，泥沙颗粒间的相对位置关系可以用相对暴露度Δ′或暴露角θ表示[14]，如图2所示。由图2可见，正负坡上暴露角θ的取值范围可以统一表示为[0,90°-β]，为了计算方便，本文取θ=(90°-β)/2；经过推导可得，相对暴露度Δ′与暴露角θ满足下列关系：

Δ′=(1-cosθ)/2。

(7)

图2　泥沙颗粒相对暴露度与暴露角示意图Fig.2　Relative exposure degree and exposure angle ofsediment particles

何文社[15]认为，对于天然河流条件下的泥沙而言，除要考虑上述基本作用力外，还要考虑由于泥沙颗粒组成及相对暴露度产生的附加质量力FM(图1)。对于均匀泥沙颗粒，附加质量力FM可以表示为

FM=ξαM(ρs-ρ)gD3。

(8)

式中:ξ为与相对暴露度有关的系数，表示表层泥沙颗粒最低点与下游次表层泥沙颗粒最高点之间的距离,对于均匀泥沙颗粒，ξ=2Δ′=1-cosθ；αM为与附加质量力相应的面积系数，一般取为π/6。

3　粗、细泥沙颗粒统一起动流速公式的推导

3.1　近底作用流速

本文采用滑动起动模型[16]，建立斜坡上粗、细颗粒泥沙的受力平衡方程为

FD+(G+FM+FC+ΔG)sinβ=

f(G+FM+FC+ΔG)cosβ-FL。

(9)

式中f为河床表面的摩擦系数，即f=tanφ，φ为泥沙颗粒的水下休止角。

将式(1)—式(4)、式(6)及式(8)代入式(9)，得到

ub2=K12K22。

(10)

其中：

(11)

(12)

则临界流速η0为

η0=K1K2。

(13)

由图1及式(10)可得泥沙颗粒的起动概率为

ε=Pub2≥η02。

(14)

由于水流底部的瞬时流速ub近似服从正态分布，并且泥沙颗粒逆流方向开始滑动的概率很小，可以将ψ(·)的第2项忽略不计[5]，所以式(14)可以表示为

(15)

(16)

窦国仁[18]将泥沙起动标准分为弱动(将动未动)、中动(少量动)、普动(普遍动)3种，并给出了3种起动状态所对应的起动概率分别为ε1=0.001 35，ε2=0.022 8，ε3=0.158 5。本文以中动、普动所对应的起动概率作为起动标准，结合概率论与数理统计[19]的有关知识，联立式(15)、式(16)，得到斜坡上泥沙颗粒的底部作用时均流速为

(17)

3.2　垂线平均流速

为应用方便，现将近底作用流速转换为垂线平均流速。已知近底流速时均值符合对数分布公式[20]，即

(18)

式中:u*为摩阻流速；y为近底流速作用点的位置；χ为与沙粒Re有关的系数；ks为床面粗糙度。

(19)

而泥沙起动垂线平均流速U与u*存在如下关系[5]，即

(20)

式中J为水力坡度。

就泥沙颗粒特性而言，细颗粒泥沙磨圆度好于粗颗粒泥沙。泥沙颗粒越小，磨圆度越好，其三维尺度更接近一致；泥沙颗粒越粗，磨圆度越差，其三维尺度差异更大。f(λ)为与泥沙颗粒形状有关的扁度函数，就D≤0.5 mm的细颗粒泥沙而言，本文没有考虑泥沙颗粒形状对泥沙起动的影响，即f(λ)=1；对于D>0.5mm的粗颗粒泥沙，本文考虑了泥沙颗粒形状对泥沙起动的影响，即引入扁度函数f(λ)对公式进行修正。参考韩其为等[5]给出的f(λ)取值表，取f(λ)=1.237。

联立式(17)、式(19)及式(20)，即可得到斜坡上泥沙起动的垂线平均流速公式为

(21)

式中k(ε)为与起动概率有关的系数，k(0.022 8)=0.647 8，k(0.158 5)=0.822 4。

式(21)即为适用于正负坡及平坡上粗、细泥沙颗粒起动流速计算的统一公式。另外，还可以将式(21)简化为其他条件下的泥沙起动流速公式：

(1) 当β=0°时，表明泥沙颗粒处于平坡上，式(21)即简化为平坡条件下粗、细泥沙颗粒起动流速统一公式。

(2) 当D>0.5 mm时，不考虑泥沙颗粒间薄膜水对泥沙起动的影响(FC=0,ΔG=0)，式(21)即简化为正负坡及平坡条件下粗颗粒泥沙起动流速公式。

4　起动流速公式的验证

4.1　平坡上水槽试验资料验证

采用窦国仁[18]整理的平坡水槽试验资料及从长江实测记录换算而得的资料[12],对本文粗、细泥沙颗粒起动流速的统一公式进行验证，并与窦国仁公式[10]、沙玉清公式[11]及武汉水利电力学院公式[12]、张红武公式[8]进行比较，结果见图3。其中，实测资料泥沙粒径范围0.001～115 mm；泥沙颗粒密度ρ=2.65 g/cm3；斜坡坡度β=0°。由图3可以看出，在泥沙粒径D≤0. 01 mm或D>0.5 mm范围内，本文公式与实测资料符合较好，计算精度较高。

图3　平坡上泥沙起动流速计算值与实测值比较Fig.3　Comparison between calculated data and observeddata of sediment incipient velocity on flat slope

由文献[8]及文献[10-12]可见，上述几个经典公式均建立在滚动模型基础上。本文公式建立在滑动模型基础上，虽然2种模型的起动机理不一样，但得到的结果基本一致。由于现有的泥沙起动流速公式均存在修正系数(经典公式存在2个以上的系数，本研究存在一个系数)，实际计算中已经考虑了泥沙颗粒形状对泥沙转动支点、力臂及摩擦系数的修正，因此，上述2个模型得到的结果无本质上的差异。

就泥沙起动模型而言，滑动模型是从力的平衡条件得到的泥沙起动流速公式，而滚动模型是从力矩平衡条件得到的泥沙起动流速公式。从理论上说，若能准确地确定出泥沙滚动模型的转动支点及力臂、滑动模型的摩擦系数，那么泥沙颗粒以滚动或者滑动起动就是一个确定的事件；或在某个确定暴露度的情况下，泥沙颗粒以滚动或者滑动起动也是一个确定的事件，不存在本质的区别。但实际上泥沙颗粒形状千奇百态，滚动模型难以确定将要起动泥沙颗粒的转动支点及力臂，滑动模型难以确定其摩擦系数。因此，泥沙颗粒以哪种形式起动就是一个不确定事件。

图4　正负坡上起动流速计算值与实测值比较Fig.4　Comparison between calculated data and observeddata of sediment incipient velocity on normal andreverse slopes

4.2　斜坡上水槽试验资料验证

采用正负坡粗颗粒泥沙起动试验资料[22]对本文泥沙起动流速公式进行了验证，计算结果见图4。

其中，实测资料的泥沙颗粒密度ρ=2.65 g/cm3，斜坡坡度的变化范围为[-15°，25°]。由图4可见，本文公式计算值与实测资料符合较好，计算精度较高。在负坡上(β<0°)，泥沙起动流速随斜坡坡度的增大而增大；在正坡上(β≥0°)，泥沙起动流速随斜坡坡度的增大而减小。

5　结　语

在前人研究的基础上，采用滑动起动模型，考虑了泥沙颗粒在床面位置的随机性(相对暴露度)与起动概率对泥沙起动的影响，以及细颗粒泥沙之间的黏结力与附加下压力的影响，引入附加质量力，从理论上推导出了适用于正负坡上粗、细泥沙颗粒统一起动的近底作用流速公式和垂线平均流速公式；经过实测资料验证，本文公式与实测数据符合较好，计算精度较高。

参考文献：

[1]SHIELDSA, OTT W P， UCHELEN J C V. Application of Similarity Principles and Turbulence Research to Bed-load Movement[R]. California:Soil Conservation Service Cooperative Laboratory of California Institute of Technology Pasadema, 1936:14-17.

[2]孙志林,谢鉴衡,段文忠,等.非均匀沙分级起动规律研究[J].水利学报,1997,(10):26-33.

[3]秦荣昱.不均匀沙的起动规律[J].泥沙研究,1980,(10):83-91.

[4]周双,张根广,梁宗祥,等.斜坡上均匀散粒体泥沙的起动流速研究[J].泥沙研究,2015,(4):7-13.

[5]韩其为，何明民.泥沙起动规律及起动流速[M].北京：科学出版社，1999.

[6]唐存本.泥沙起动规律[J].水利学报,1963,(2):1-12.

[7]孙志林,黄赛花,祝丽丽,等.黏性非均匀沙的起动概率[J].浙江大学学报(工学版),2007,41(1):18-22.

[8]张红武.泥沙起动流速的统一公式[J].水利学报,2012,43(12):1387-1396.

[9]韩其为,吴岩,徐俊锋.弯道凹岸边壁上的泥沙起动[J].泥沙研究,2013,(2):1-8.

[10] 窦国仁.论泥沙起动流速[J].水利学报,1960,(4):44-60.

[11] 沙玉清.泥沙运动的基本规律[J].泥沙研究,1956,(2):1-54.

[12] 张瑞瑾.河流泥沙动力学[M].北京：水利电力出版社，1989.

[13] 毛宁.论泥沙砾石的起动流速[J].长江科学院院报，2011，28(1)：6-11.