一题多解

卫根柱

高二年级数学必修5前两章学习完之后，学校举行了一次阶段统考。其中數学试卷有一道选择题是这

样的：

在△ABC中，若AB=2，AC2+BC2=8，则△ABC面积的最大值为（ ）

A. B.1 C. D.

笔者看到本题，解题思路如下：

记△ABC中，A，B，C所对的边为a，b，c，则c=2，a2+b2=8。

因为8=a2+b2≥2ab，所以ab≤4（当且仅当a=b时取等号），

又因为cosC= = ≥ ，所以0

这原本是一道难度不大的选择题，考查了余弦定理、均值不等式等知识，但学生还未学习第三章基本不等式。笔者的第一反应是该题会不会超出命题范围了，不过出乎意料的是本题的正确率还挺高。于是在讲评试卷的时候，我特地让学生谈谈对本题的分析与思考。没想到，学生脑洞大开，各抒己见，归纳一下至少有以下几种解法：

方法一（特殊值法）：因为c=2，a2+b2=8所以可取a=b=c=5，此时△ABC的面积为 ，而选项中的最大值就是 ，故选D。

方法二（解析法）：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（-1，0），

B（1，0），设C（x，y），所以AC2+BC2=（x+1）2+y2+（x-1）2+y2=8，整理得：x2+y2=3（y≠0）。于是C点的轨迹是以原点为圆心， 为半径的圆（除去与x轴的两个交点）.显然，当C点在y轴上，△ABC的面积最大，为 ×2× = 。

方法三（配方法）：因为cosC= = ，

所以S2= a2b2sin2C= a2b2（1-cos2C）= a2b2-1.

因为a2b2= = =16- ，

所以S2= a2b2-1=3- ，因此，当a=b时，S2max=3，故Smax= .

方法四（三角换元法）：同方法三，得S2= a2b2-1，

因为a2+b2=8，故可设a=2 cosθ，b=2 sinθ，θ∈（0， ），

于是S2= ×8cos2θ×8sin2θ-1=4sin22θ-1，

因此，当θ= 时，S2max=3，故Smax= .

一道好题之所以能引起大家的共鸣，不是因为其独特的解题技巧，而是其中所蕴含着的数学思想.本题素材普通，但学生的求解过程却是精彩纷呈，妙趣横生。笔者认为，在教学中，积极、适宜地进行一题多解的训练，有利于充分调动学生思维的积极性，提高学生综合运用已学知识解答数学问题的技能和技巧；有利于锻炼学生思维的灵活性，促进学生知识与智慧的增长；有利于开拓学生的思路，引导学生灵活地掌握知识间的联系，培养和发挥学生的创造性。

编辑 韩 晓