促进《数学分析》习题课高效教学的探讨

【摘 要】数学分析习题课是数学分析课程教学的重要组成部分，它既能加强对概念更深层次的理解，也能灵活的将数分课程中所涵盖的概念、定理及性质来进一步解决数学中的问题。习题课作为一种重要的教学补偿手段，在相对抽象、复杂、计算技巧多元化的数学分析课程中尤为重要。

【关键词】数学分析；数学概念；数学技能

中图分类号： G642；O17-4 文献标识码： A 文章编号：2095-2457（2018）03-0060-002

Discussion of promoting the efficient teaching of mathematical analysis exercise class

LIAO Chun-yan

（Department of Mathematics， School of Science， Hunan University of Science and Technology， Yongzhou 425199， China）

【Abstract】Mathematical analysis exercises class is an important part of mathematical analysis teaching.It can not only strengthen the understanding of concepts but also flexibly apply the concepts ， theorems，and properties involved in the the curriculum to solve the mathematical problems.As an important teaching compensation means ，exercises class is particularly important in the mathematical analysis ，which is relatively abstract，complex，diversified computing skills.

【Key words】Mathematical Analysis； Mathematical Concepts； Mathematical Skills

数学家王梓坤院士曾说：“对于数学，练习尤其重要。通过练习，不仅可以增加知识，更重要的是，可以培养我们解决问题的能力。不做足够多而且有一定难度的练习题，是不可能学好数学的”。

数学分析课程的特点是逻辑性强，抽象，内容深刻、细致；在课堂上能听懂，能看得懂，但是一旦做题却无从下手[1]。这是因为数学分析中的计算技巧性非常强，只了解该课程中的基本的理论和方法，不掌握相应的计算技巧，是很难顺利解决问题的。论证训练是数学分析课程中最基本的，也是最应重视的内容之一，也是最难的内容之一。习题课作为一种重要的教学补偿手段，在数学分析课程中尤其重要。

习题课可以有多种多样的开展方式，但是真正上好习题并不是一件容易的事情，如果不认真安排，不合理设计，就达不到预期的效果。上好一节习题课，并不是单纯的多讲解几道习题，而是要教会学生如何更加深刻的理解书上的概念和知识，并且灵活的应用书上的知识解决问题，同时能够把握知识点之间的联系，从而更高层次的理解數学分析中的概念、定理。

1 精选习题，增进数学分析概念的理解，渗透数学思想教育

数学分析中的概念很抽象，比如一致连续和连续的概念，一致收敛和收敛的概念，第一型曲线积分及第二型曲线积分的概念等等，仅仅从概念的字面意思上我们是很难区分两个概念之间的区别，所以我们在课堂上不仅要选择合适的例题，在习题课中需注重加深这类邻近概念的区别理解。针对学生掌握知识能力的实际，对于学生容易混淆的概念，计算时容易出错之处，都应该适时适当的在习题课中安排，给予充分体现。

例如求曲面积分 （x +y +z ）dσ，其中S为球面x2+y2+z2=a2（a>0），我们在求解该曲面积分的时候很自然的将x2+y2+z2=a2代入积分式子，有

（x2+y2+z2）dσ= a2dσ=a2 dσ=4πa ，

但是如果换成求积分 （x2+y2+z2）dv时，其中Ω为x2+y2+z2=a2（a>0）所围成的闭区域，很多同学在做此题的过程中，也将x2+y2+z2=a2代入上面的式子，得

（x2+y2+z2）dv= a2dv= πa6

而造成错误。导致错误的根本原因就是学生对两类曲面积分的概念和三重积分的概念了解的不是很透彻，造成做题的错误。实际上曲面积分是对面积的积分，自然可以将x2+y2+z2=a2（a>0）代入被积函数，而三重积分是对该曲面所围成的区域求积分，也就是球面x2+y2+z2=a2（a>0）所围成的整个球体内部，自然不能简单的将球面方程代入。所以在习题课中，我们应根据这些容易混淆，容易出错，概念不容易区分的地方，通过习题课加强概念的理解，通过对比强化概念的理解。

2 注重习题的多变、开放与创新

习题课可以加深对所学概念的理解，培养学生准确概括的思维能力。所以在习题课中，任课教师应该认真对待选题工作，做到新颖灵活、多变开放、鼓励学生打破常规锐意创新，使学生在多元的练习题中，提高思维的灵活性及创造性。也可以加强学生一题多解，一题多变的训练。

例如求不定积分？蘩 dx，我们惯常的做法是用第二类换元法，令x=2sint，但是事实上这道题目却有近十种的解题思路，例如令t= ，或者将原式化成？蘩 dx，再令x= 进行求解，在课堂上我们是无法做到将全部的方法进行讲解，这就要求在习题课中，老师应该尽量鼓励学生发散思维，从多角度进行思考，培养学生解决问题的能力。

在数学分析中，很多题目只要稍微改变了下条件，做题的方式完全不同。例如求三重积分？蘩？蘩？蘩Ωzdxdydz，其中Ω是由z=x2+y2和z=1所围成的闭区域。这道题目常用“截面法”或“投影法”去做，学生往往只选择其中一种方法进行求解，求解出来了就不管了，老师应该鼓励学生同时用两种方法去求。在求解的过程中学生不难发现用截面法去求解更加容易，老师进一步鼓励学生总结为什么这道题目用“截面法”来做更加容易呢？学生在做题的过程中不难发现当被积函数仅仅是关于z的函数，且截面积D（z）容易求解的时候用“截面法”更加容易。同时们也可以改换一下被积函数，将其换成？蘩？蘩？蘩Ωxdxdydz，还是用“截面法”吗？引导学生回顾三重积分的性质，我们发现被奇函数仅仅是关于的函数，而其积分区域关于平面yoz对称，很快得出其结论？蘩？蘩？蘩Ωxdxdydz=0，这样极大的简化了我们的运算。

在习题课中，让学生对知识进行系统的概括，体会以及灵活应用。所选习题针对所学的内容改其一点，或者有步骤的改多个知识点，对重点深入研讨，以求得到新的结果。

3 注重数学技能的培养

什么是数学技能？数学技能就是解题问题的能力，不仅能解决一般的问题，而且能解决需要某种程度的独立思考、判断力和想象力的问题。在数学分析课程中，学生的普遍的感受是难及抽象，似乎能理解，又似乎不知道从哪里下手做题。很多教师经过多年的教学，内容熟悉了，题目见得多，做的多，自然而然一看就会。这也导致很多教师在教学中忽略了对数学技能的研究，缺乏对学生适当的引导。如果教师本身讲究解题策略，却不能很好的引导学生如何去解题，学生也未必能有广阔的思路，快速解决问题。教师的作用在于善于引导学生，启发学生，学生和老师的共同配合，才能达到更加理想化的解题思路，主动思考，发现问题，提出疑问，解决问题，从而提升自己的解题能力。

例如在讲授高斯公式的应用中，计算 zdxdy，其中∑为上半球面x2+y2+z2=1，高斯公式需要封闭的曲面，如果满足不了封闭性，怎么办？补一个曲面z=0，补了之后怎么办呢？借了要还，将借的曲面减去即可，有

zdxdy= zdxdy- zdxdy= πa3。

4 充分了解学生实际，优化教学模式

现今，像我校这类地方性本科院校，生源总体水平下降，数学专业的很多学生都是调剂过来，还有很多职高对口的学生，学生之间差异较大，而教师相对不足，數学分析课程教学难度大，教学课时多，面对这种情况，如何保证数学分析课程的教学质量是我们目前急需解决的难题。为此，我们可以通过一段时间的教学，充分了解学生的实际，针对不同的学生的学习情况，及对专业知识掌握的程度，在习题课教学中采用分层次小班教学，可以按照不同的教学目的，教学要求，有针对性的讲解习题。

例如教师在习题课程中可以给学生提供至少三种练习题：基础题、提高题、综合性技巧性的难题。学生可以依据自身的实际，选择适当的题做，但是现在多数高校的开课都是大班上课，如果要兼顾到每一位同学，是很难的，所以我们可以适当的利用不同形式的第二课堂，将课堂上无法全面兼顾的内容移过来，开设多样化，多层次，多内容的习题课的第二课堂，这样可以使不同知识能力水平的学生都能有所收获。

5 结束语

作为教师就算是一堂习题课我们也要合情合理精心设计，在整个的习题课过程中，不能让学生只是听和看而不想和做，要想让学生充分融入课堂，主动参与整个习题课的教学中，教师也可选择合适的策略激发学生学习的兴趣，让学生主动参与每一道题中，深入了解知识的联系、问题的讨论、解题的方式，结论的归纳及灵活应用的解题思路中。

【参考文献】

[1]陈纪修等编.《数学分析》（上）（第二版）[M].高等教育出版社，2004.10.

[2]华东师范大学数学系编.《数学分析》（上）第三版[M].高等教育出版社，2001.6.

[3]廖春艳，赵艳辉.《数学分析课程中数学概念教学的探讨》[J].湖南科技学院学报，2014（5）4-6.

[4]卢伟，程世娟.《浅谈高等数学习题课中思想方法的渗透》[J].科教文汇，2014，（9）45-46.