巧用旋转变换解初中几何问题

黄永新

[摘 要]探讨巧用旋转变换解初中几何问题，能为当前初中数学教学提供参考.

[关键词]旋转变换；初中数学；几何问题

[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2018）02002602

初中数学新课程标准中指出，学生可以通过实际存在的物体形状想象几何的图形，再由几何图形想象出实际物体的形象，这就是初中几何知识学习中学生必备的能力.初中几何涉及图形变换的内容包括平移、对称、旋转.长期以来的教学实践发现，学生的数学几何知识学习效果并不好，很多学生的知识运用能力、独立解题的能力相对较差.本文主要探讨巧用旋转变换解初中几何问题.

一、旋转变换的概念

若从平面到其自身的一个映射，并确保其中的一个定点保持不变，即对于任一点P映射到点P′，那么OP与OP′相等，∠POP′=θ，再从射线OP到OP′方向和给定的方向相同，这个映射也就是绕中心O，根据已知方向对θ进行旋转变换.如图1所示，那么O就是旋转的中心，θ就是旋转角.这个旋转变换的过程可记为R（O，θ）.如果旋转角以180°为中心进行对称变换，那么旋转中心也就是对称中心.

二、旋转变换的性质

在初中数学的几何知识中，旋转变换的内容包括四点性质：（1）一个图形与这个图形在旋转变换后得出的新图形全等；（2）如果旋转中心相同，连着进行两次旋转变换，那么依旧只是一個旋转变换，可用R（O，θ1）·R（O，θ2）=R（O，θ1+θ2）表示.对一个图形取点O作为旋转中心旋转θ1，在保持O的旋转中心不变的基础上再旋转θ2，那么得出来的图形也就是原图形以O为旋转中心旋转θ=θ1+θ2而得到的图形；（3）旋转变换的逆变换为旋转变换，用公式表示为R（O，θ）=R（O，-θ），通过一个图形将O作为旋转中心旋转θ，如果要让这个图形再次回到原有的位置，那么还需要以O作为旋转中心旋转-θ并经过变换才能实现；（4）非恒等变换的R（O，θ）没有二重线，但有明确的二重点，也就是旋转中心的点，如果将△ABC这个图形将C作为旋转中心旋转θ变成△A′B′C，观察这个新的三角形不难发现，其中的直线位置都发生了一定的变化，但是重合点却为C点，而这个点正是旋转中心.

三、巧用旋转变换解初中几何问题

1.利用旋转变换解决等边三角形的问题

【例1】 如图2，已知P是等边三角形ABC中的一点，PB=2，PC=1，AP=5，那么∠BPC大小为多少？

分析：由图2可知，图中的已知线段PA、PC、PB都不在同一个图形中，很多学生读题过程中不容易发现解题的思路与方法.在这种情况下，如果进行图形重组，让已知线段都能在一个三角形内，那么问题的思考也就更简单.从已知条件可知，三角形全等，存在三个60°的内角，所以可以通过旋转角为60°的图形进行旋转，旋转图形为三角形PP′C和2、1、5为边长的特殊三角形，得到结论是∠BPC为∠AP′P与60°的和，于是利用勾股定理逆定理可得出∠AP′P为90°，于是就能求解出∠BPC的大小.

解答：将△BPC以点C为中心顺时针旋转60°，得出△AP′C，结合旋转的性质可知CP=CP′，∠PCP′=60°.那么△PP′C就是等边三角形，而∠CP′P=60°.因为PB=2，PC=1，AP=5，因此AP′=2，而P′C=1，又因为22+12=（5）2，所以可以推算出∠AP′P=90°，即∠AP′C=90°+60°=150°，所以根据旋转的性质可以得出∠BPC=∠AP′C=150°的结论.

2.利用旋转变换解决直角三角形的旋转问题

【例2】 如图3，P是正方形ABCD中的一个点，∠BPA为135°，AP=3，BP=5，那么PC的长为多少？

分析：这题的解题方向与上题比较相似，根据题意可以得出AB=BC=CD=DA的结论.而正方形的内角都为90°，所以可以通过变换组成PA、PB、PC三边的三角形，而旋转的角度为90°.

解答：根据题意，将△BPP′以点B沿着顺时针方向旋转90°得出△AP′B，根据旋转的性质可知BP=BP′，∠PBP′=90°，P′A=PC，那么△BPP′就是等腰直角三角形，而∠BP′P和∠PP′B相等，均为45°，因为∠APB=135°，∠P′PB=45°，所以∠APP′=90°，又由于AP=3，BP=BP′=5，那么PP′=52，于是PC=P′A=32+（52）2

=59.上述解题方法，主要是通过旋转△BPC，使相关线段组成两个直角三角形，其中一个为等腰三角形而得出最后的解.

3.利用旋转求解不等关系的问题

【例3】 如图4，已知△ABC是正三角形，在三角形中任意取一点O，要求证明OA≤OB+OC.

分析：这题由OA≤OB+OC可以联想到“三角形两边之和大于第三边”的规律，此外从图形来看，需要证明的三条边都相对分散，肉眼不容易看出关系，那么同样要想办法将这三条边放在一个三角形当中，通过变换来得出结论.根据题意可以利用旋转变换将△BOC以B作为旋转中心，将其旋转到△BO′C的位置，从而确保三条边都能在同一个图形当中.

此题型和例1的解答较为相似，具体的解答过程不做过多讨论.从中可以结合如“两边之和大于第三边”的三边关系展开联想，由此来证实题目的解题结果.另外，还要看清题目给出的较为分散的条件，采用几何变换不改变大小的规律将这些分散的条件集中进行探讨，再从中寻求相关边长和角度之间的关系，就更容易厘清题目的含义，尽快找到解题思路.

4.利用旋转在四边形中求边或角的大小

【例4】 如图5，在四边形ABCD中，∠ADC=∠BAC=90°，AB=AD，如果四边形ABCD面积是24cm2，那么AC边长是多少？

分析：这个题型与例2也有相似之处，题目中给出了不规则四边形ABCD的面积，求出一条边的边长，那么就可以从面积的几何知识入手，将不规则四边形ABCD转变成为规则的图形，结合题目中给出的AB=AD条件，推断采用旋轉变换将四边形改变为一个规则图形一边利用面积的条件.

解答：如图5所示，将△ADC旋转90°变为△ABC′，根据旋转的性质可知AC=AC′，S△ADC=S△AC′B，所以SABCD=S△ACC′=24（cm2），那么△ACC′是等腰直角三角形，过点A作出△ACC′的高AE，那么AE为CC′/2也就是EC，所以S△ACC′=AE·CC′/2=AE2=24，那么AC2=AE2+EC2=2AE2=48，即AC=43.

上述题型求解不规则图形面积的方法通常是将其分为若干个规则的图形再分别对具体的面积进行计算和相加或是将大的规则图形面积减去小的规则图形面积得出最后的解.还有就是利用旋转、变换或平移的方法将不规则图形转变成为规则图形更方便计算.

5.利用旋转证明相等关系

【例5】 如图6，在圆O中，AB为直径、CD是弦，过A、B两点分别作CD垂线交于E、F两点，求证OE=OF.

分析：从图6可知，OE与OF没有直接的联系，那么就要联想到采用几何变换的方式将分散的条件集中起来.因为OA=OB，所以可以将△OEA以O为旋转中心旋转为△OGB，就可以证明OG=OF.

解答：因为AE与CD垂直，BF与CD垂直，那么AE就与BF平行，且OA与OB相等，所以将△OEA变换为△OGB，根据旋转性质可得OE=OG，OF=BG/2=OG=OE，那么OE=OF.

这个解答的过程中涉及的是边和边关系的问题，通常情况下题目给出的都是分散的条件，这就必须应用到几何变换保持形状大小不变的性质将图形做整合，将这些分散的条件集中起来才能让它们之间的关系一目了然，再结合题目中已有的条件，就能清楚具体的变换方法，从而证明结论.

旋转变换的思想在初中数学几何问题中广泛存在，体现了数学思维的多向性特点，这也是几何教学中教师与学生都必须明确的学习规律.教师在日常教学工作中要注意培养学生旋转变化的意识，使学生具备快速的反应能力，从而有效降低初中数学几何问题的教学难度，也让学生逐渐发现数学知识学习的规律，全面提高学生的数学学习兴趣和学习效率.

[ 参 考 文 献 ]

[1]冼词学.初中数学竞赛中的图形旋转变换问题[J].数学学习，2015，11（1）.

[2]刘清泉.旋转变换与解题、几何证题[J].中学数学研究，2014，2（5）.

[3]吴永照.运用旋转应用法解答几何问题[J].数学学习，2012，2（7）.

（责任编辑 黄桂坚）