论二值原则——部分逻辑悖论产生的根源*

田茂

榆次区教师进修学校sydntxgzz@163.com

1 引言

二值原则是逻辑学中的一个基本规则。但是，它的内容是否真的就像人们表面上理解的那样？其本质究竟是什么？它又是如何被确立的？它是不是逻辑学中最基本的规则？诸如此类的问题，在逻辑学的历史发展过程中，似乎很少被人们认真仔细地研究、琢磨、推敲过。

北大哲学系教授陈波对二值原则的定义是全面而完整的：

在一对相互矛盾的命题中间，必定是肯定一个否定另一个；或者说，任一命题必定或者为真或者为假，非真即假，非假即真。这就是所谓的“二值原则”。一般使用的逻辑都是建立在这个原则之上的，因此叫“二值逻辑”。（[3]，第24页）

这就是说，二值原则的表述可以采用两种不同的形式：

·表述1：在一对相反的命题中间，不可能两个都真或两个都假，只能是一真一假。

·表述2：任一命题既不能非真非假，也不能又真又假，只可以非真即假，非假即真。

表述1针对的是一对相反命题，表述2针对的是一个命题的两个真值。两种表述在本质上是一致，是等价的。经典形式逻辑和现代数理逻辑，只要是讨论演绎推理及其规律的，包括命题逻辑和谓词逻辑两部分，亦称“一阶逻辑”，都是严格意义上的“二值逻辑”。因为所有的这些逻辑系统都强调，任一命题的真值只有“真”和“假”两个值，即：在真和假之间不容许出现第三值。也就是说，在二值逻辑系统中，不容许在真和假之间出现“非真非假”的真值间隙或“又真又假”的真值重合。

但是，由前苏联逻辑学家鲍契瓦尔等人根据现实中的真和假之间不可避免地会产生“非真非假”的第三种情况，于上世纪30年代通过对经典逻辑“二值排中律”的否定，建立了一个三值逻辑系统，将命题的真值分为“真、假、X”三值。显然，这样的三值逻辑是不遵守“二值原则”的。因为在三值逻辑系统中，命题的真值除了“真”和“假”两个值以外，还有一个“非真非假”的第三值X。于是，三值逻辑在不改变自然语言的论域范围和素朴集合论概括原则的前提下，可以消除说谎者悖论和罗素集合悖论，比如：将命题“本语句假”的真值直接赋予既不真又不假的第三值X，这样就破解了说谎者悖论。与此类似的解悖方案还有克里普克的真值间隙论，同样也认为在真和假之间可以有一个间隙用来存放“非真非假”的第三值。这样的解悖方案曾经使许多人欣喜若狂，以为困惑人们两千多年的悖论难题，因此就被彻底地解决了。

但是，后来由美国加利福尼亚大学的哲学家伯奇（T.Burge）等人则提出了强化型说谎者悖论：“本语句非真”（或“本语句假或X”）。该语句仍然将导致新的悖论：如果它是真的，则推出它是不真的；如果它是不真的，又可推出它是真的。这是一个与说谎者悖论同样严格的悖论。为什么会这样呢？这是因为人们对此已经不自觉地将原来的二值排中律也做了强化（[12]，第239、252页），将排中律的一般定义“任一陈述或是真的或是假的”重新解读为“任一陈述或是真的或是不真的”。三值逻辑系统和真值间隙论可以否定二值排中律，但却否定不了强化型排中律；同理，三值逻辑系统和真值间隙论可以破解说谎者悖论，但却不能破解强化型说谎者悖论。于是就给这样的解悖方案造成了一个致命的打击。这个结果被英国学者哈克（S.Haack）形象地比喻为“跳出油锅又进火坑”。（[1]，第139页）于是，一个很有希望的解悖方案就彻底地失败了。

那么，这样的解悖方案不能消解强化型说谎者悖论的深层原因到底是什么呢？

仔细想来，其原因就在于：虽然三值逻辑系统和真值间隙论假定了在真和假之间存在一个真值间隙X（即第三值），这样就否定了“在真和假之间不容许出现第三值”的二值原则。但是，如果我们如果对二值原则也做一次强化，按照二分法，在有序排列“真、X、假”中的真和X之间划一条分界线，再次将其分割为“真”和“不真（X、假）”两部分，那么，这两部分之间的真值间隙就被消除了。这就是说，三值逻辑系统和二值逻辑系统一样，从本质上仍然还是要遵守“在真和非真之间不容许出现第三值”这样一个基本规则的。

可以明确地说，对于“在真和非真之间不容许出现第三值”这样一个基本规则，是几乎所有严谨合理的逻辑系统（包括多值逻辑、量子逻辑、模糊逻辑、自由逻辑、偏逻辑、次协调逻辑等表面上似乎部分地放弃了二值原则的现代非经典逻辑）都要遵守的基本原则。

2 真正的二值原则

显然，二值原则的内容与矛盾律和排中律的合取是等价的，这一原则是这两个思维规律所要共同表达的真正含义。

·矛盾律的内容是：“任一陈述不能既是真的又是假的”；

·排中律的内容是：“任一陈述或者是真的或者是假的”。

显然，这两条思维规律综合起来所要表达的意思不过就是“任一陈述必定或者为真或者为假，非真即假，非假即真”，这就是二值原则。也可以说，这两条思维规律是逻辑学家从不同的两个侧面（不重叠、不遗漏）来阐述“在真和假之间不容许出现第三值1这里的第三值指的是两种情况：一种是真与假之外被遗漏的“非真非假”的真值间隙，另一种是在真与假之间会发生重叠的“既真又假”的真值重合。后文出现的第三值（者）均依此类推。”这样一个在逻辑学中被设定的基本原则（即二值原则）。

但是，由于三值逻辑等非经典逻辑的出现，使得逻辑学家对矛盾律和排中律的内容产生了更加严谨的说法，于是就有了强化型的矛盾律和强化型的排中律。

·强化型矛盾律的内容是：“任一陈述不能既是真的又是非真的”；

·强化型排中律的内容是：“任一陈述或者是真的或者是非真的”。

显然，两者综合起来所要共同表达的意思不过就是“任一陈述必定或者为真或者为不真，非真即不真，非不真即真”，这当然就是强化型的二值原则。它也可以简化为“在真和非真之间不容许出现第三值”。

在二值逻辑中，“假”和“非真”是完全等价的；在三值逻辑以及多值逻辑中，“假”仅仅是“非真”的一个特例。强化型矛盾律和强化型排中律是伴随着多值逻辑的出现和强化型说谎者悖论的出现而出现的，由此导出的强化型的二值原则，是几乎所有的现代经典和非经典的逻辑系统都要遵守的基本规则。尤其是对于多值逻辑，从本质上来说，它遵循的仍然是“二值”，不过此时的二值由“真和假”换成了“真和非真”。或者说，虽然多值逻辑以及其他非经典逻辑可以不遵守二值原则，但却必须要遵守强化型的二值原则。

从事物规律的角度来说，强化型矛盾律、强化型排中律以及强化型二值原则，是逻辑学家从各种不同的角度来解读“在真和非真之间不会出现第三者”这样一个他们认定的基本事实。

因此，我们不应该把二值原则仅仅理解为“在真和假之间不容许出现第三值”，因为这是一个不能被普遍适用的二值原则，是一个肤浅的二值原则，也是一个表面的二值原则。

真正的二值原则应该是这里所说的强化型的二值原则，即“在真和非真之间不容许出现第三值”，只有在如此内容和解释下的二值原则，才是一个本质上的二值原则，是一个深刻的二值原则，也是一个基本的二值原则，一个普遍适用的二值原则。

所以，真正的二值原则是与“强化型矛盾律∨强化型排中律”等价的，不仅多值逻辑要遵守这个原则，甚至对于辩证特征（有条件地否定矛盾律）相当明显的次协调逻辑，在元逻辑层次上，也是要遵守这个原则的。（[4]，第87–88页）据桂起权老师向笔者提供的信息，当年莫绍揆先生曾经论述过这个问题，他也认为真和不真只能是二分，没有第三者，并把“三值”仅仅看作是一种数学技巧。可以说，二值原则是一个几乎所有严谨合理的经典与数理的以及那些扩展的和异常的形式逻辑系统（包括时态逻辑、模态逻辑、多值逻辑、量子逻辑、模糊逻辑、直觉主义逻辑、自由逻辑、中介逻辑、偏逻辑、次协调逻辑等表面上似乎部分地放弃了矛盾律或排中律的现代非经典逻辑）都要遵守的基本原则。

下面谈到的二值原则指的都是强化型的二值原则。

不过，按照我国逻辑学大师金岳霖先生的观点，二值原则还不是形式逻辑最基本的设定。

3 二分法才是形式逻辑最基本的设定

金岳霖先生认为：“二值原则不过是对命题的值引用二分法的结果”（[12]，第260页），金岳霖还说：“寻常我们由同一律可以推论到其余二思想律（指矛盾律和排中律——笔者注）者，实在是因为我们已经引用了二分法。”（[5]，第475页）并且认为没有比同一律和二分法更根本的原则或命题或方法或思想作为它们的前提（[5]，第474、478页）。按照金岳霖的观点，如果把整个逻辑学看成一个公理系统的话，那么，最基本、最底层、最初始的两个基本公设是：同一律和二分法。

在逻辑学中，一般认为最基本的三个思维规律为：同一律、矛盾律、排中律。通过前面的分析我们得知：“矛盾律∨排中律”等价于二值原则，而二值原则又来自于二分法。所以二分法是比二值原则更为底层的基本设定。如果只有同一律而没有二分法，就只能有“A是A”，而不会出现“A不是非A”的说法。有了二分法，才能出现“否定”的概念，才能出现“非A”的概念；有了“否定”概念，才能确认二值原则的成立；有了二值原则，才能设定矛盾律和排中律。于是，整个形式逻辑系统才能被建立起来。

因此，逻辑学最基本的两个设定就是：同一律和二分法。同一律是无可置疑的，下面我们重点讨论二分法。

二分法，也叫两分法，《逻辑学大辞典》中的该词条内容为：（[8]，第314页）

两分法（one divides into two）在逻辑学上，指一种特殊的划分。把一个母项分为两个在外延上互相否定的子项，其中一个子项具有某种属性，另一个子项不具有这种属性。如把“元素”划分为“金属”和“非金属”。两分法以对象是否具有某种属性为划分标准。……

逻辑学中的划分，是明确概念外延的逻辑方法。一个母项可以被划分为多个在外延上既互不相容又互不重叠（不重不漏）的子项。但最简单，也是最基本的划分方法是二分法，即一个母项被划分为两个在外延上不重不漏的子项。因为对于再多的划分类型，最终仍然可以被一分为二，形成“是A”和“非A”两个部分。因此，在逻辑学界，一个默认的共识是：在任何情况下实施二分法都是可以办到的。即：

·二分法具有普适性。

近年来在国外逻辑学界炒得比较热的模糊性问题上，似乎对上述共识提出了挑战。因为面对一个现实问题，当一个母项被划分为两个子项的时候，两子项之间的界限有时会出现无法精确定位的模糊状态。比如“秃头”和“非秃头”的界限就很难有一个公认的标准，于是就出现了所谓的“秃头悖论”。对此，人们又拿出了三值逻辑用来对付在二值逻辑中出现真值间隙问题的方法，将本来的二分问题划分为三个部分：在正外延和负外延之间又增加了一个界限情形（borderline cases）（[3]，第51页），这样，在真和假之间就不会像二分法那样被精确地清晰区分，而是形成一段模糊区域（界限情形）。更有甚者，如果觉得划分得还不够精细和清晰，那就在这些区域的边界地带再继续划分……，直至清晰为止，这就形成所谓的“界限情形的界限情形……”，以应对所谓的高阶模糊性。但是在这些一系列的区间中，任意两个相邻区间之间，最终还是要有一个清晰的划分，而不存在模糊地带。也就是说，在足够小的范围内，仍然还是要用到二分法。所以这个挑战是失败的。

在现实中，人们对于解决模糊区域难题，最常见的、也是最简单有效的解决办法是：在有序排列的母项中只规定一个分界点，这样就能很清晰地将母项分割为两个子项。如各类招考单位设定的录取分数线、铁道部门展示的列车时刻表、学校中设定的上下课铃声和常见考试中规定的60分及格线等等，都是如此。同样的道理，如果有必要，我们也可以设定“秃头”和“非秃头”的一个分界点，比如60根头发。规定60根头发以下者为“秃头”，60根头发及其以上者为“非秃头”。于是，一个清晰明确的二分法就顺利地实施成功了。在这样的设定下，所谓的“秃头悖论”，也就不复存在了。

因此，二分法不仅是逻辑学最基本的一个设定，也是各种各样分类法中最基本的一个方法，而且还是破解某些简单连锁悖论（sorites paradox）的一个有力武器。但是，由于在模糊概念之间设置一个人为的分界点，往往会严重地违反人们的直觉，因此，对于模糊性问题给予经典逻辑学构成的这种严重挑战，各种哲学流派的回应是不尽相同的，甚至有些流派主张要对二值原则采取拒斥或修改的态度。但是，主流观点包括最有影响的认知主义，则喊出了“模糊性是某种程度的无知”的口号，他们认为是由于认知能力的局限，才导致人们不可能知道这个分界点在哪里，但这并不等于说分界点就不存在。因此，二值原则是不能抛弃的。（[3]，第59–72页）特别是在逻辑学界，二值逻辑和二分法的普适性还是无可置疑的。

4 二分法的实施方法

在数学和逻辑学中，涉及到二分法基本设定和操作流程的内容很少，据笔者掌握的资料，发现仅仅有两处：分离公理和戴德金分割。

在《逻辑学大辞典》中，“分离公理模式”词条的部分内容是：

分离公理模式（axiom scheme of separation）亦称“子集公理模式”，简称“分离公理”、“子集公理”。策梅罗公理系统中的一条公理模式。它肯定：“对于任何一元关系（即性质）ϕ，集合a中所有满足关系ϕ的元素x也构成一个集。”对于一个确定的集合a，每一个ϕ都确定a的一个子集。（[8]，第431页）

《数学辞海》（第一卷）“分离公理”词条中也说：

策梅洛的这条公理形象地刻画了从已给集合按一定的限制（性质）可分离出它的子集这一性质。（[9]，第635页）

分离公理的分离标准是“按一定的性质”来分离一个子集的，即一个集合被分离后的子集中的元素具有某个统一的性质，那么，余下的那些不具有该性质的元素当然就可以组成另一个子集。这实际上就是说：分离公理是按照是否具有某属性将一个集合划分为两个子集的。这和《逻辑学大辞典》两分法词条中所说的“两分法是以对象是否具有某种属性为划分标准”如出一辙。

但是，“按照某属性”来将一个母项分为两个子项，是否一定具有可操作性？这是有疑问的。因为属性往往具有强和弱的特征。对于极端情况比较容易判断，但是对于临界状况，一个元素是否具有某种属性往往是很难判断的。比如张三一根头发也没有，说他是“秃头”是没有问题的；李四满头黑发，说他是“非秃头”也是确定的；但如果王五的头发只有很稀疏的几十根，此时要确认王五到底是“秃头”还是“非秃头”就很令人纠结，无法确定。

那么，有没有一个更好的操作方法来实现二分法呢？有的。那就是生活中人们常用的规定一个“分数线”的办法：确定一个“分界点”。实数理论中的“戴德金分割”采用的就是这个办法。

查《数学辞海》（第一卷）“戴德金分割”词条（[9]，第498页），其内容为：

戴德金分割（Dedekind cut）定义实数的一种方法。指按如下方法将一个有大小顺序的数集（例如实数集或有理数集）分成两部分，具体而言，用S表示有大小顺序的数集，若将S分成两部分A和B，使其满足：

·A和B都至少含有S中的一个数（不空）；

·S中的任一数或属于A，或属于B（不漏）；

·对任意a∈A和任意b∈B，有a＜b（不乱）。

则集偶(A,B)称为S的一个（戴德金）分割，A和B分别称其为下类和上类。若(A,B)是有理数集Q的一个分割，则可能A中无最大数，同时B中无最小数，即出现空隙，所以有理数系不连续；而对实数集R所作的分割，则不会出现这种情况，它反映出实数系是连续的，这促使戴德金（Dedekind,J.W.R.）用有理数系Q的所有这种分割（出现空隙的和不出现空隙的）来定义实数。这样的实数的集合R一定有连续性及其他熟知的性质。因此，它就给出了一种严格的实数理论，这也就是戴德金分割的意义所在。……

另外，《数学辞海》（第一卷）中还有一个“戴德金原理”词条（[9]，第484页），内容如下：

戴德金原理（Dedekind principle）亦称戴德金分割，是保证直线连续性的基础。其内容为：如果把直线的所有点分成两类，使得：

·每个点恰属于一个类，每个类都不空，

·第一类的每个点都在第二类的每个点的前面，或者在第一类里存在着这样的点，使第一类中所有其余的点都在它的前面；或者在第二类里存在着这样的点，它在第二类的所有其余的点的前面。

这个点决定直线的戴德金割切，此点称为戴德金点（或界点）。戴德金原理是戴德金于1872年提出来的。在构造欧氏几何的公理系统时，可以选取它作为连续公理。在希尔伯特公理组I，II，III的基础上，阿基米德公理和康托尔公理合在一起与戴德金原理等价。

两个词条实际上说的是一回事，当时戴德金提出这个分割原理的目的是为了定义实数（或确保直线连续），但同时也向人们提供了一个在数学中如何将一个有序集合S分为两个相互矛盾的子集A和B的基本方法（即二分法）。不同的是，词条“戴德金分割”侧重于算术（数的分割），词条“戴德金原理”侧重于几何（线的切割）。

值得关注的是，在词条“戴德金原理”中，出现了一个“戴德金点（或界点）”的概念。这是一个非常重要的概念。它就是我们前面提到的“分界点”。有了“分界点”，二分法的操作流程才算是真正落到了实处，因为这个点决定着一个母项通过二分法是从何处被分割成为两个子项的。

因此，按照分离公理提供的原理和戴德金分割给出的规则，如果要对一个母项实施二分法，可以按照如下的步骤进行操作：

·第一步：确定母项的外延为集合S′；

·第二步：将集合S′中的元素按照某种属性的强弱关系进行排列，得到一个有序集合S；

·第三步：在有序集合S的范围内，找一个合适的位置来确定一个分界点c；

·第四步：以c为分界，前面的元素组成一个子项，后面的元素组成另一子项。

通过上述四个步骤，以c为分界点，S就被分成了“是A”和“非A”两个相互矛盾的子项，于是，二分法的操作过程就完成了。

比如，将母项“人”按照是否具有“秃头”的性质实施二分法，可进行如下的操作：

·第一步：设人的集合为S′；

·第二步：因为头发越少，秃头性越强；头发越多，秃头性越弱。所以再将集合S′中的元素按照头发多少的顺序进行排列，头发少者在前，多者在后，于是得到一个有序集合S；

·第三步：在0～1.4×105的范围内（据说人的头发最多有14万根），确定一个合适的分界点c（比如：c=60）的位置；

·第四步：以60为分界，前面的元素组成一个子项，后面的元素组成另一个子项。

通过上述四个步骤，以60为分界点，S就被分成了“是秃头”和“非秃头”两个部分，少于60根头发者为“是秃头”，大于或等于60根头发者为“非秃头”。于是，二分法的目的就完成了。

上面的第四步操作是比较粗糙的。因为对于分界点c的选取有两种可能：可能c是S的外部元素（cS），也可能c是S的内部元素（c∈S）。“戴德金分割”词条中提到的有理数集Q被分割时出现的空隙处，就能恰好填入一个不属于Q的外部分界点c（c是无理数），这属于前一种可能；而对实数集R分割时，分界点c就只能是R中的元素。在后一种可能中，又分两种情况：对元素c如何分配的问题和对除c以外其它元素的分配问题。下面，我们根据戴德金分割提供的方法，分别讨论之：

·第一种可能：c是S的外部元素。此时c所在的位置恰好可以将S分割为前后两个部分，可称其为“是A”和“非A”两个子集。S中的任一元素以c为界，前面的属于“是A”，后面的属于“非A”。这是一种最理想的情况，

图1:是A和非A分割图

因为此时对S中所有元素的分配都是确定的。比如在对人的有序集合S进行“秃头”和“非秃头”的分割时，如果我们选取了分界点c=60，而在集合S中恰好没有60根头发的人。那么，此时的分配很容易实施：所有少于60根头发者为“秃头”，所有多于60根头发者为“非秃头”。这种可能下的二分法是最容易实现的。

·第二种可能：c是S的内部元素。此时又分为两种情况：

–情况一：S中除c以外的所有元素如何分配：这种情况也好办，与第一种可能类似，排在分界点c前面的元素属于“是A”，排在分界点c后面的元素属于“非A”，S中除c以外的任一元素或者属于“是A”，或者属于“非A”，这里也不存在任何的不确定因素。

–情况二：S中的特殊元素c的归属怎么办？根据戴德金分割，下面的两个选择都是可以实施的：

*选择一：c归属于前面的部分（c是A）；

*选择二：c归属于后面的部分（c非A）。

对照前面的例子，在对人的有序集合S进行“秃头”和“非秃头”的分割时，如果我们选取了分界点c=60，假如在集合S中恰好就有60根头发的人，那么，其他的人都好办，只有有60根头发的人应该归属于哪个子集，就很令人纠结。戴德金分割给出的办法是：这个人归属于哪一部分都行。于是，采用这种办法，此时的二分法就会得出两种不同的结果：

·结果一：秃头集 ={x∈S|x的头发根数＜60}，非秃头集 ={x∈S|x的头发根数≥60}；

·结果二：秃头集 ={x∈S|x的头发根数≤60}，非秃头集 ={x∈S|x的头发根数＞60}。

这样的分割方案，实际上是遵循了二值原则，从而确保了“在是A和非A之间不会出现第三者”，也保证了二分法在任何情况下都是必然可以实施的普适性。因此，戴德金分割似乎给“在真和非真之间不容许出现第三值”的二值原则提供了一个逻辑上的保障。

5 二分法并不是普适的

二分法在任何情况下都是必然可以实施的吗？在是A和非A之间真的不会出现第三者吗？或者说，二值原则的基础真的是那么牢靠吗？仔细推敲下来，戴德金分割所给出的二分法的具体操作方案似乎存在一个重大的纰漏。

演绎推理又叫必然性推理。因此，从逻辑的本质来说，逻辑学追究的是必然性而不是或然性，而所谓“逻辑必然”的实质就是“穷尽可能”！（[12]，第263页）戴德金分割对有序集合S分割方案中的选择，显然没有穷尽所有的可能。因为在第二种可能的情况二中，当分界点c为有序集合S的内部元素时，在对于分界点c归属的分配问题上，所有可供选择的方案并非只有2个，而是有4个：

·选择一：c归属于前面的部分（c是A）；

·选择二：c归属于后面的部分（c非A）。

·选择三：分界点c既不归属于前面的部分又不归属于后面的部分（c既不是A又不是非A）；

·选择四：分界点c既归属于前面的部分又归属于后面的部分（c既是A又是非 A）。

图2:是A和非A分割图

与上节所举的例子相对应，在对人的有序集合S进行“秃头”和“非秃头”的分割时，如果我们选取了分界点c=60，而在集合S中恰好就有60根头发的人，那么，可能出现的分割结果是：

·结果一：秃头集 ={x∈S|x的头发根数＜60}，非秃头集 ={x∈S|x的头发根数≥60}，这是S的两个不重不漏的真子集；

·结果二：秃头集 ={x∈S|x的头发根数≤60}，非秃头集 ={x∈S|x的头发根数＞60}，这也是S的两个不重不漏的真子集；

·结果三：秃头集 ={x∈S|x的头发根数＜60}，非秃头集 ={x∈S|x的头发根数＞60}，这是S的两个漏掉元素“有60根头发的人”的真子集；

·结果四：秃头集 ={x∈S|x的头发根数≤60}，非秃头集 ={x∈S|x的头发根数≥60}，这是S的两个重叠了元素“有60根头发的人”的真子集。

这就是说，戴德金分割对有序集合的分割方式虽然全面地考虑了各种不同的情况，确认了在绝大多数情况下，二分法确实能够有效地将S分割为互相矛盾的两个子集“是A”和“非A”。但是，在极为罕见的第二种可能的情况二中，却有两种可能情况被疏忽了。在这两种可能情况下的划分方案，并不能将S分割为互相矛盾的两个部分，而是将S分割为“漏掉了一个元素c的两个部分”和“重叠于一个元素c的两个部分”，这就使得在所有的二分法实施过程中，并不能确保百分之百地将一个母项划分为不重不漏的两个子项，而是有可能得到具有细微差别的三种不同的结果：

·结果1：S被分割为既没有重叠又没有遗漏的2个部分（“是A”和“非A”是矛盾关系）；

·结果2：S被分割为有一个元素被遗漏在外的2个部分（“是A”和“非A”是上反对关系）；

·结果3：S被分割为有一个元素被重叠在内的2个部分（“是A”和“非A”是下反对关系）。

在这里，只有结果1是我们希望得到的理想状态，而这种结果也几乎占尽了99%以上的可能性。自亚里士多德以来的几乎所有的逻辑学家仅仅考虑了这种结果，所以在逻辑学中就一直以为二分法这种正常的分割结果总是清晰的、明确的和普适的，不存在任何的模糊性。所以在学界一直在严格遵守着“在是A和非A之间不会出现第三值”的二值原则。

而第二种可能下的情况二所导致的结果2和结果3，实际上已经破坏了“在是A和非A之间不会出现第三值”的二值原则，但其出现的可能性简直是太微乎其微了，至多仅占百分之零点几。因为它的发生要满足两个条件：第一，分界点c必须是集合S中的元素，而一般情况下的分界点大都是外来的（如刀切西瓜）；第二，这两种结果只出现在对S中唯一的分界点c的分配问题上，而对除c以外的任何的S中元素的分配结果都必然是结果1，而不会是结果2或结果3。这就是说，同时满足这两个条件的可能性真是太小太小了，以至于小到几乎可以忽略不计的程度。所以这种可能情况所导致的结果2和结果3长期被人们所忽视，也是情有可原的。在整个数学史上，似乎只有直觉主义者曾经对此提出过轻微而含糊的质疑，因为他们对排中律的普适性是不认可的，认为命题存在三种情况：真、假、不假，但他们又不承认自己采用了三值逻辑。（[7]，第100页）

现有的资料表明，在二分法的问题上，历史上绝大多数的哲学家和逻辑学家们仅仅考虑了第一种可能（c̸∈S），很少有人考虑到第二种可能（c∈S），而唯一考虑到的只有德国数学家戴德金。但当时他思考的重点并不是二分法的操作问题，而是实数的定义问题。因此，对于导致二值原则普适性失效的第二种可能中的情况二，戴德金想当然地按照二值原则做了处理。岂不知这样做的结果，却丢失了穷尽可能这个基本的逻辑要求，从而丢失了逻辑的必然性，得到的仅仅是一个或然性结果。尽管这个或然性的概率非常之大，几乎接近于1。但这样做的后果是，使得逻辑学界在这个最基本的基础问题——二分法上，一直存在一个使人难以察觉而又性质严重的疏忽，这就是令人困惑的理发师悖论、说谎者悖论、罗素悖论、格雷林悖论、理查德悖论……等同一类型的狭义逻辑悖论一直不能得到一个合理而彻底的解释的根源所在。

从模糊性角度来看，哲学界对于一个模糊概念与其否定之间（如“秃头”和“非秃头”之间）是否存在分界点，还是大有争议的，因为分界点的存在严重违反直觉。现在看来，如果退一步说，即使大家都认可认知主义的看法，同意“由于人的认知能力所限而不知道分界点在哪里，但这个分界点是存在”的观点，模糊性还是难以消除：因为对于内部分界点的分配，除了它可以分别属于“是”或“否”以外，依然还有两种可能：分界点既不属于“是”又不属于“否”，或者分界点既属于“是”又属于“否”。于是，我们还是不能最终完全确定分界点的归属。清晰性仅仅是相对而已，而模糊性似乎是绝对的。

6 对理发师悖论的分析

下面我们就以理发师悖论为例，来说明只要人们放弃在二分法问题上隐藏很深的一个想当然的错误认识，考虑到在一些特殊的案例中有可能会遇到的那个极为罕见的容易被忽视的情况，所谓的逻辑悖论，就都能得到非常合理的解释。

案例一：假设萨维尔村没有理发师，这时邻村的一个理发师向萨村全体村民宣布了一条规定：“我给且只给萨村不给自己理发的人理发”。在这样的前提下，萨村全体村民组成了一个集合S′，邻村的这个理发师相当于一个外来的分界点c，通过他发布的规定，要将S′一分为二。其分割方式是：先将集合S′按照给自己理发的人在前、不给自己理发的人在后的顺序排成了一个有序集合S（注：理发师不属于集合S），然后理发师c站在给自己理发的和不给自己理发的两组村民之间（如图3所示），这样就把S分割为两个不重不漏、相互矛盾的真子集。前一个子集叫“给自己理发的村民集合”，后一个子集叫“不给自己理发的村民集合”，理发师给且只给后一个集合中的人理发。显然，理发师的这个规定完满地解决了萨村全体村民的理发问题。

图3:理发师与萨村村民关系图

此案例和前面讨论过的戴德金分割的第一种可能是类似的，由于作为分界点的理发师c是一个外来者，所以，集合S中任一元素都被毫无遗漏地合理分配到分割后的两个集合给自己理发的人和不给自己理发的人之一中，所以这个二分法是唯一确定的，不存在任何的疑问。

案例二：萨维尔村的唯一理发师向萨村全体村民宣布了一条规定：“我给且只给村里除我以外的任何一个不给自己理发的人理发”。在此条件下，理发师的规定实际上还是先将萨村除理发师以外的全体村民按照给自己理发的在前、不给自己理发的在后的顺序排成了一个有序集合S（注：理发师仍不属于集合S），然后理发师作为一个分界点c，站在了给自己理发和不给自己理发的两组村民之间（如图3所示），把S分割为两个不重不漏的真子集，前一个叫“给自己理发的村民集合”，后一个叫“不给自己理发的村民集合”，理发师给且只给后一个集合中的人理发。理发师的这个规定也完满地解决了萨村除他之外全体村民的理发问题。至于理发师本人的理发问题应该如何解决？在这个规定中并没有涉及，我们也不必多此一举，让他自己想办法解决好了。

此案例和前面讨论过的戴德金分割中的第二种可能的情况一也是一致的，由于作为分界点的理发师c虽然是本村人，但他已经声明他所宣布的规定已经将自己排除在外，所以也不存在集合S被分割后，应该对理发师c如何分配的问题，所以这个二分法也只有唯一的结果，不存在任何的不确定因素。

图4:理发师与萨村村民关系图

案例三：萨维尔村的唯一理发师向萨村全体村民宣布了一条规定：“我给且只给村里不给自己理发的人理发”。这个案例和前两个案例一样，理发师的规定实际上还是先将萨村全体村民按照给自己理发的在前、不给自己理发的在后的顺序排成了一个有序集合S，这时理发师由于无法确定他应该属于哪个部分，所以只好站在给自己理发和不给自己理发的两组村民之间，这样的安排实际上也恰好让理发师作为一个分界点c，站在了分界点应该站的位置上（特别强调：此时的理发师c属于集合S，如图4所示），于是，理发师c就把有序集合S中除他自己以外的所有萨村人分割成为两个部分，每个人或者属于“给自己理发的村民集合”，或者属于“不给自己理发的村民集合”，按照规定，理发师只给后一部分中的人理发，而不给前一部分中的人理发。分析到此，这个规定已经解决了除理发师以外的全体村民的理发问题了。

接下来需要处理的难题是：由于理发师的规定并没有将他自己排除在他要提供的服务对象以外，所以理发师的理发问题就要认真来考虑了。这个情况和上节讨论过的第二种可能的情况二是一致的，作为来自集合S中内部的分界点c，理发师的归属最多有4个可供选择的方案：

·选择一：c归属于前面的部分（理发师是给自己理发的人）；

·选择二：c归属于后面的部分（理发师是不给自己理发的人）；

·选择三：c既不归属于前面的部分又不归属于后面的部分（理发师既不是给自己理发的人又不是不给自己理发的人）；

·选择四：c既归属于前面的部分又归属于后面的部分（理发师既是给自己理发的人又是不给自己理发的人）。

那么，这4个选择方案，哪一个符合理发师的规定呢？按照规定，可得如下两个推理：

·推理一：假设理发师是给自己理发的人，按照理发师宣布的规定，他就不能给自己理发，于是就得出：理发师是不给自己理发的人；

·推理二：假设理发师是不给自己理发的人，按照理发师宣布的规定，他就只能给自己理发，于是就得出：理发师是给自己理发的人。根据上述推理一和推理二，我们得到的结论是：

·理发师是给自己理发的人，当且仅当，理发师是不给自己理发的人。由逻辑学推理规则可得，上述命题和下面的命题等价：

·理发师既是给自己理发的人又是不给自己理发的人。

这个推理的结果完全符合选择四。所以，理发师的规定实际上是将包括理发师在内的全体萨村村民集合S分割为有一个重叠元素c的两个真子集，这两个真子集分别是“给自己理发的村民集合”和“不给自己理发的村民集合”，这并不是相互矛盾的两个集合，而是具有相互下反对关系的两个集合，理发师自己正是这两个集合之间唯一的公共元素。理发师的这个规定，同样完满地解决了全体萨村村民的理发问题：

(1)理发师无需给那些给自己理发的人理发；

(2)理发师只给那些不给自己理发的人理发；

(3)理发师既可以给自己理发，又可以不给自己理发。

上述第3条，等价于“理发师给自己理发，当且仅当，理发师不给自己理发”，这正是逻辑悖论的统一特征“矛盾等价式”（[11]，第3页）在理发师悖论中的表现形式，这个特征恰好说明，理发师c正是将集合S分割后所得到的结果3中，两个子集之间的那一个重叠元素。

可能有人还是会对上述第3条提出质疑：如果按照亚里士多德的“三同一”，将该条内容强化为“理发师在同一瞬间既给自己理发又不给自己理发”，那么，这样的事实怎么可能在现实发生呢？

实际上如果我们真正明白了重叠元素的含义，这个问题是很好回答的：如果把推子贴在头发上运行看作是“理发”，那么推子离开头发就是“不理发”，两者的交汇点——推子恰好刚贴在头发上但还没有开始运行的那一瞬间，就是“既理发又不理发”的状态。

与理发师悖论类似，说谎者悖论（P:P假）实际上也是作为一个分界点，将所有的陈述句按照真在前假在后的顺序排列的有序集合S，分割成“真陈述句”和“假陈述句”两个子集，由于“矛盾等价式（P真，当且仅当，P假）”的存在，因此，这两个子集的关系并不是矛盾关系，而是下反对关系，它们有着唯一的一个共同元素c，这个元素c具有“既真又假”的特性，它恰好就是在这次分割中所确认的S内部的分界点——“本语句假”。

同理，对于罗素悖论、格雷林悖论、理查德悖论……等等逻辑悖论都可以进行同样的分析，由于这种类型的逻辑悖论具有一个共同的特征“k真，当且仅当，k假”，即“k真且k假”或“是且非”，因此，它们其实不是悖论，而是对一个有序集合S分割后得到的具有下反对关系的两个子集之间的那个唯一共同的元素而已，兹不赘述。

7 对国内外各类解悖方案的比较和分析

悖论问题困扰了学界两千多年，历史上曾经出现过多次悖论研究热潮，但一直得不到很好的解释。上世纪初，由于罗素悖论的发现，悖论问题又一次成为学界谈论的热门话题。首先由罗素本人提出了类型论解悖方案，随后又出现了鲍契瓦尔等人的多值逻辑方案、策梅洛和诺伊曼等人的公理化集合论方案以及以塔斯基的语言层次理论和克里普克真值间隙论等为典型代表的多套解悖方案，上世纪后半叶,又涌现出了颇具活力的语境迟钝、语境敏感及亚相容逻辑三大解悖方案。

在这些多姿多彩的解悖方案中，为了消除悖论，有的将原有的系统破坏得支离破碎；有的仅仅是为了解悖而解悖，特设性太强；还有的顾此失彼，“跳出油锅又进火坑”。总之，没有一个解悖方案能够得到所有哲学界、逻辑学界和数学界的完全认可，它们总是存在这样或那样的问题。不过，由公理化集合论方案所建立的ZFC和NBG两套公理系统，因为在集合论中有效地避免了罗素悖论和康托尔悖论，所以在技术上取得了一致公认的成功。但这两套公理系统仅仅是避免了一些悖论，并没有能够做到由于对悖论作出合理的解释，从而确保悖论得以消除；同时还把整个集合系统搞得残缺不全，违反了“尽可能使数学原样不动”的RZH解悖标准（[11]，第24页）；而且在哲学上的解释也不能令人满意。因此公理化集合论的解悖方案不能算是完全成功的解悖方案。

值得一提的是，由英国哲学家汤姆逊于上世纪60年代获得的“对角线引理”（[11]，第219页）和我国学者蒋耀星于本世纪初提出的“悖论统一模式定理”（[11]，第225页）以及我国安徽学者张金成近年来提出的“不动项定理”（[13]，第6页），从严格的逻辑技术角度论证了：如果一个元素c属于集合S会导致矛盾，那么，将这个元素c开除出集合S之外，矛盾就被消除了。人们觉得对该项技术最成功的应用，就是消除了理发师悖论，因为大家都认为将理发师开除出萨维尔村是破解理发师悖论的最好方案，而且这样做也不会使人感到为难。但是，按照同样的道理，该技术对其他具有相同结构类型悖论的应用却没有得到大家的认可。具体说来就是，没有人认为“本语句假”不是一个陈述句，也没有人认可“罗素集”不是一个集合，更没有人认为“理查德数的编号”不是一个自然数，也没有人认可“他谓的”应该被开除出形容词集合之外……，等等。因此，这个看似论证严谨的解悖方案由于局限在二值思维的框架之内，因此也是不成功的。事实上，既然学界主流观点不能认可将“本语句假”开除出陈述句集合之外，为什么要承认可以将理发师开除出萨维尔村呢？主流观点在这里采取的双重标准，是一个极不合逻辑的错误，应该得到纠正。其实该技术所采取的把S内部的分界点开除出S之外，使其成为S外部分界点的做法，与“实数系连续”的学界共识是矛盾的，实际上是一个回避矛盾、逃避问题的消极方案，它不可能真正揭示出逻辑悖论的本质，因此也不可能是一个真正合理有效的解悖方案。

不过，在这些解悖方案中，有两大系列值得关注：一是否认二值排中律之普适性的多值逻辑方案和真值间隙论方案；二是否认矛盾律之普适性的亚相容逻辑方案。（[11]，第152页）它们产生于这样的背景之下：由于悖论是通过“严密无误的逻辑推理”2按照张建军教授的定义，逻辑悖论的三个构成要素是“公认正确的背景知识”、“严密无误的逻辑推理”和“矛盾等价式”。得到的，故很难消除。这就使得有人怀疑悖论和一般的逻辑矛盾是不一样的，它的存在可能具有一定的合理性，他们似乎隐约地意识到：过去我们所谓“公认正确的背景知识”可能是有问题的，因此，应该对逻辑学中最基本的思维规律——矛盾律和排中律提出怀疑，但他们又苦于找不到确凿的证据来证实这种怀疑。不过，他们怀疑的对象仅仅是二值矛盾律或二值排中律，从根本上来说，这两大系列解悖方案的倡导者们仍然是强化型矛盾律和强化型排中律（即强化型二值原则）的忠实信徒和坚定的执行者。这是由于国外学界的主导思想是由西方文化决定的二值思维方式所导致的，一般人很难突破。

与西方学者的视角不同，我国学界由于受中国传统的辩证思维和马克思主义哲学的影响，可以从辩证的角度来看待悖论问题。在上世纪末开展的“如何区分辩证矛盾和逻辑矛盾”及“悖论应该归属于逻辑矛盾还是辩证矛盾”的大讨论中，许多学者提出了现实中确实存在着大量的“亦此亦彼”现象，实际上也是对矛盾律普适性的反思。特别是香港学者黄展骥提出的案例，几乎就是本文第五小节理论分析的一个现实版本。现将该案例转述如下：（[12]，第308–309页）

“李（在特定时刻）既在，又不在香港！”一般人都会认为这是绝对荒谬的，哪会出现于现实世界？现在，我根据辩证派的“亦此亦彼”（以后我才把它修正为“可此可彼”）来攻击形式派：李多年来都在香港。在这大段时间内，“既甲又非甲”（乙）为假。但当他要去深圳旅行，在过境时一脚踏在香港，另一脚踏在深圳，乙便为真了。过此，乙又再为假。

一般人听后恍然大悟，如梦初醒：原来矛盾事物有时可并存于世，真理稍过些便变成谬误！形式派：我们可以把“在香港”这个含混的词精确化，例如：当李的体积“过半”在香港边界内，便“在香港”；如果否，则否。

辩证派：的确，这样一来，“亦”例大为减少。但是，当李刚好一半在界内，另一半在界外时，“亦”例仍然存在呢！

形式派：我们可以在两地之间设立广阔的“缓冲区”（或“中立区”），如果有实际需要的话。

辩证派再追问：但当他刚好一半在香港，另一半在缓冲区呢？！

上述案例展示的内容实际上是在形式派和辩证派之间开展的一场激烈争辩：

辩证派：首先指出在“此”与“彼”之间有一个“亦此亦彼”悖论的事实（李既在又不在香港），对形式逻辑的矛盾律发起攻击；

形式派：用精确化的二分法将该悖论破解（当李的体积“过半”在香港边界内，便“在香港”）；

辩证派：指出二分法中的内部分界点也存在“亦此亦彼”的问题（当李刚好一半在界内，另一半在界外时，“亦”例仍然存在）；

形式派：拿出三值逻辑方案，承认“此”与“彼”之间有一个第三值区域（可以在两地之间设立广阔的“缓冲区”）；

辩证派：用强化型悖论事实再次指出在“此”或“彼”与“缓冲区”之间仍然存在二分法中的内部分界点如何分配的问题（当他刚好一半在香港，另一半在缓冲区呢？！）

形式派：……（无言以对）

学界的这些讨论，虽然仅仅局限于客观事实层面，并没有上升到抽象的逻辑和理论分析，但已经非常明确地接近了问题的实质。对此，我们有必要对“否认排中律普适性”和“否认矛盾律普适性”这两大系列的解悖方案进行综合分析，将其上升到“否认二值原则普适性”的高度，并追究出二值原则普适性的依据是二分法的普适性，而二分法的实现又必须确认一个分界点，那么，根据“逻辑必然的实质就是穷尽可能”的逻辑要求，由于内部分界点的分配问题并不能如我们所愿，只有“或真或假”两种可能，而是还有“非真非假”和“既真又假”的另外两种可能，这样就发现了一个不适用于排中律的真值间隙和一个不适用于矛盾律的真值重合，从而破坏了二分法的普适性，导致二值原则普适性的失效，于是，排中律普适性失效和矛盾律普适性失效的确凿证据就被找出来了。

8 逻辑学中的对称美

其实，排中律和矛盾律并不具有普适性，因为在上下反对关系之间，这两律只能有其中的一个成立。但由于二值思维使然，人们总是自觉不自觉地把两个反对关系排除在了相反关系之外，以为一提相反必然就是矛盾关系。因此就出现了排中律普适性失效和矛盾律普适性失效的问题。

排中律普适性失效的原因指的是在二分法中出现一个“非真非假”（非此非彼）的真值间隙。即通过二分法，一个母项有可能被分为两个子项和一个单元素集合三部分，其特征为“两集夹一元”。由于这三部分之交为空，三部分之并为母项，故这种划分法仍然符合“不重不漏”的划分规则。因此这种特殊的三分法被大量应用于各类学科，特别在数学中被称为“三岐性”，如：实数可分为正、负、零；两数关系有大于、小于、等于；两集关系有相交、相异、相等；共面两直线关系有相交、平行、重合；共面两圆关系为相交、相离、相切；圆锥曲线分为椭圆、双曲线、抛物线；……

矛盾律普适性失效的原因也是指在二分法中出现一个“又真又假”（亦此亦彼）的真值重合。即通过二分法，一个母项有可能被分为相互重叠于一个元素的两个子项，其特征是“两集叠一元”。由于这两个子项有重叠关系，所以这种划分不符合分类学的要求，所以该分法极少能被应用。但其中的“一元”恰好满足部分具有相同结构悖论的共同特征“矛盾等价式”，因此，说这类逻辑悖论产生的根源是由于在二分法中出现了一个“又真又假”的重叠元素，则是顺理成章的。

显然，“非真非假”和“又真又假”是对称的，“非真即假”是它们的对称中心；“一元重合”和“一元遗漏”是对称的，“两集夹一元”和“两集叠一元”也是对称的，“不重不漏”也是它们的对称中心。

1931年，哥德尔在一个足以展开初等数论的数学形式系统PA中构建了一个命题p（[6]，第39–40页），p的特征是：p∶p在PA中不可证。于是，就得到了哥德尔不完全性定理：如果PA是一致的，那么p和非p在PA中都不可证。于是有：命题“p在PA中不可证”和“非p在PA中不可证”这两个看似矛盾的命题都是真的，它们是相互下反对的；同理，命题“p在PA中可证”和“非p在PA中可证”这两个看似矛盾的命题都是假的，它们是相互上反对的。从这里可以看出，上反对关系和下反对关系也是具有对称结构的，矛盾关系是它们的对称中心。

事实上，矛盾律、排中律也是对称的，它们和二值原则一样，也各自都有两种不同的表述形式：表述1针对的是两个相反3本文中的“相反”包括矛盾关系、上反对关系和下反对关系。命题，表述2针对的是一个命题的两个真值。这两种表述形式在本质上是一致的。把它们都放在一起进行对照，就会显示出强烈的对称性：

·矛盾律表述1：两个相反命题不能同真，可以同假，也可以一真一假。

·排中律表述1：两个相反命题不能同假，可以同真，也可以一真一假。

·二值原则表述1：两个相反命题既不能同真，也不能同假，只可以一真一假。

·矛盾律表述2：任一命题不能又真又假，可以非真非假，也可以非真即假。

·排中律表述2：任一命题不能非真非假，可以又真又假，也可以非真即假。

·二值原则表述2：任一命题既不能非真非假，也不能又真又假，只可以非真即假。

因此有：

·矛盾律可以适用于矛盾关系和上反对关系；

·排中律可以适用于矛盾关系和下反对关系；

·二值原则只能适用于矛盾关系。

显然，矛盾律和排中律具有对称性，二值原则是它们的对称中心。

“非真非假”和“又真又假”、“两集夹一元”和“两集叠一元”、上反对关系和下反对关系、矛盾律和排中律所展示的对称性，以及二值原则中两个对称的漏洞：一个是在只符合矛盾律时出现的真值间隙，另一个是在只符合排中律时出现的真值重合，排列得是如此的美观和对等，展示的是一种美学上的对称结构，因此可以说，它们在逻辑上具有强烈的美学价值。

长期以来，学界主流观点受困于逻辑学的传统观念，认为矛盾律比排中律重要得多，认为一致性比完全性重要得多。总觉得排中律有时候可以不遵守，但矛盾律却绝对不能违反；总觉得完全性可以舍弃，一致性却绝对不能放弃。这似乎是受了哲学上一元论观念的影响。实际上在严谨的逻辑学中，矛盾律和排中律是对称关系，一致性和完全性也是对称关系，它们的地位是完全对等的，不存在这个高那个低、这个重那个轻的问题。违反简洁和美学原则的看法，总是有缺陷的。

当然，矛盾律和排中律都是不能违反的，一致性和完全性也都是我们需要的。所有的这些要求在简单的形式系统中都是可以办到的。问题的关键在于，当系统复杂化后，尤其是当数学形式系统中包含了初等数论（通俗地说就是由有限扩展为无限）的时候，一致性和完全性就是不相容的，矛盾律和排中律也是不能同时得到满足的。这时大家就容易把只能适用于其中之一的情况，误以为必须得同时适用于两者。比如说，说谎者悖论所涉及到的两个集合“真命题”和“假命题”本来是下反对关系，但是大家都误以为是矛盾关系，“又真又假”本来是一个只适用于排中律的正常的逻辑事实，而我们却误以为它违反了矛盾律，认为它是悖论。这就使得困惑人类上千年的难题总是无法得以解开，使得与此结构一致的理发师悖论、罗素集合悖论、格雷林悖论、理查德悖论……等等逻辑悖论也一直得不到很好解释的原因所在。

9 结语

过去我们曾经坚定而固执地以为，命题只能被分为不重不漏的两大类型：真命题和假命题。但经过几千年来的一个牢不可破的事实和通过数百代人绞尽脑汁的逻辑推理都确凿无疑地指证，有一个构造非常简单的命题叫“本语句假”，它却具有一个令人难以置信的特征：既是真命题又是假命题。这就是说，我们头脑中的固有观念和逻辑推理与既定事实发生了严重的冲突。那么，到底是推理与事实错了呢，还是我们的观念错了呢？从最简单的大道理上来判断，显然应该判我们的观念为错。但是到底错在哪里？经过几代人的努力，现在终于明白了：我们过去想当然地以为确凿无疑而且普遍适用的二分法，在一个极为特殊的情况下，得到的并不是一个真正的不重不漏的二分，而是有一个重叠元素的二分，我们观念中的这一个疏忽，终于被我们从一个极为隐蔽的角落里找出来了。于是，困扰了学界两千多年的说谎者悖论及其具有“矛盾等价式”特征的一部分逻辑悖论，终于有了一个合理而又彻底的解释。

人们之所以对“S既是A又是非A”这样的语句不能接受，其根源就在于根深蒂固、潜移默化的二值思维在作怪。想当然地以为二分法总是百分之百地能够实施；想当然地以为一个母项通过二分法得到的两个子项之间的界限必然是清晰而明确的，不可能具有丝毫的模糊性；想当然地认为在“真”和“不真”之间是绝对不可能出现像“非真非不真”的真值间隙或“既真又不真”的真值重合这样的第三者；想当然地认为“是A”和“非A”的关系一定是矛盾关系，而绝对没有可能会成为上反对关系或下反对关系；一句话，人们总是想当然地以为二值原则总是时时事事处处有效，是具有普适性的，因而坚决地贯彻和执行所谓的“无矛盾原理”。虽然在99%以上的情况下，这样的想法是对的。但通过我们在此展开的认真细致的对二分法具体操作步骤的逻辑分析，在某个角落里竟然发现了可能性极其微小的两个例外，这充分地说明二分法并非100%地可以实施，也说明在是和非之间并非绝对地就是矛盾关系，而有可能会出现极为罕见的一个遗漏和一个重叠。于是，就使得二分法在这种特例下无法正常实施，从而导致了二值原则普适性的失效，也因此使得具有“矛盾等价式”特征的逻辑悖论长期得不到一个合理的解释。可以说，这是几千年来在逻辑学中从来没有被注意到的一个非常隐蔽的疏忽。

情况是不是真的如此？期待学界各位专家老师以及同道和读者朋友们的确认。

如果能够得到肯定的回答，那么，就会得出如下的两个结论：

第一，逻辑悖论的产生，是因为在一种罕见的特例下，由二分法无法实施、二值原则失效的前提下所导致的。因此，如果要在严格遵守二值原则的逻辑框架下来分析悖论，企图在形式系统中给出逻辑悖论的一揽子解决方案，是不可能的。不识庐山真面目，只缘身在此山中。因此要跳出圈外来看问题（[10]，第32页），才能找出问题的症结所在。这个结论和哥德尔不完全性定理是暗合的（穷尽可能、必然性对应于完全性，二值原则、无矛盾性对应于一致性）；

第二，在哲学上，实在论和反实在论在逻辑问题上的一个争论焦点是：坚守或者放弃二值原则和排中律。（[2]，第5–6页）现在通过对二值原则普适性失效特例的发现，或许可以得出这样的结论：哲学上实在论和反实在论的争论，至少从逻辑层面上，应该可以告一段落了（实在论观点对应于二值原则有效的大多数情况，反实在论的主张则对应于二值原则失效的特例）。

[1]S.Haack,1978,Philosophy of Logics,Cambridge:Cambridge University Press.

[2]陈波，“实在论和反实在论的逻辑态度”，湘潭师范师院学报，1999年，第5期，第5–9页。

[3]陈波，悖论研究，2014年，北京：北京大学出版社。

[4]桂起权，陈自立，朱福喜，次协调逻辑与人工智能，2002年，武汉：武汉大学出版社。

[5]金岳霖学术基金会学术委员会，金岳霖学术论文选，1990年，北京：中国社会科学出版社。

[6]刘晓力，“哥德尔定理及其哲学义蕴”，现代科学的哲学争论，2003年，北京：北京大学出版社，第36–48页。

[7]莫绍揆，数理逻辑初步，1980年，上海：上海人民出版社。

[8]彭漪涟，马钦荣（主编），逻辑学大辞典，2004年，上海：上海辞书出版社。

[9]裘光明（主编），数学辞海（第一卷），1998年，山西教育出版社、中国科学技术出版社、东南大学出版社。

[10]田茂，似与不似——“三”的哲学智慧，2009年，北京：中国社会出版社。

[11]张建军，逻辑悖论研究引论，2014年，北京：人民出版社。

[12]张建军，黄展骥，矛盾与悖论新论，1998年，石家庄：河北教育出版社。

[13]张金成，超协调逻辑原理，2015年，北京：北京图书出版社。