HPM视角下儿童数学教学实践探寻

吕梅方

摘 要：数学史是数学教育最好的启发方式，将数学史运用于数学教学，通常可以采用复制式、链接式和融入式。教学中，教师可以通过创设情境再现历史，可以进行文化链接凸显历史，可以展开过程重构创造历史。通过数学史的运用，让学生与数学美丽相遇。

关键词：HPM视角；数学史；数学教学

“HPM”是1972年第二届国际数学教育（ICM）大会上成立的“数学史与数学教育关系的国际研究群”的简称，其研究重点是数学史。数学史和数学教学是相互依存、不可分割的。著名数学教育家克莱因指出，“历史是教学的指南”。基于“历史相似性原理”，数学教学就是引领儿童重蹈人类探索数学知识的关键步子。那么，数学史在数学教学中究竟有着怎样的意义？在数学教学中，我们应该以何种方式融入数学史？数学史应该以怎样的姿态融入数学教学中去？笔者在数学教学实践中展开了积极探索。

一、创设情境：在回望中再现历史

数学史以怎样的姿态走进数学教学？国内著名数学史研究专家汪晓勤教授将之分为“复制式”“链接式”和“融入式”。对于不同数学知识、不同课型来说，数学史进入数学教学的姿态也不尽相同。首先是借鉴、移植，但却不能简单照搬、复制，而应该进行简单的、符合儿童特质的包装，尤其是历史上留下的经典名题、数学故事、数学知识探索历程等。教学中，教师要善于创造情境，激发学生的情境思考，让学生像数学历史的生发过程那样去经历知识的数学化思考、数学化探究、数学化验证等活动。尤其对于关键节点，更要激发学生探究兴趣，引发学生探究动力，促进学生深度思考。

例如：教学《认识分数》，教师首先创造了“熊大和熊二分物体”的情境，四块糖平均分成2份，两块巧克力平均分成2份，一块蛋糕平均分成2份，该怎么分呢？学生体验到“分数产生于度量和均分不能得到整数结果处”。有学生立即回应，可以用“一半”表示。接着又来了吉吉国王，一块蛋糕需要平均分成3份，该怎样表示呢？学生强烈感受到必须创造一种符号。于是，学生出现了各种各样的写法，如3/1，3-1，1/3，……显然，符号蕴含着学生的数学化思考，但这种思考是素朴的、简单的。为此，教师引导学生解读这些符号的意义，无论哪一种符号，都表示将整块蛋糕平均分成3份，表示其中的1份。同时，运用多媒体课件展示分数1/3，在问题中逐步引导，继而生发出1/4、1/5等，然后认识分数线、分母和分子等。接着，教师运用多媒体展示分数在人类历史上的诞生过程。当学生知晓他们的符号创造、数学发现与分数在人类历史上诞生的历程有着惊人的相似之处时，一种喜悦之情溢于言表。学生在回望中再现历史。

数学史不仅是历史的知识，更是学生思考数学问题的厚实背景。创设情境，在回望中再现历史可以触及学生的情感，引发学生深度思考。学生能够深切地体会到数学的无处不在，经历着数学史的曼妙之旅。如此，数学不仅变得“有意义”，而且变得“有意思”。这个过程不仅是学生感受数学知识的形成过程，更是学生认识到人类数学化刻画世界的过程。这样的学习是深刻且生动的。

二、文化链接：在引入中凸显历史

数学是一种主体建构的产物，是人类的创造性活动，因而是动态的、可误的。而数学史则提供了把握数学、理解数学的独特视角。关注数学史、理解数学史，可以让学生认识到数学知识“是谁规定的”“为什么这样规定”“这样规定背后的故事是什么”等，这就是文化链接。文化链接可以凸显数学知识的历史意义，让数学的规定在学生的心目中变得温情起来。因此，数学史传递着这样的信息，即数学知识背后有着丰厚的文化背景，数学是人类的一种文化。

例如：教学《年、月、日》（苏教版小学数学教材第6册），笔者通过课前调查发现，学生已经知晓了“年、月、日”的相关知识，如哪些月份是大月，哪些月份是小月，二月份只有28天或29天等。他们的疑问是：日历为什么“规定”1、3、5、7和8、10、12等月份为大月，其他月份为小月？为什么大月在前面是单数月，在后面是双数月？为什么7月、8月成为大月月份奇偶性的分水岭？为什么独独“规定”2月份平年为28天，闰年为29天？显然，这些问题是历史追问、文化追问。教学中，在解决“年、月、日”相关规定性知识后，笔者运用多媒体课件从地球公转周期365天5时48分46秒入手，让学生理解为什么“四年一润、百年不闰、四百年又闰”。随后从历史文化视角向孩子们展示了一段历史故事——“儒略月”。原来这样的规定发生在古罗马，与两位帝王有关。公元前46年，罗马统帅儒略·恺撒指定历法。因为儒略·恺撒出生在7月，为了弘扬他伟大的功绩，恺撒大帝决定将7月改为“儒略月”，连同所有单月都规定为31天。如此，一年有了6个大月和6个小月，成了366天。由于2月是古罗马处死犯人的月份，因此决定从2月份拿走一天，这样2月份变成了29天。后来恺撒继承人奥古斯都生在8月，他也仿照恺撒的做法，将8月定为“奥古斯都月”，并将10、12两个月改为31天。这样，大月的月数变成了7个，于是又从2月份拿走1天，这样2月份就变成了28天。有了这样的数学文化故事，数学的规定性知识变得温情起来。数学不再是“冰冷的美丽”，而是充满了“诱人的魅力”。

通过文化链接凸显历史，不应该牵强附会，而应该基于学生的理解必要。领略“数学规定”背后的风景，是数学教学的应有之义。数学故事、数学轶事、数学趣闻的引入，让枯燥的数学知识变得温情脉脉，让数学知识多了一份厚重感。因此，数学教学不妨让“数学史”在课堂中多飞一会儿，多停留一会儿，让学生细细品味、领略。

三、过程重构：在创造中重蹈历史

数学史介入数学教学除了上述的再现式、链接式，还有融入式。融入式的数学史教学方式可谓“不着一字，尽得风流”。在历史融入式教学中，学生悄无声息地经历着人类探索知识的历程。其主要方式是让学生经历“过程重构”，在知识创造中重蹈历史。中国科学院李文林先生提出，“数学史除了为历史、为数学而历史之外，还应该为教育而历史”。历史融入式教学借助人类知识探究历程，具体考量的是：学生在数学知识“再创造”过程中会遭遇哪些困惑？会走哪些弯路？学生数学学习的过程是人类探索数学知识的“微型缩影”。为此，教师要始终保持着敏锐的“怎样促进儿童数学学习”的触角，研读数学史，捕捉其间隐藏着的丰富的教育基因，探寻学生学习数学知识的认知规律，预见、解释学生的学习困难，按照数学知识的生发顺序设计教学，减少学生学习焦虑等。

江苏省江阴市特级教师强震球曾经执教两节异曲同工的经典课——《认识厘米》和《角的度量》，都是从数学工具的诞生史切入，给人耳目一新之感。学生对于这样的操作技能型知识不再感到枯燥、陌生，而是生发出很多的“亲和感”。从“单位厘米”到“厘米尺”的构建，从“单位小角”到“量角器”的构建，它们的本质都是看测量对象里有多少个标准单位。于是，强老师的教学顺应数学工具的产生过程，行云流水、自然生成。如在执教《角的度量》过程中，强老师首先和学生一起复习“用厘米尺测量物体”，这是学生已有的知识经验，可以被激活、唤醒。由此学生自然展开“角的度量”学习，形成了三个本质性问题：①怎样创造量角仪器？——将单位小角连接起来。②怎样测量？——既可以从0刻度开始测量，也可以从其他刻度开始测量。③为什么不同的测量法都可以度量出角度？——都是看“比较角度”里面有多少个“标准角度”。由于学生通过比较、迁移，经历了“量角器”的诞生过程，因此很快掌握了量角要领。

再如：教学苏教版五年级上册的《用字母表示数》，教学中教师必须研读数学历史，认识人类代数知识的发展过程，处理好学生对“用字母表示数”的认识。在代数发展史上，人类经历了“文辞代数”“缩写代数”和“符号代数”三个阶段，人类最初的代数就是解方程，是用自然语言记录的，看一个方程的解法如同看一篇小论文。后来，古希腊丢番图用具体数量发音音节的首字母去表示未知数，未知數意义不同，字母就不同，方程解法各不相同。16世纪，法国数学家韦达开始用元音字母表示已知数，用辅音字母表示未知数，形成初等代数的雏形。洞悉了这样的过程，“用字母表示数”要学习什么，就非常清楚了，即“用字母表示数不是简单地用字母替代数，而是将特定的量和变化的量、已知的量和未知的量表示出来”“字母既可以表示特定的未知数，也可以表示变化的未知数；既可以表示未知数，又可以表示已知数”等。教学中，教师要洞悉学生的想法处于哪个认知阶段，助推学生的数学学习。

基于“HPM”视角，将数学史运用于数学教学的方式还有很多。教学中，教师要不断地设计、实践、反思，不断地总结、改进，将数学史真正落实到数学教学中去。通过数学史的运用，学生能够与数学美丽相遇，能够感受、体验到数学的“知识之谐”“方法之美”“情感之悦”。为此，我们需要关注HPM、走进HPM、研究HPM、实践HPM。