小学数学教材中作图内容的对比与沟通

邵文敏 邵亚飞

摘要：作图是“图形与几何”学习的重要组成部分，小学阶段的作图是与图形的认识相结合的。笔者试图追“根”溯“源”，采用对比与沟通的思路，整体把握小学数学教材中的作图内容，为分阶段的作图教学实践做指导。

关键词： 作图体系；分析；反思

利用直尺、三角尺、量角器和圆规等工具进行几何作图，是小学数学图形与几何学习领域的一个重要的学习板块，并贯穿于整个图形与几何学习领域。如何才能更好地指导学生进行作图学习？笔者基于教材从作图工具、作图知识到作图学习特点等方面进行反思，寻找学生作图知识结构与作图方法之间的联系，让学生作图不仅仅停留在简单的操作中，而是具有整体的认识。

一、作图工具对比与沟通

刻度尺，充分体现了“平直”的特点，为学生画指定长度的线段提供帮助。三角板，在此基础上，又增加了角。学生既可以用三角板来度量长度，又可以利用三角板来画特殊度数的角，尤其是直角。量角器是可以画出任意度数的角。

而这几种工具的产生与使用，其实经历了一个“单位”创造与确定的过程。测量就是用“单位”量，例如测量长度的本质，就是确定一段长度里包含了多少个长度单位，所以测量长度必须要有长度单位。长度单位是人类经过曲折的探索过程才建构起来的。人们先是使用日常的单位。如右图所示，人们使用身体上的一部分作为长度单位进行测量。由于测量单位不统一，导致测得的结果不一致。在实际生活中人们感到非常不便，因而统一长度单位就十分必要，由此刻度尺才作为统一测量长度的工具产生。尺子上的“厘米”、“毫米”、“分米”、“米”就是人们统一规定的长度单位。观察左图，我们也可以看到，量角器度量角的大小也正是应用统一角度单位这一原理制作而成。

可见，工具的产生正是因为人们认识到统一单位的必要性，教师在教学时应该让学生亲身经历类似的创造、统一单位的过程，从而帮助学生深入体会作图工具产生与使用的重要意义。具体来看，这几种测量工具具有以下几方面的共同点：

1.都有刻度。不管是刻度尺还是量角器上都均匀地分布着许多刻度线，这些刻度

线就是用来衡量物体长度或角度的。

2.都有0刻度线。刻度尺画线段要从0刻度线开始画起，量角器进行画角也要将

所画的一条射线对齐0刻度线，这是因为0刻度线代表起点。

3.都要确立一个刻度的标准。我们可以发现其实刻度尺上刻度的分布十分讲究，

毫米、厘米、分米、米，这些单位按照计数单位的十进制原则规定，沟通了数学知识间的联系，体现着人们统一单位长度标准的智慧。

4.都要“点对点”“边对边”。学生只有找到对应点和对应边并对齐，这样才能把图画标准和规范，不致于出现盲目或凭感觉作图的现象。

教师在教学生学习刻度尺、三角板与量角器的基本结构与作图方法时，可以进行“求同”对比设计，引导学生将不同的作图工具的相关知识进行必要的沟通，让学生对作图工具的学习不仅只停留于直观感知和简单操作，而是对相关的作图工具的作图方法与内在结构有了整体的认识。

二、作图内容的对比与沟通

有效地组织学生作图学习的前提是深刻地理解作图内容的知识结构和内在联系。作图的教学绝非简单照搬教参上的教学建议，而是要置于对知识体系连贯一致的认识中加以把握，顾及学生已经学过什么、将要学什么、前后知识间有哪些联系等问题。

1. 画直角、画垂线与画高步步为营

在二年级学习角的初步认识时，学生用三角板来画直角，这其实就是“垂直”概念学习的起点。两条相交的直线是否垂直，学生可以用手上的三角板上的直角进行验证。

通过对比发现，用三角尺画垂线与画直角在方法上有许多相同之处。

（1）先是让三角尺的一条直角边与已知的线段进行重合。

（2）接着，让三角尺沿着线段移动，使三角尺的直角顶点和线段上的一个端点重合。

（3）从直角的顶点起沿三角尺的另一条直角边画一条直线。

（4）在垂足处标出垂直符号。

学生用三角板画直角仅仅是对直角的初步感知，但是学生在画垂线学习的过程中，却有个关键的知识，就是理解“点到直线的距离”：从直线外一点到这条直线所画的线段中垂线段最短，这是后续学生学习图形中作高的知识基础。

如上图所示，人教版小学数学教材中教学此三类图形中作高。作高其实就是作垂线段，所以方法上与画垂线的步骤是一样的，只是学生认识并会正确画出相应平面图形的“高”。

因此，学生对“高”的表象积累特别重要，例如让学生画平行线之间的垂线段，再通过度量后发现画出的所有垂线段的长度都是相等的，这是认识高的起点。教师重视提供“非标准图形”有利于帮助学生形成对高的充分认识。

2.画垂线为画对称做好孕伏

如图所示，画对称图形的本质就是找到相应点的对应点，而对称轴两侧的对应点到对称轴的垂线段长度相等，表现在格子图上就是格子数量相同。从图中，我们可以发现，对称轴与对应点之间的连线互相垂直，对称轴两侧的对应点到对称轴距离相等。所以说，学生“画垂线”知识的习得为四年级下册学习作对称图形设好了铺垫。

3.画角与画旋转彼此相辅相成

畫角其实是一条射线绕其端点旋转一定角度而形成的图形。如图所示：画一个60度的角，就是把线段OA绕着O点旋转60度所形成的图形。

而平面图形旋转的过程中又体现着画角的过程。例如，把三角形OAB绕点O顺时针旋转90度，其实就是把线段OA和线段OB分别绕着O点顺时针旋转90度，得到对应位置的新线段，然后再连接即可。由此可见，这两种作图本质上是互通的。

三、学生作图学习特点探索

建构主义指出，“学习”不仅仅是简单的信息积累的过程，而是新旧知识与经验的相互作用，及由此而产生的认知结构的重新组合，而小学生总是以特定的方式建构新知的。为此，我们对学生作图学习特点进行了分析。

1.学生先进行识图再作图

通过梳理，我们发现，学生有关图形知识的学习具体可以分为识图和作图，识圖是头脑中的操作，而作图是行为中的操作，教材在编排上采用先让学生识图再让学生作图的方式进行。

如右图所示：学生先是认识和理解“互相垂直”和“垂线”概念，然后要会画垂线。在实践过程中我们也观察到，当已知直线不是水平放置时，学生的画图工具往往在本子上无所适从，这是因为他们对“相互垂直”的概念往往习惯于“竖着”理解，因而教师在设计作图学习任务时不仅要提供标准范式，还要变换材料的非本质属性，提供充分的变式让学生感知、比较。

从教材的编排中可以发现，作图技能对概念的形成有着不可低估的作用，学生通过画直观图的过程感悟各概念的特征，即学生通过“认识图形、画图形”达到“以图识性”的目的。

2.学生工具操作上逐步复杂化

低年级学生的作图工具比较简单，就是直尺和三角板，作图的内容也直观易操作，线段，角都处于初步感知阶段，只需利用“平”或“直”两方面就可以完成了。而从四年级开始，量角器和三角板成为教学中重要的作图工具，学生作图工具操作比较复杂。

如右图，量角器它复杂的构造，就让一些学生困难重重，不管是量角器的摆放上，还是利用内外圈正确读出角的度数，都需要学生按照思维的连续性去整体把握。学生在用量角器时，不论角的一边对的是哪一圈的“0”刻度线，他们往往习惯看的是外圈的度数，即使学生外圈内圈看对了，但是在读刻度的时候，有时会把四十几读成五十几，从哪边读过来在学生的头脑中容易出现错误。

再比如图形里画高，随着边位置的变化，学生要找到三角尺摆放的相应位置才能准确作图，这都需要学生兼顾整体，找准目标，无疑是对学生的作图学习的挑战。

3.学生从直观感知到直观操作

我们发现，第一学段学生的作图学习，只是直观感知图形的特征，例如通过借助刻度以及方格中的“平”“直”等直观概念画一些常见的简单图形：线段，角，长方形，正方形等。第二学段学生的作图学习有了理论的提升，学生作图时需要理解作图的原理，例如直线、射线、角、平行、垂直、平行四边形、梯形、三角形、底、高、腰等概念教学的高密度集中呈现，学生的作图学习有了理论的提升，就处于直观形象的操作阶段，画图时需要理解画图的原理。

如右图所示，在人教版小学数学三年级上册教材中，学生认识长方形和正方形后，只要求学生根据对长方形和正方形特征的直观认识，在方格纸和点子图上“描画”。但到了四年级学习了平行和垂直后，要求学生用直尺和三角尺来画。由此可见，学生对一些作图知识的理解和掌握需要有逐步深化、提高的过程。

总之，让学生学会作图，使之成为翘起数学学习一个重要的支点，不是一朝一夕能够解决的问题，利用几节课或者专门训练学生作图是不可取的，而且也肯定是不行的。因此，我们在平常的教学中要尽量多的“渗透”作图指导，细水长流，久而久之，学生就能逐步掌握。

参考文献：

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[2] 任敏龙.基于原型的“发生式学习”——以教学“角的初步认识”为例[J]小学数学教师，2011.11

[3] 李玲玲.关于学生“画高”困难的分析与思考[J].小学数学教师， 2012.04