基于Hankel矩阵SVD算法的去噪研究

崔少华，　单　巍，　方振国

(淮北师范大学 物理与电子信息学院， 安徽 淮北 235000)

0　引　言

地震资料由于地质原理造成采集到的数据资料中含有大量的随机噪声和干扰，因此对采集数据进行处理之前必须进行去噪处理。奇异值分解(Singular Value Decomposition ,SVD)正是一种有效对地震资料去噪的滤波算法，但是在实际应用中，SVD算法对于相关性强的水平同相轴去噪效果最佳，对于相关性减弱的倾斜同相轴去噪效果不明显[1]。而基于Hankel矩阵的SVD算法利用Hankel矩阵的特性，将数据逐道排列为Hankel矩阵，对排列好的矩阵进行SVD分解去噪，这种算法可以增强倾斜同相轴的自相关性，从而改善SVD对于倾斜同相轴的去噪效果[2]。本文采用实际模型对SVD滤波算法和Hankel矩阵滤波算法进行验证并对比。实验结果表明，Hankel矩阵滤波算法可以明显增强含有大倾角的混合数据的去噪效果，但同时也会相对减弱水平同相轴的去噪效果。

1　算法原理

1.1　SVD算法

SVD算法利用矩阵变换，将m×n维的观测数据矩阵X分解为[3]：

(1)

若U=[u1,u2,…,um]，V=[v1,v2,…,vn]，则式(1)可写为：

(2)

1.2　Hankel矩阵变换

将一维含噪信号x=[x1,x2,…,xm]变换为如下矩阵的形式[6]：

(3)

则H就是一个Hankel矩阵，该矩阵每条反对角线上的元素均相同，且将第一行与最后一列上的元素连接起来，就构成原始一维信号x。对矩阵H进行扩展：

(4)

令xi=si+ni(i=1,2,…,m)，其中si为有效信号，ni为随机噪声，则H可重写为[10]：

(5)

式(5)将矩阵H表示为有效信号和噪声信号之和，由于信号自身存在自相关性，所以有效信号矩阵各道之间存在相关性，而理想随机噪声是统计独立的，所以噪声矩阵各道之间不存在相关性[11]。对矩阵H进行SVD[12]：

(6)

2　去噪模型

构造一个含有3条同相轴的二维地震记录，其中2条是水平同相轴，另外1条是倾斜同相轴，地震子波采用50 Hz的Ricker函数，时域每道500个点共200道，采样间隔为1 ms，如图1所示。图2和图3为SVD滤波算法的去噪结果，其中重构本征图像个数p=50；图4和图5为基于Hankel矩阵的去噪算法的结果。

图1　原始数据

图2　SVD去噪结果

图3　SVD去除噪声

从图3可知，对于含有大倾角同相轴的地震记录，多道SVD滤波算法的效果下降，倾斜同相轴的保真性和去噪的性能之间形成了不可调和的矛盾[15]。为了保证去噪的效果必须丢掉更多的本征图像，这时就不可避免地会对倾斜同相轴造成损伤。在图3中可以很明显地看到去除噪声中含有倾斜同相轴的能量；若为了保真倾斜同相轴重构时留下较多的本征图像，那么就达不到去噪的目的。这是时域SVD去噪算法的一个通病。

图4　基于Hankel矩阵的算法结果

图5　Hankel矩阵去除噪声

由图4可知，基于Hankel矩阵的滤波算法较好地重构了大倾角的同相轴，同时也去掉了很多的随机噪声。但由图5可知，去除噪声中依然残留有部分倾斜同相轴的能量，因为基于Hankel矩阵的滤波算法对数据相关性的提高是有限的，并不能将倾斜同相轴的相关性提高到和水平同相轴相同的高度。假如将倾斜同相轴数据完全平移成为水平的，那么同时会导致式(5)中矩阵H的各道噪声也完全相同，矩阵的秩变为1，就无法进行去噪了。由图5还可知，去除噪声中含有少部分水平同相轴的能量，说明基于Hankel矩阵的滤波算法对水平同相轴造成了一定的伤害。

3　结　语

基于Hankel矩阵的SVD算法对于倾斜同相轴的去噪效果明显优于传统SVD算法，但在含有水平同相轴和倾斜同相轴的地震资料中，Hankel矩阵改善倾斜同相轴去噪效果时，由于对水平同相轴也进行了平移处理，所以一定程度上降低了水平同相轴的处理效果，因此基于Hankel矩阵的算法并没有从根本上解决倾斜同相轴的去噪问题。

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