基于贝叶斯理论的随机风荷载作用下悬索桥颤振可靠性分析

楼灿洪,董峰辉

1.长安大学公路学院桥梁工程系,陕西 西安 710064 2.同济大学土木工程学院桥梁工程系,上海 200092

悬索桥由于承重构件-主缆主要依靠重力刚度来承担荷载，表现出非常明显的大位移非线性性质，桥梁体系柔度显著增加，导致风致颤振对悬索桥的体系稳定性产生极大威胁。目前普遍的评价方法如下：通过有限元数值分析或风洞试验的手段得到体系的颤振临界风速，用该颤振临界风速与检验风速作比得到安全系数。根据相关规范及工程经验，确定一个安全系数的容许范围，设计人员检查上述得到的安全系数是否处在容许范围内。然而，容许范围的确定和基于此评价得到的大跨度悬索桥颤振稳定性缺乏足够的理论和数据依据作为支撑，因此得到的安全度不够客观，难以真正保证悬索桥的结构安全。不仅如此，上述方法是基于确定性模型进行的，无法考虑结构和荷载的随机性，也造成了评价结果的失真。

将结构可靠度理论引入大跨度悬索桥颤振安全性评价，能够考虑结构参数和荷载参数的不确定因素影响。葛耀君[1]、周峥[2]等在评价桥梁颤振可靠性的过程中采用确定性方法确定颤振临界风速和风速，因此没有完全摆脱传统方法的不足，导致了过于保守的颤振评价结果[3]。程进[4]、Thomas Canor[5]、Ibuki Kusano[6,7]、Aitor Baldomir[8]等学者进行了大跨度悬索桥的颤振临界风速概率分析，但没有进一步进行结构的可靠性和失效概率的计算。

由上述分析可知，随机风荷载在结构颤振可靠性评估过程中的作用不容忽视。以矩法、概率权矩法和极大似然估计法为主的传统风速预测方法均依赖于风速样本的大小，在样本量小（≤50）的情况下，其精度受到限制。本文提出基于Bayes统计理论的极值风速预测方法，以期改进现有极值风速预测方法的不足之处。随后，基于这种改进的极值风速预测方法，得到更加精确的颤振检验风速，从而进行大跨度悬索桥颤振可靠性分析。

1 极值-I型分布

一般采用极值-I型概率函数来刻画桥址处设计风速的概率模型，其概率密度函数和累计分布函数如下：

式中：μ：位置参数；σ：尺度参数。

通过对（2）式两边取对数，得到重现期为T（保证率为1- ）的风速预测值为：

2 Bayes理论

采用Bayes理论将μ和σ作为随机变量来估计μ和σ的联合概率密度函数π(μ,σ)，下面采用Jeffrey’s无信息先验分布[9]来对进行估计。具体步骤如下：

（3）(μ,σ)的无信息先验密度函数为：

为了基于π(μ,σ)推导的解析表达式，下面采用Lindley近似方法。

3 Lindley近似

需要注意的是，I为在给定先验分布v(θ)的情况下u()θ的后验期望。

4 极值-I型风速的预测模型

从上述Bayes估计理论,可得考虑百年一遇极值-I型风速预测模型如下：

由（17）式可见，基于Bayes理论的极值-I型风速预测值，等于用一个修正项来补充最大似然估计得到的极值-I型风速预测值。因此，从理论上来说，基于Bayes理论比基于最大似然估计进行极值-I型风速预测更精确，与实际情况更符合。风速的实际分布概型复杂而未知，目前抗风规范规定风速服从极值-I型分布，因此本文仅针对极值-I型风速分布进行极值风速预测。实际上，在具体工程实际问题分析时，只要事先假定好极值风速分布概型，Bayes极值风速预测方法同样适用。

5 算例验证

本研究考虑重现期为100年，分别基于Bayes理论和最大似然估计法求得极值-I型风速预测值，并采用Monte Carlo法数值仿真来进行比较。数值仿真算例基本情况如下：

（1）假定随机变量位置参数µ和随机变量尺度参数σ相互独立，模拟100个位置参数µ，模拟均来自于N（15,4）。

（2）假设尺度参数σ服从均匀分布，令尺度参数σ为2。

（3）前述步骤已经得到100对位置参数μ和尺度参数σ，使用这些参数，从极值-I型概率分布函数中生成200个伪风速母样。

（4）为便于分析比较，求出基于Bayes理论和最大似然估计法预测极值-I型风速的误差。

表1示出了Monte Carlo法数值仿真模拟的结果。表1中，Bμ表示采用先验样本计算位置参数的Bayes估计值，表示位置参数的最大似然估计值，表示尺度参数的最大似然估计值。表示伪风速母样理论值，表示最大似然估计极值-I型风速预测值，表示Bayes估计极值-I型风速预测值，表示采用最大似然估计得到的极值-I型风速预测值的误差，表示采用Bayes估计得到的极值-I型风速预测值的误差。

表1 结果比较Table 1 Comparison of results

从表1可知，采用Bayes估计得到的极值-I型风速预测值比最大似然估计方法更接近理论值。

6 工程应用

基于周峥和葛耀君[2]建立的悬索桥颤振可靠度模型，引入本文提出的基于Bayes理论的极值风速预测方法取代传统方法得到颤振临界风速，进行6座悬索桥的颤振可靠性评价。

6.1 极限状态方程

式中：Uf：颤振临界风速；Cw：由缩尺模型到实桥的转换系数；Ub：桥面高度的年最大风速值；Gs：阵风因子。

6.2 随机变量概率分布

我国大部分气象站资料的统计分析表明，Ub的最优分布为极值I型分布，百年一遇的极值风速均值由前文所述的Bayes方法确定，变异系数为0.2[2]；Gs服从正态分布[2]；Cw服从正态分布[2]；颤振临界风速Uf服从对数正态分布，均值采用Van der Put近似公式[10]计算，变异系数为0.075[10]。悬索桥颤振可靠度分析中的随机变量统计特性见表2。

表2 随机变量统计特性Table 2 Statistics of random variables

6.3 颤振可靠性分析

本文采用基于MATLAB平台的FERUM软件编制了一次二阶矩法中JC法的颤振可靠度计算程序。按照上文列出的四个基本随机变量及其概率模型统计参数，建立大跨度悬索桥颤振可靠度模型，计算其颤振可靠性。迭代程序计算了各实例的颤振稳定可靠指标性β，详见表3。表中同时列出文献2的计算结果用于对比。

表3 颤振可靠性评价结果Table 3Assessment results of flutter reliability

表3结果表明：在进行悬索桥颤振可靠性评价时，比起最大似然估计的结果，采用本文基于Bayes理论的方法计算得到的柳州红光大桥、润扬长江大桥、西堠门大桥的颤振稳定可靠性指标都小于文献2方法的结果，而广东虎门大桥、宜昌长江大桥、江阴长江大桥的的颤振稳定可靠性指标都大于文献2方法的结果。

由于采用最大似然估计法进行极值-I型风速预测本身存在无法回避的固有缺陷，采用贝叶斯理论进行极值-型风速预测能够弥补和改进最大似然估计法的不足之处，所以，采用贝叶斯理论进行极值-型风速预测更符合工程实际情况。颤振可靠性分析计算基于对风速的预测，因此最大似然估计法（MLE）会过高或过低估计大跨度悬索桥的颤振稳定安全性，采用贝叶斯理论对悬索桥的颤振性能进行可靠度评价，精度更高，且能满足工程应用需求。

7 结论

本文基于Bayes理论提出极值风速预测方法，进而基于此极值风速预测值建立大跨度悬索桥颤振可靠性分析模型。受到极值风速预测的影响，传统方法用于大跨度悬索桥颤振稳定可靠性评价，会过高或过低地估计颤振的安全性；而基于Bayes理论，可以更加客观、准确地计算悬索桥颤振可靠性。本文提出的方法可以进一步提高大跨度悬索桥颤振可靠性分析的精度，为大跨度悬索桥工程建设服务，具有良好的工程实用意义。

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[3]中交公路规划设计院.公路桥梁抗风设计规范(JTG/T D60-1-2004)[S].北京：人民交通出版社,2004

[4]程 进,肖汝诚.大跨度斜拉桥颤振可靠度分析的改进响应面法[J].土木工程学报,2006,39(7)：70-74

[5]Canor T,Caracoglia L,Denoël V.Application of Random Eigenvalue Analysis to Assess Bridge Flutter Probability[J]. Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics,2015,140(2)：79-86

[6]Kusano I,Baldomir A,Jurado JÁ,etal.Probabilistic Optimization of the Main Cable and Bridge Deck of Long-span Cable-stayed Bridgesunder Flutter Constraint[J].Journalof Wind Engineeringand Industrial Aerodynamics,2015,146：59-70

[7]Kusano I,Baldomir A,Jurado JÁ,etal.Reliability Based Design Optimization of Long-span Bridges Considering Flutter[J].Cambridge UK：European and African Congress in Wind Engineering,2013

[8]Baldomir A,Kusano I,Hernández S,etal.A Reliability Study for the Messina Bridge with Respect to Flutter Phenomen Considering Uncertaintiesin Experimentaland Numerical Data[J].Computers&Structures,2013,128(7)：91-100

[9]Ali S.On the Bayesian Estimation of the Weighted Lindley Distribution[J].Journal of Statistical Computation and Simulation,2015,85(5)：855-880

[10]葛耀君,项海帆,Tanaka H.随机风荷载作用下的桥梁颤振可靠性分析[J].土木工程学报,2003,36(6)：42-48