一种简单有效的TDOA-FDOA-AOA目标定位闭式解

邓　兵， 孙正波， 杨　乐

(1. 盲信号处理重点实验室，四川 成都 610041;2. 江南大学物联网工程学院，江苏 无锡 214122)

作为一个经典问题，无源定位技术在雷达、通信、导航和无线网络等领域存在着广泛的应用[1-5]．一般常见的定位方法是利用诸如到达时间差(Time Difference Of Arrival，TDOA)[1]、到达角度(Angle Of Arrival，AOA)[2]等测量参数或者它们的组合来实现目标定位．如果观测站与目标之间存在相对运动，则到达频率差(Frequency Difference Of Arrival，FDOA)[3]也可以被加以利用．截止目前，对TDOA、FDOA、AOA单一或者两两组合定位体制的研究已有较多成果[4-8]，但针对三者联合的定位体制研究较少．此外，由于测量参数与目标位置、速度之间的高度非线性，使得目标状态求解成为一个必须面对的难题．

解决这一问题典型的方法包括泰勒级数(Talyor-series)迭代求解算法[9]、两步加权最小二乘(Two Step Weighted Least Square，TSWLS)算法[10]等．泰勒级数算法需要较为精确的初始位置信息来进行迭代求解，否则容易发散[1，9]．两步加权最小二乘算法通过引入中间变量构造伪线性方程来求解目标状态，但该方法在第二级加权最小二乘估计求解时涉及到开方运算，容易产生模糊的定位结果，并且有可能出现虚数解[1]．并且这些方法[9-10]都忽略了方程线性化后的二阶误差项，这将导致在求解目标的位置和速度时出现不可预知的估计误差．如果能够有直接简单的闭式解，将能够大大提升目标定位的精度．文献[11]在TDOA/AOA定位体制下，提出了一种测量转换思路，通过将目标状态与测量方程进行变换，使之满足线性关系，进而利用加权最小二乘算法求得目标状态．

因此，文中主要考虑TDOA/FDOA/AOA混合定位体制自身特点，利用文献[11]量测转换思路，提出一种TDOA/FDOA/AOA定位闭式求解算法．首先给出典型定位模型，接着提出一种代数闭式解．然后通过与定位克拉美罗界(Cramer-Rao Low Bound，CRLB)的对比，分析所提算法的性能，证明了算法的统计有效性．最后通过计算机仿真验证了文中算法在不同的参数测量误差条件下的定位效果．

图1　TDOA/FDOA/AOA联合定位示意图

1　定位模型

(1)

进一步，根据几何关系可以得到，第i个传感器测得的方位角θi及俯仰角φi真实值可以表示为

(2)

其中，θi和φi分别表示带有测量误差Δθi和Δφi的方位角和俯仰角测量值．

2　定位算法

(3)

(4)

利用式(3)和式(4)，可以得到距离差等价测量方程为

(5)

(6)

(7)

(8)

考虑测量误差，联合式(5)、式(6)和式(8)可以得到变换后的定位方程，即

h=Gα+Tε,

(9)

(10)

且式中0(m-1)×(m-1)和02m×(m-1)分别表示一个(m-1)维和2m×(m-1)维零矩阵．Im-1代表 (m-1)× (m-1) 维单位矩阵．由于误差符合高斯分布，则式(9)中Tε的协方差矩阵为

W=TQTT．

(11)

进一步，式(9)为关于α的线性方程，则可以通过加权最小二乘法得到α的估计及其协方差，即

实际当中，首先将W设为单位矩阵以获得目标状态初始解，再利用初始结果求得较为精确的W值，进而求得目标更为精确的状态估计，重复以上步骤直至收敛．仿真表明，1～2次迭代即可得到收敛估计值．

3　性能分析

(14)

进一步，根据图1几何约束关系，有

li=ricosφi，i=1，…，m．

(15)

(16)

(17)

重新定义i=2，…，m，且有

(18)

同理，对距离变化率方程进行变换得到

(20)

则根据式(15)～式(20)可以推出

T-1G=∂m/∂α．

(21)

将式(21)带入式(13)，并同式(14)比较，可以得到

(22)

该式说明所提闭式求解算法可以在误差较小时达到克拉美罗界，是一种无偏最优估计．

4　仿真分析

表1　传感器位置与速度矢量

注：i为接收机编号．

图2 目标定位误差随σr变化情况图3 目标定位误差随σf变化情况

图4 目标定位误差随σAOA变化情况

图2仿真分析了泰勒级数展开算法与文中所提闭式求解算法随σr变化的定位结果，仿真过程中，σf= 0.1 m，σAOA= 0.5°．图3仿真说明了两种算法随σf变化的定位结果，其中，σr= 0.1 m，σAOA= 0.5°．图4则主要分析在σAOA变化下的定位情况，σr=σf= 0.1 m．从仿真结果可以看出，文中所提算法在误差较小时能够达到CRLB理论下限，并且随着测量误差的增加，如σAOA超过2.5°，闭式解算法比泰勒级数迭代算法拥有更好的定位精度，而后者此时由于初始迭代值误差，已经出现门限效应．此外，从仿真结果可以看出，文中所提算法对频差、测向量测信息具有较好的抗误差特性．相比于泰勒级数完全忽略二阶及二阶以上误差项来线性化求解，文中所提算法性能提升的原因来自于仅忽略二阶误差项．

5　结　　论

针对实际当中TDOA-FDOA-AOA联合定位问题，利用几何关系，通过将非线性测量方程转换为与目标状态成线性的定位方程，然后利用加权最小二乘算法估计出目标状态．性能分析表明，所提算法在误差较小时能够达到CRLB理论下限．仿真结果说明，同泰勒级数迭代算法相比，所提算法具有较好的定位性能．文中闭式求解算法可以进一步推广到其他定位体制中去，如TDOA-AOA、FDOA-AOA定位场景，且能适应目标或观测站运动或静止的情况，只需要在表达式上做相应的细微调整即可．

参考文献：

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