采用压缩感知的贝叶斯信道估计算法

吕治国， 李　颖

(1. 西安电子科技大学 综合业务网理论及关键技术国家重点实验室，陕西 西安 710071;2. 洛阳理工学院 计算机与信息工程学院，河南 洛阳 471003)

高阶多输入多输出(Multiple-Input Multiple-Output， MIMO)系统[1]在发射端和接收端配置大量的天线，可有效提高能量效率，改善数据传输的可靠性．为了恢复信道中传输的数据信号，接收端必须估计信道状态信息(Channel State Information，CSI)．如果发射端需要进行预编码，则接收端还需要把估计的CSI反馈给发射端．通常情况下，发射端发射导频信号，接收端根据收到的导频信号估计信道．为了区分不同发射天线的导频信号，不同发射天线的导频序列需要两两正交，因此，导频序列的长度不能小于发射天线的数目．由于高阶MIMO系统天线数量巨大，在信道相干时间有限的条件下，无法提供足够数量的正交导频序列．因此，如何用较短的非正交导频序列估计高阶MIMO信道则成为一个热点问题．传统的信道模型认为信道衰减系数都是服从独立高斯分布的随机变量，但在很多情况下无线信道都表现出稀疏特性[2-3]，即信道的很多元素数值非常小，可以近似为零．近年来，一些研究者引入压缩感知技术[4-6]，利用信道稀疏特性完成基于非正交短导频序列的信道估计．

文献[7-8]采用基于压缩感知的匹配追踪(Matching Pursuit，MP)算法和正交匹配追踪(Orthogonal Matching Pursuit，OMP)算法来估计稀疏信道，降低了导频序列长度．文献[9]提出另一种基于压缩感知的信道估计算法，利用信道在角度域上的稀疏特性，通过选择合适的预编码和合并矢量估计特定到达角和出发角上的信道信息．文献[10]把一位模数转换器输出的数据反馈给发射端，发射端根据这些反馈数据估计信道并设计预编码和合并矢量．上述算法有一个共同的缺点，若在估计过程中选择了错误的原子(测量矩阵列向量)，则后续的估计过程就无法纠正这个错误．文献[11]引入了一种回溯机制，使已经入选的原子在后续的迭代运算中能够被剔除．文献[12]把这种回溯思想应用到稀疏信道估计中，通过不断筛选支撑集中的位置元素来降低选错的概率．文献[13]提出的支持不可知的贝叶斯匹配追踪(Support Agnostic Bayesian Matching Pursuit，SABMP)算法采用信道的数学期望作为信道估计值来提高估计精度．但在确定每个稀疏度的最佳支撑集时，需要计算并比较所有支撑集的发生概率，使算法过于复杂．

在以上算法的基础上，笔者提出了期望修剪匹配追踪(Expectation Prune Matching Pursuit，EPMP)算法．对于每一个稀疏度，首先通过选择与观测矢量(或残差)内积值较大原子所在位置组成支撑集；然后对各个稀疏度的支撑集进行检验，纠正支撑集中选错的位置元素；最后对各个稀疏度支撑集对应信道估计值求概率平均，并作为最终的信道估计值．算法复杂度分析和仿真结果表明，同SABMP算法相比，EPMP算法能在保证估计精度的前提下降低计算复杂度．

1　信道模型

1.1　稀疏信号模型

一个稀疏信号矢量可以表示为

h=ha⊙hb,

(1)

其中，h是一个N长的稀疏信号列矢量；⊙表示哈达玛乘积；ha是长度为N的列矢量，矢量中的每一个元素都是服从某种分布的随机变量；hb是长度为N的随机变量列矢量，其中每一个元素都服从参数为p1的伯努利分布．信道稀疏的含义是指h中很多元素为零，即p1的取值很小．在这里ha中元素的具体分布以及信道稀疏性的波动都不影响后面所介绍算法的有效性．如果实际信号不是稀疏的，则可以通过稀疏字典转换为稀疏的形式．常用的稀疏字典可以是离散傅里叶变换矩阵、离散余弦变换矩阵和K奇异值分解矩阵[14]．文中仅考虑已经具有稀疏形式的信号．

根据压缩感知理论，即使在有噪的环境下，通过构造合适的测量矩阵，高维稀疏矢量h也可以通过低维测量信号y重构，即

y=Φh+n,

(2)

其中，n表示噪声；M×N维测量矩阵Φ满足有限等间距性质，且M

1.2　高阶MIMO系统

考虑一个发射端和接收端分别配置P和Q根天线的高阶MIMO系统，系统发射信号和接收信号之间的关系可以表示为

Y=ΨH+W,

(3)

其中，H是一个P×Q维矩阵，表示信道矩阵；Ψ=[ψ(1)，…，ψ(L)]，是一个Lp×P维矩阵，表示导频矩阵，ψ(i)代表所有P根发射天线在i时刻发射的 1×P导频向量，Lp是导频序列的长度；W是一个Lp×Q维矩阵，表示加性高斯白噪声．矩阵W中的每一个元素都是服从均值为0、方差为σ2的高斯变量．

对H进行矢量化处理，即每次取出H中的一列，依次堆积构成一个QP×1 列矢量；对接收矩阵Y和噪声矩阵W也进行相同的处理，则收到的信号列矢量可以表示为

vec(Y)=(IQ⊗Ψ) vec(H)+vec(W)=Φh+vec(W),

(4)

其中，vec(·)表示矢量化处理；IQ表示Q阶单位阵，⊗表示张量积，Φ=(IQ⊗Ψ)，表示测量矩阵．由于高阶MIMO信道矩阵可以转换为矢量形式，且矢量形式的信道估计过程更容易叙述，所以文中仅讨论式(4)矢量形式的信道估计问题．

2　信道估计算法

2.1　基本概念

定义1稀疏度．一个稀疏矢量信号中非零元素的个数称之为稀疏信号的稀疏度，用k表示．

定义2支撑集．一个k稀疏信号非零元素所在位置的集合称之为支撑集，用sk表示．

定义3最佳支撑集．发生概率最大的支撑集称之为最佳支撑集．

定义4残差．用k个原子线性组合得到的合成信号与测量信号之间的差称之为残差，即

(5)

2.2　EPMP算法

EPMP算法详细描述如下: 当k=1时，计算每一个原子和接收信号的内积，对这些内积值按照从大到小顺序排列，将最大内积值所对应的位置元素放入集合s1．采用最小二乘(Least Squares，LS)算法计算s1对应信道的估计值:

(6)

并由式(5)计算残差R1．

通过迭代运算，可以在sk和Rk基础上计算得到sk+1和Rk+1．重复迭代运算可以获得kmax个稀疏度的最佳支撑集和各个最佳支撑集对应信道的估计值，kmax表示稀疏度可以取到的最大值．

针对每个稀疏度得到最佳支撑集后，根据文献[13]的结论，按照下式计算这些最佳支撑集的发生概率对数值:

计算各个最佳支撑集发生的相对概率为

(8)

其中，ev为数学期望．最后，用

(9)

计算信道的数学期望，并作为最后的信道估计值．

EPMP算法的核心在于支撑集的迭代运算．假设稀疏度为k时的最佳支撑集sk和残差Rk已经得到，可按照如下步骤计算sk+1和Rk+1:

迭代运算伪代码由函数Reselects(Φ，y，k，Rk，Sk，imax)表示，其中函数 [svalue，spos]= maxk(z，k)，表示把矢量z中模值最大的k个数保留，其余位置全部置零，得到新矢量svalue以及新矢量svalue的支撑集spos．

EPMP算法的运算步骤如下：

Function Reselects(Φ，y，k，Rk，Sk，imax)

inputΦ，y，k，Rk，Sk，imax

z=ΦHRk;

[svalue，spos]=maxk(z，k+1);

itera=1;

while (itera

[svalue，spos]=maxk(z，k+1);

break;

else

end if

itera=itera+1;

end while}

outputSk+1，Rk+1，hk+1．

与SABMP算法相比，EPMP算法主要进行了两个方面的改进：

(1) 选择最佳支撑集．在SABMP算法中，sk是在sk-1基础上再添加一个位置元素组成的．添加的位置元素需要搜索集合sk-1以外的所有位置元素，并根据式(7)分别计算添加了新元素后支撑集的发生概率并比较大小，发生概率最大的支撑集就是sk．对于每一个k，需要多次利用式(7)确定最佳支撑集，并计算其发生概率．它的计算量随着sk中元素个数增加而急剧变大．为了降低计算量，EPMP算法通过计算各个原子和Rk-1的内积，把获得最大内积值的原子所处位置与sk-1合并，得到sk，即

(10)

再用式(7)计算sk的发生概率，从而降低寻找sk的计算复杂度．

(2) 计算信道期望．由于噪声和其他因素的影响，选择的支撑集可能不是真正的最佳支撑集．为了减小误选对估计性能的影响，SABMP算法在同一个k下考虑T种不同的支撑集．根据发生概率的大小，选择T个互不相同的支撑集，并保留各自的发生概率．这些支撑集对应信道估计值全部参与了最终信道期望的运算，导致算法复杂度增加为原来的T倍．EPMP算法对各个k下的最佳支撑集进行检验，在sk中添加新的位置元素，使支撑集中的元素个数多于当前稀疏度k．然后从中再选择一个k元素支撑集，并通过比较这两个k元素支撑集所对应的残差信号范数的大小，来确定新的支撑集是否更可靠．由于最佳支撑集得到了检验，因此EPMP算法中同一个k只需要一个sk，降低了信道期望的运算量．

2.3　复杂度分析

各种算法的理论复杂度在表1中给出比较，实际运算时间也进行了对比．仿真所用电脑处理器型号为Intel I5-4590，主频为 3.3 GHz，OMP、MP、SABMP和EPMP算法运算时间分别为 9.09 s、0.04 s、63.67 s 和 47.98 s．从理论分析和实际仿真可以看出，同SABMP算法比较，EPMP算法具有更低的算法复杂度．

表1　不同算法的计算复杂度比较

3　仿真结果

仿真参数设置如下: 发射天线数目P=64，接收天线数目Q=16，等效信道矢量长度N= 1 024，观测值个数M= 256，非零概率p1= 0.02，SABMP重复计算次数T=8，所有算法迭代次数相同．为了从直观上观测估计信道和真实信道的接近程度，图1分别给出了采用EPMP算法估计信道和真实信道的实部和虚部．通过比较可以看出，无论是非零元素的位置，还是非零元素的数值，估计信道和真实信道都是非常接近的．

为了对估计信道和真实信道接近程度给出一个定量的衡量标准，论文采用均方误差作为估计精确度的度量，定义如下:

(11)

为了观测导频序列长度对EPMP算法信道估计性能的影响，图3给出了不同导频序列长度在不同信噪比下的NMSE性能．从图3可以看出，序列长度越长，信道估计越精确，但信息传输效率越低．因此实际通信系统可以在信道估计准确性和信息传输效率之间寻找平衡．

图1 EMPM算法估计信道和真实信道比较图2 不同算法均方误差性能比较

图3 导频长度对EPMP算法性能的影响图4 不同算法的误比特率性能比较

图4给出了不同信道估计算法的误比特率(Bit Error Rate，BER)性能比较．发射天线数目P= 64，接收天线数目Q=4，信道元素非零概率p1= 0.2，调制方式采用十六进制正交振幅调制(16-ary Quadrature Amplitude Modulation，16QAM)，采用码率为0.5的卷积码作为信道编码，译码采用维特比算法．从图4中可以看出，EPMP算法获得了比OMP算法更低的BER，基本和高复杂度的SABMP算法的BER曲线重合．接收端完美估计信道衰落系数情况下的BER性能曲线也被给出作为一个下界．从图4可以看到，各种实际估计算法的BER曲线和下界都有较大差距，这是由于相对于加性高斯白噪声，信道衰落系数对系统BER性能的影响更大．

4　结 束 语

文中提出了一种改进的基于压缩感知的EPMP信道估计算法．该算法利用了信道的稀疏特性，可以在相同条件下降低导频序列长度．针对SABMP算法复杂度高的问题，EPMP算法改进支撑集搜索方案，减少了最佳支撑集的重复计算次数．为了不降低估计精度，EPMP算法对入选最佳支撑集的位置元素进行检验，剔除选错的位置元素，采用贝叶斯估计算法的思想，计算信道期望并将它作为最终的信道估计值．通过比较EPMP算法和其他各种算法在不同信噪比条件下估计误差性能和误比特率性能，验证了EPMP算法可以在保证估计精度的前提下降低计算复杂度的特性．

参考文献：

[1] LARSSON E G, EDFORS O, TUFVESSON F, et al. Massive MIMO for Next Generation Wireless Systems[J]. IEEE Communications Magazine, 2014, 52( 2): 186-195.

[2]KIVINEN J, SUVIKUNNAS P, VUOKKO L, et al. Experimental Investigations of MIMO Propagation Channels[C]//Proceedings of the 2002 IEEE Antennas and Propagation Society Symposium. Piscataway: IEEE, 2002: 206-209.

[3]GUI G, LIU N, XU L, et al. Low-complexity Large-scale Multiple-input Multiple-output Channel Estimation Using Affine Combination of Sparse Least Mean Square Filters[J]. IET Communications, 2015, 9(17): 2168-2175.

[4] DONOHO D L. Compressed Sensing[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2006, 52(4): 1289-1306.

[5]BARANIUK R G. Compressive Sensing[J]. IEEE Signal Processing Magazine, 2007, 24(4): 118-120+124.

[6]权磊, 肖嵩, 薛晓, 等. 低复杂度压缩感知中的快速观测方法[J]. 西安电子科技大学学报, 2017, 44(1): 106-111.

QUAN Lei, XIAO Song, XUE Xiao, et al. Fast Sensing Method in Compressive Sensing with Low Complexity[J]. Journal of Xidian University, 2017, 44(1): 106-111.

[7]BYUN S H, SEONG W, KIM S M. Sparse Underwater Acoustic Channel Parameter Estimation Using a Wideband Receiver Array[J]. IEEE Journal of Oceanic Engineering, 2013, 38(4): 718-729.

[8]HUANG H Q, SU W, JIANG X L. An Improved Compressed Sensing Reconstruction Algorithm Used in Sparse Channel Estimation[C]//Proceedings of the 2016 IEEE International Conference on Signal Processing. Piscataway: IEEE, 2016: 7753737.

[9]MÉNDEZ-RIAL R, RUSU C, ALKHATEEB A, et al. Channel Estimation and Hybrid Combining for mmWave: Phase Shifters or Switches?[C]//Proceedings of the 2015 Information Theory and Applications Workshop. Piscataway: IEEE, 2015: 90-97.

[10]RUSU C, MÉNDEZ-RIAL R, GONZALEZ-PRELCIC N, et al. Adaptive One-bit Compressive Sensing with Application to Low-precision Receivers at mmWave[C]//Proceedings of the 2015 IEEE Global Communications Conference. Piscataway: IEEE, 2015: 7417853.

[11]DAI W, MILENKOVIC O. Subspace Pursuit for Compressive Sensing Signal Reconstruction[J]. IEEE Transactions on Information Theory, 2009, 55(5): 2230-2249.

[12]GAO Z, DAI L L, DAI W, et al. Structured Compressive Sensing-based Spatio-temporal Joint Channel Estimation for FDD Massive MIMO[J]. IEEE Transactions on Communications, 2016, 64(2): 601-617.

[13]MASOOD M, AL-NAFFOURI T Y. Sparse Reconstruction Using Distribution Agnostic Bayesian Matching Pursuit[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2013, 61(21): 5298-5309.

[14]LV Z G, LI Y. A Channel State Information Feedback Algorithm for Massive MIMO Systems[J]. IEEE Communications Letters, 2016, 20(7): 1461-1464.