“图形与几何”复习课教学策略的探索

朱希萍

小学数学“图形与几何”复习课是小学数学教学中的重要组成部分，通过对图形与几何内容的复习，让学生进一步感受现实世界中的物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变换，进一步让学生掌握相应的基础知识和基本技能，学会解决简单的实际问题，发展形象思维，培养空间观念和创新意识。

在组织“图形与几何”复习课时，我们要根据学生学习“图形与几何”知识的心理特点结合“图形与几何”的知识特点，在知识的链接点处、思维发展处、策略方法选择处给学生以复习路径与复习方法的提示，为学生提供观察和想象、操作和分析的时间和空间，进行大胆想象，发展空间观念的同时培养自主复习的能力。下面谈谈我的几点策略。

一、在知识的链接点处求同求异求联来梳理知识

数学知识之间有着紧密的联系。在“图形与几何”知识的复习时，我们要站在整体的视角下，引导学生抓住知识的内在联系，通过分析、比较把知识串联在一起，达到复习一点懂得一片，理解一片贯通一面的目的。

1.抓图形要素的共性来联想梳理。

组成图形的三个基本要素是：点、线、面。同是点（或线），在不同图形中的名称却可能不同；同为线，通过不同的组合就可构造不同的图形……分析这些要素的共性，可为我们的复习梳理提供思路。

人教版四年级上册教材中，学习的内容有直线、射线、线段、角、平行、垂直、平行四边形、梯形等，分析这些平面图形，都有一个共同的要素：点。“直线、射线、线段”的判断看端点，“平行、垂直”判断看交点，“角、平行四边形、梯形”有顶点。都是“点”，叫法却不同，好多学生容易搞混，如把三角形的“顶点”错叫成“端点”，把线段的“端点”错叫成“顶点”。上这节复习课时就可以利用“点”来做文章。

出示图1：

图1

你看到了什么点？（若将其看成两条射线，则为端点；若看成角，则为顶点；若看成相交，则为交点；若看成垂直，则为垂足）

使学生体会到：同是点，在不同的图形中的名称却不同。

然后引导学生思考：你还想到哪些数学中的点？

由“端点”，你还想到什么图形？

由“交点”，你还想到什么图形？

哪些图形有顶点？

由此逐渐引出要复习的图形，然后再引导学生进行进一步的回顾整理。

2.抓图形特征的共性来分类梳理。

每个图形都有自己的特征，这些特征中有些是独有的，人无它有；有些特征是与别人相同或相似的，人有它也有……从众多特征上分析共性，也可为我们的复习梳理提供思路。

“立体图形的复习”这部分内容（包括长方体、正方体、圆柱、圆锥的特征、表面积、侧面积、体积等）知识较多，但分析后可以发现，长方体、正方体、圆柱、圆锥有很多相同的地方：前三个都是直柱体，侧面展开都是长方形，体积、侧面积、表面积计算方法相同；后两个都可以由一个平面图形旋转得到。于是有一位教师教学时先出示图2，以“哪些立体图形可以和圆柱分为一类”作为任务驱动，引导学生从不同角度阐述分类理由。学生把①②④和圆柱分成一类，因为它们有共同的体积计算公式（体积＝底面积×高）、有共同的表面积计算公式（表面积＝侧面积+底面积×2）、有共同的侧面积计算公式（侧面积＝底面周长×高）；还可以把③和圆柱分成一类，因为它们都可以由一个平面图形旋转得到。交流中适时追问“为什么直柱体的体积可以用底面积×高来表示”、“为什么侧面积都可以用底面周长×高来解决”。这样，通过归类、交流，使学生对立体图形这块知识做了一个很好的梳理，既沟通了这些立体图形之间内在的联系，又加深了学生对侧面积、表面积和体积概念内涵的理解。

图2

3.抓图形特征的关系来梳理。

许多图形有共同的特征，这些特征之间又有错综复杂的联系。学生在学习图形与几何知识的关系时特别难以理清，通过记忆的形式学生很容易搞混淆。通过分一分、理一理，学生容易把中间的关系梳理清晰。

例如六年级复习“图形认识”这节课，内容涉及三角形（锐角三角形、直角三角形、等腰三角形、等边三角形等）、四边形（长方形、正方形、平行四边形、梯形等）、立体图形（长方体、正方体、圆柱、圆锥等），涉及的图形多而杂，学生对其中有些图形的特征关系容易混淆。我们设计这节课时，发现了这些图形之间也有共性，即这些图形之间存在着许多的包含关系，如果学生能理清这其中的包含关系，自然也就能理清各个图形的特征和图形间的区别了。

于是上课时先让学生说说小学六年学过哪些图形；接着以长方形和正方形为例引导学生说说它们的关系，并用集合图表示（如图3）；然后让学生在学过的图形中，再找出具有这样关系的两个或几个图形，并用这样的集合图表示出来，最后通过交流，或修缮、或融合。这样，逐步把学生脑海中各个零散的、点状的知识串成线、连成片、结成网，变成有序的、网状的知识体系。

图3

4.抓计算方法的联系来转化梳理。

图形的测量方法有着千丝万缕的联系，在复习时我们要利用好关系建立起方法群，形成自己的知识结构。例如在复习“平面图形的面积”时教师引导学生寻找复习路径后在黑板上板书：计算的方法怎样？方法的由来？并呈现下图。

观察上面一张图形，想一想在相应的横线上填上你的想法,再想想这些平面图形面积公式的推导，彼此之间存在着密切的联系，你能利用图片模型将这些联系表示出来吗？

学生以小组为单位合作构建“知识链”，结合图形模型展开交流活动。

组1：长方形面积是通过数方格来推导的；正方形、平行四边形、圆的面积计算公式是通过长方形面积来推导的；而三角形、梯形面积是通过平行四边形面积来推导的；所以就有如上的网络图。

组2：平行四边形、圆形是通过剪拼转化为长方形进行推导出来的；而三角形是通过两个完全相同的三角形拼成一个平行四边形推导出来的；梯形可以剪成两个三角形再通过三角形推导出来；所以就有如下的网络图：

组3：我们组认为正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等图形都可以通过剪拼成长方形推导出来。就有下面的网络图：

这一环节教师开门见山地提出复习的内容和复习目标，并直接提供半成品形式的图示材料，使每位学生都能认真观察思考。学生在观察这样的图示后，能很快地回想起当时学习这些图形面积计算时的情境，并按图形变换的线索填写相应横线上的内容。由于复习素材设计科学有效，有利于教师选用学生所整理的材料组织质疑，使学生在回忆面积计算方法的同时，突出复习用转化思想来推导面积计算公式。以上的复习形式，改变了以往教师与学生之间单调的回答。把复习课回归到人性化的训练，关注学生在复习时的兴趣，进一步培养学生的推理能力，并掌握复习方法。

二、在思维的生长点处求变求联来发展空间观念

“图形与几何”教学的核心魅力在于“变”，有“变”才有“用”，有“变”才能“活”。实施“图形与几何”复习课教学时，应设计适当灵活的问题变式，在巧妙的变式中，在错综复杂的变化中，培养学生研究探索问题的能力，发展空间观念。

教师可以通过从不同角度去改变题目，或者通过解题后的反思归纳出同一类问题的解题思维的形成过程与方法；通过改变条件，让学生对满足不同条件的情况做出正确的分析等培养学生推理、探索的思维能力，有效地突破思维定势，使学生的思维更具有灵活性、严谨性、变通性和创造性。

1.在组合变换中沟通。

有些习题看上去没有联系，方法与解题思路各不相同。如果我们通过变换想象与联想，可以将它们进行方法上的沟通，思考方式上的链接。

先来看这几道题目：

题1：求立体图形的体积（单位：cm）。

题2：将A容器中60dm3的水倒一部分到B容器，使A、B容器的水面一样高，这时水面的高度是多少？

题3：如图，一个长为8dm，宽为5dm的长方体容器，有72dm3的水，将一个底面积为16dm2的铁块浸没在水中，水面的高度与铁块的高度相等，铁块的高度是多少？

以上三道题目看似不一样，但是如果仔细分析就会发现，这几题都是由几个立体图形组成的组合图形，如果从运动的视角去审视，将其中一个立体图形图形进行平移，就会发现，这些题都可以转化成一个图形：

学生练习后，教师课件动画沟通题目之间的联系，学生倍感惊叹。这个过程中，引导学生从运动变化的视角进行动态思维，较好地渗透了动态几何观。学生从中感受到了数学的神奇，对图形的变换有了全面透彻的理解，便能融会贯通、举一反三地去学数学。

2.分割变换中沟通。

在分的过程中通过联想它们之间的联系，由同一变化方式在不同对象上发现具有相同的思考形式与解决问题的路径，从而在变中发现不变的思想，让方法融会贯通。

例如，一个圆柱体，高是6厘米，沿着它的高平均切成两半，表面积就增加48平方厘米。原来圆柱的体积是多少立方厘米？

如果是圆锥体呢？要是长方体呢？(假如底面是正方形)

复习阶段的解题训练，侧重点应更多倾向于“变中求联、巧中求智”。 为此，适度的基本训练后，教师应做足变式文章，在蕴涵变化的信息环境中，训练学生“拨开迷雾、聚焦本质”的数学洞察力。通过这样的解题训练，立体图形体积计算的方法必能扎根于学生脑海中。

三、在解决问题处求策略的多样化来提升能力

运用一种知识解决问题时，因为指向明确、策略清晰，学生往往感觉容易。而当需要综合运用多种知识解决问题时，学生往往感觉困难。因为题中指向哪些知识、需要哪些策略，都需要由学生自己决定，这些活动经验需要积累。因此我们组织复习时，应设计具有针对性、开放性、综合性的问题，引导学生综合运用多种策略解决生活中的实际问题。

1.方法策略多“见面”。

测量计算的方法很多，要让学生能合理灵活地运用。我们要给学生接触见面的机会，学生有过练习的经验，才能在下次的情境中合理选择。常用的方法策略有如下几种：

2.方法策略多选择。

在复习课上，为了保证学生思维的流畅性、灵活性和变通性，使学生能够创造性地解决问题，应设计一些在解题策略上有多种选择，方法多样的创造性的复习题。一位教师在教学五年级“平面图形的面积”复习课时，出示下图：在长10米，宽8米的长方形绿化区里有一些宽1米的小路，草地的面积是多少?

第一种解法：四块草地的面积：3×3=9（平方米），6×3=18（平方米），4×5=20（平方米），4×4=16（平方米）；草地总面积：9+18+20+16=63（平方米）。

第二种解法：绿化区的总面积:10×8=80（平方米）；小路的面积：1×10+1×3+1×4=17（平方米）；草地总面积：80-17=63（平方米）。

第三种解法（10-1）×（8-1）=63（平方米）。

显然，第三种解法学生在头脑中做了平移的动作，解法明显简单多了。

又如下题：

解法一：先求出四个三角形的面积，再求出大长方形的面积，然后用长方形的面积减去四个三角形的面积和，至少要6步。

解法二：连接HF，就成了两个三角形，只要将三角形HEF与三角形HFG的面积相加就好了。

解法三：有同学列出算式“10×12÷2”，你有办法说明理由吗？

显然三个解法一个比一个简单，一个比一个更吸引学生，这样的复习题设计留给学生创造力得以发挥的天地，并在教学中注意发现学生创造性思维的火花。学生只有在这样的情境下，积极思考，寻求最优方法才成了现实；学生在这样的情境下不由自主地感受到努力思考后带来的好处，这样才能激发学生自觉地积极思考。经常这样训练一定能达成培养学生创新意识的目标。

总之，我们应创设一种适合学生的复习需要，激起学生往下探究的欲望，帮助学生主动梳理，发展思维，培养空间观念。在引领学生掌握复习方法的同时，进一步体验数学的内在联系和应用价值。