例谈立体几何中平面法向量的求法

程琬婷

[摘要]高中数学把空间向量引入到立体几何中，使几何常规问题坐标化、符号化和数量化，将复杂的推理转化为代数运算，从而降低了思维难度.探讨平面法向量的求法有现实意义.

[关键词]高中数学；立体几何；平面法向量

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05002902

平面法向量的定义：如果n⊥α，那么向量n叫作平面α的法向量.

一、方程法

利用直线与平面垂直的判定定理构造三元一次方程组.但由于有三个未知数，两个方程，所以要设定一个变量的值才能求解.要使法向量简洁，设值可灵活（注意：取值不能取“0”），法向量有无数个，它们是共线向量，取一个就可以.

【例1】已知向量a、b是平面α内的两个不共线的向量，

a=（1，2，3）

，

b=（2，1，-1）

，求平面α的一个法向量.

解析：设n=（x，y，z）为平面α的法向量，则由

n⊥a，n⊥b得

n·a=0

n·b=0

，

即

x+2y+3z=0

2x+y-z=0

，令z=1，则

x+3y=-3

2x+y=1，

∴

x=53

y=-73.

所以平面α的一个法向量为n=

53，-73，1

.

【例2】已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、M分别是A1C1、A1D和B1A上任一点，求证：平面A1EF∥平面B1MC.

【证明】以点D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系D-xyz，如图1，则

A1C1=（-1，-1，0），

B1C=（-1，0，-1），

A1D=（1，0，1），

B1A=（0，-1，-1），

设A1E=λA1C1，

A1F=μA1D

，B1M=vB1A（λ、μ、v∈R

，且均不为0），

n1

=（x1，y1，z1）

、

n2

=（x2，y2，z2）

分别为平面A1EF与平面B1MC的法向量，

由

n1·A1E=0

n1·A1F=0

，可得

n1·λA1C1=0

n2·μA1D=0

，

即

n1·A1C1=0

n2·A1D=0

.

解之得n1=（1，1，-1）.

由

n2·B1M=0

n2·B1C=0

，可得

n2·vB1A=0

n2·B1C=0

，

即

n2·B1A=0

n2·B1C=0

，

解之得n2=（-1，1，-1）.

∴n1=-n2

，n1∥n2，∴平面

A1EF∥

平面B1MC.

二、行列式法

利用二階行列式：

M=

ab

cd

=ad-cb

（交叉相乘再相减）.

设向量a、b为空间中两个不平行的非零向量，且a=（x1，y1，z1），

b=（x2，y2，z2）

，则平面α的法向量

n=

y1z1

y2z2

，

-

x1z1

x2z2

，

x1y1

x2y2

.

【技巧】首先把向量a、b的坐标竖方向对着写，接着要求n的哪个轴的数据就在竖方向相应划掉向量a、b哪个轴的数据，然后交叉相乘再相减.注意y取相反数.

【例3】如图2，四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=CD=12AB=1

，M是PB的中点.

证明：平面PAD⊥平面PCD.

解析：以A点为原点，分别以AD、AB、AP为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，如图3.则

A（0，0，0），D（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1）

.∴AP=（0，0，1）

，

DC=（0，1，0）

，AD=（1，0，0）

，DP=（-1，0，1）.

设m=（x1，y1，z1），

n=（x2，y2，z2）

分别为平面PAD与平面PCD的法向量，则由平面法向量速解法求得

m=（0-0，-（0-1），0-0）=（0，1，0）

，n=（1-0，-

（0-0），[0-（-1）]）=（1，0，1），

∴m·n=0

，

∴m⊥n

，即平面PAD⊥平面PCD.

图4

【例4】已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1，求平面A1BC1与平面ABCD所成的二面角的余弦值.

解析：以点D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系D-zyz，如图4所示，则

D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1）

.∴A1B=（0，1，-1）

，AD=（-1，0，0）

，A1C1=

（-1，1，0），

AC=（-1，1，0）

.

设

n1=（x1，y1，z1）、

n2=（x2，y2，z2）分别为平面A1BC1与平面ABCD的法向量，则

方法一：由

n1·A1B=0

n1·A1C1=0

及

n2·AD=0

n2·AC1=0

可解得

n1=（1，1，1）

n2=（0，0，1）.

方法二：

n1=（0-（-1），-[0-（-1）]）=（1，1，1），

n2=（0-0，-（0-0），-1-0）=（0，0，-1）=-（0，0，1），

∴

n1=（1，1，1）

n2=（0，0，1）

.∴cos=

n1·n2

|n1|·|n2|

=33

.

因此平面A1BC1与平面ABCD所成二面角的余弦值为33.

【点评】用法向量的夹角求二面角时应注意，平面的法向量有两个相反的方向，取的方向不同，求出来的角度当然就不同，所以最后还应该根据这个二面角的实际形态确定其大小.

（责任编辑黄桂坚）