让数学变得有趣、有用、有文化、有温度

林军

[摘要]以《指数函数（第一课时）》的课堂教学为例，从学有趣的数学、学有用的数学、学有文化的数学、学有温度的数学四个维度去思考数学课堂教学如何适应学生未来发展的需要，及落实学生核心素养的培养.

[关键词]数学；有趣；有用；有文化；有温度

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2018）05000502

柳州高级中学作为广西普通高中数学课程基地，其数学教研组全体教师积极探索如何使数学课堂教学适应学生未来发展的需要，及让学生形成关键能力，具有必备素养的途径.2017年11月4日，我校吴佐慧老师在全国部分知名高中“激活课堂”教研活动中，为来自全国各地的数学教师上了一节展示课，这节课的教学设计体现了我校数学教研组对课堂教学的一些思考和探索.现笔者将该节课的教学脉络呈现如下.

[教学实录]

一、创设情境，提出问题

投影：一尺之棰，日取其半，万世不竭.——《庄子·天下篇》

问题1：木棰的剩留量y与截取次数x有怎样的关系式？

投影：勤學如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏.——陶渊明

（古人从文学的角度以事喻人，从数学的角度来看勤奋与懈怠的差异.）

问题2：假设小明的原始知识水平为1，如果每天在前一天的基础上增长1%，那么一年后（365天）小明的知识水平是多少？若将天数记为x，知识水平记为y，则x与y满足的函数关系式是什么？

问题3：假设小明的原始知识水平为1，由于懈怠，他的知识水平每天在前一天的基础上减少1%，那么一年以后（365天）小明的知识水平是多少？若将天数记为x，知识水平记为y，则x与y满足的函数关系式是什么？

让学生从1.01365≈37.78、0.99365≈0.03这些量上去感悟勤奋与懈怠的差异.教师和学生用一些成语来描述问题2和问题3，如“积少成多”“蹉跎岁月”等.

要求学生再举出类似函数模型的例子，如细胞分裂次数x与细胞的个数y的关系等.

[点评：庄子的名句包含本节课所需的数量关系且极富哲理与思辨；借用陶渊明的诗句，以事喻人，并将其思想内涵虚拟成小明的知识水平变化关系，并要求学生用成语加以描述.这样的实例，既服务于本节课的主题，又能搭建起数学与文化联系的桥梁，同时还能将德育渗透在教学之中，使课堂充满人文气息，极富情趣.其次，通过提供较多的生活实例，为抽象出指数函数定义奠定了基础.]

二、抽象特征，构建概念

通过上述的几个实例抽象出函数关系式的共同特征：y=ax.

问题4：对a的取值有什么限制吗？为什么要做出这种限制？请举出反例.

若a是负数，如

（-1）12

就没有意义，a=0时，00也没有意义，a=1时，f（x）=1是常数函数，没有研究的必要.因此，我们规定：a>0，且a≠1.

请学生判断下列函数是否为指数函数.

（1）y=x2；（2）y=0.618x；（3）y=6x+4；（4）y=（-3）x；（5）y=2·4x；（6）y=3x+1

.

[点评：学生对指数函数概念的认识不可能一蹴而就，必须从多层次、多角度去理解这个概念，通过变式和构造反例，让学生理解指数函数的内涵与外延.在教学过程中，引导学生举出各种使指数式无意义的反例是十分必要的，这样学生就能从中学会如何去完善一个新概念.]

三、自主探究，归纳性质

问题5：我们在定义一个新的函数后，一般会接着研究函数的什么性质呢？

问题6：你们打算采用什么方法来研究这些性质？

请学生用描点法在同一坐标系中作出下列函数的图像，并根据图像指出函数的性质.

（1）y=2x；（2）y=3x；（3）y=12x；（4）y=13x.

[点评：设计让学生描点作图的环节，而不是运用几何画板直接给出图像，其目的是让学生经历概念的形成和发展过程，体会从特殊到一般、从直观到抽象的数学方法，感悟指数函数的符号表示与图形表示间的相互转化和联系.]

四、巩固落实，灵活运用

问题7：比较下列各题中两个值的大小：（1）34-1.8

，34-2.6

；

（2）130.3，3-0.2

；

（3）58-23，1

；

（4）（0.6）-2，43-23；

（5）0.60.4，0.40.6.

比较两个指数的大小可以构造一个指数函数，从图中观察其函数值的大小，这用到了数形结合思想.也可利用函数单调的定义，通过比较自变量的大小来得到函数值的大小，这体现了转化与化归思想.

问题8：某种电脑病毒传播的速度非常快.如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就有81台电脑被感染，请你用所学的知识分析：（1）在每一轮感染中，平均一台电脑会感染几台电脑？（2）已知病毒每5小时传播一轮，若不有效控制，多少小时后被感染的电脑会超过6500台？

[点评：从知识层面看，问题7和问题8其实是指数函数单调性的正反两个方面的应用；从能力层面看，它包含数形结合思想和转化与化归思想，这是培养学生综合能力的极好教学素材；从情感层面看，有实际应用背景的问题体现了“数学源于生活，服务于生活”，能让学生体会数学学习的意义.]

[教学反思]

何为一节好课？每个人有不同的评价标准，但目的是一样的，那就是一切为了学生，为了学生的一切.培养学生具有适应终身发展和社会发展的关键能力和必备品格，是新形势对课堂教学提出的新要求.本节课笔者从有用、有趣、有文化、有温度四个维度进行教学设计，将学生核心素养的培养真正落到实处.

一、教学生学有趣的数学

数学源于生活，服务于生活，所以数学的有趣体现在它沟通了数学与生活的联系.本节课在创设情境的环节中，就撷取了《庄子·天下篇》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这一古代文化实例和增长率及细胞分裂等生活实例，让学生感到数学并不是高高在上的，它如影随形地存在我们的现实生活中，使之产生了“想一探究竟的冲动”.其次，数学的有趣还体现在解决问题后所获得的成就感和满足感上.而现实却是大多数学生觉得数学难学，造成此种现象的重要原因之一是学生没有获得足够的成功体验.因此在解决教学难点时，应把难点分解或做好铺垫.本节课在解决指数函数的性质这一重难点的教学设计中，就是在学生的最近发展区设置问题串，层层递进，从特殊到一般，从具体到抽象，让学生通过独立思考获得问题解决，从而最后抽象出指数函数的性质的.

二、教学生学有用的数学

数学是有用的.数学为其他学科提供了语言、手段、思想和方法，具有工具性的特性.从育人角度来看，数学学习中所蕴含的数学思想方法，才是学生终身发展所需的关键能力，这是数学学习的真正意义所在.本节课包含了丰富的数学思想（如数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想）和数学学科素养（如数学抽象、逻辑推理、数学直观和数学建模等）.这节课的脉络是通过具体实例抽象出指数函数的定义，渗透数学抽象和从特殊到一般的数学方法，反思指数函数的定义并理解分类讨论思想，通过画出指数函数的图像，运用数形结合方法找到指數函数的性质，通过应用指数函数单调性进行大小比较让学生看到化归的力量，感悟指数函数的实际意义和广泛应用，学会如何去建立简单的数学模型来解决数学问题.整节课的教学设计都紧紧围绕数学思想方法的灌输和学科素养的培养这条主线来展开，深挖隐藏在知识背后的思想方法，把核心素养的培养真正落到实处.

三、教学生学有文化的数学

数学课程标准在其基本理念中指出：“数学是人类文化的重要组成部分.数学课程应适当反映数学的历史、应用和发展趋势，数学对推动社会发展的作用，数学的社会需求，社会发展对数学发展的推动作用，数学科学的思想体系，数学的美学价值，数学家的创新精神.”通俗来说，数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言及数学家的创新精神、数学史、数学美学及数学发展中的人文成分.“当我们真正把数学文化的魅力渗入教材，达到课堂，深入教学时，数学就会平易近人，让大家通过文化层面易于理解数学、喜欢数学、热爱数学.”将数学文化引入课堂，会使我们的课堂变得更加丰满，有助于学生形成良好的数学观.在本节课的教学设计中，我们看到数学文化无处不在，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”“勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学如磨刀之石，不见其损，日有所亏”等名句既服务于教学，又深含人生哲理.多种数学思想在教学中的渗透、两种指数函数的性质既统一又对立、指数函数解析式的简洁美、指数函数图像的对称美等，无一不是数学文化在教学中的体现.

四、教学生学有温度的数学

数学不是冰冷的数字罗列，刻板的概念展示和公式变换的游戏，数学是有温度的，它的温度体现在数学学习中的精神感知.当我们在教学生学会如何思考时，也就是在培养学生的理性精神；当我们在课堂上展示指数函数优美的图形和函数表达式的简洁时，就是在培育学生的审美情操；当我们教学生学习演算和推理时，又何尝不是演算和推理在引导学生的精神呢？因此，我们的课堂应让数学的精神、数学的思想和数学的方法成为学生生命的一部分.其次，数学的温度还体现在数学学习中的人文关怀.一个优秀的教师总能在学生遇到困难时，适时出手相助，以自己的教学智慧化解学习困惑，他们从学生已有的数学经验出发，设计出相互关联并富有思考价值的问题链，搭建起问题解决的桥梁，使晦涩的数学变得平易近人，让学生真正体会数学学习的快乐.

[参考文献]

[1]黄天天.课堂教学的几点思考[J].数学之友，2016（8）.

[2]教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2003.

[3]张奠宙.数学文化的一些新视角[J].数学教育学报，2003，12（1）.

（责任编辑黄春香）