平面向量“数形”之美
2018-04-08魏智
魏智
[摘要]引入平面向量的概念后,几何图形与代数运算得以交融,图形语言的直观美与向量语言的简洁美融会贯通.中学生对平面向量之所以“望而生畏”往往是由于对平面向量的双属性理解不透.通过对以平行四边形为内核的一类平面向量问题进行深入分析,能让学生更好地理解平面向量的数形之美.
[关键词]平面向量;平行四边形;数形结合
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058(2018)05002502
引入平面向量后,全等和平行(平移)、相似、垂直等就可转化为向量的加减法、数乘向量、数量积等运算,从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系,实现“形”与“数”的交融,贯通图形语言的直观美与向量语言的简洁美.课标要求,通过向量知识与方法的学习,学生能理解平面向量及其运算的意义,能用向量语言和方法表述和解决数学与物理中的一些问题,发展运算能力和解决实际问题的能力.实际学习中,学生往往由于对向量的双属性特征理解不透,而畏于处理向量与几何的综合题目.本文对以平行四边形为内核的一类平面向量问题进行分析.
典型例题:已知a与b均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题:
P1:|a+b|>1θ∈0,2π3
P2:|a+b|>1θ∈2π3,π
P3:|a-b|>1θ∈0,π3
P4:|a-b|>1θ∈π3,π
其中的真命题是.
分析:此题可运用公式|a|2=a2、数量积公式及简单的余弦函数知识得出答案.不过,稍加分析不难发现此题实际是一个以单位向量a、b为邻边的平行四边形模型,其实质是保持平行四边形的边长不变,研究角的变化.
如图1所示,不妨设|a+b|=|AC|,|a-b|=|DB|.
当|a+b|=1时,|AC|=|DC|=|AD|,即△ADC是等边三角形,
此时∠A=2π3;
|a+b|>1,意味着线段AC变长,此时θ变小,
即θ∈0,2π3
.
同理|a-b|=1时,|AD|=|AB|=|BD|,即△ABD是等边三角形,此时
∠A=
π3
;|a-b|>1,意味着线段BD变长,此时θ变大,即θ∈
π3,π
.
变式1:向量a,b满足:|a|=|b|=|a+b|=1,则|a-tb|(t∈R)的最小值是.
分析:在平行四边形ABCD中,|AB|=|AD|=
|AC|=1,∠DAC=∠BAC=60°,∠A=120°.由向量减法的三角形法则可知,向量a-tb的起点在
直线DA上,终点是点B.|a-tb|就是指B点与直线DA上任意
点之间的线段长度.
过点B引直线DA的垂线BH交DA于点H(如图2所示),
则|a-tb|的最小值就是垂线段DH的长,即32.
变式2:已知a、b、c是单位向量,且|a+b|=3,
则(a-c)·(b+c)的取值范围是.
分析:如图3所示,在菱形ABCD中,|AD|=|DC|=1,
|AC|=3.直角三角形△AMD中,cos∠DAM=32
,则∠DAM=30°,
所以∠A=60°,|DB|=1,
即|a-b|=1.
又(a-b)·c=|a-b|·|c|cosθ(θ是a-b与c的夹角),且-1≤cosθ≤1.
所以-1≤(a-b)·c≤1,
所以(a-c)·(b+c)=a·b+(a-b)·c-1=(a-b)·c-12,
所以(a-c)·(b+c)的取值范围是-32
12
.
变式3:若a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=
λ|a+b|,λ∈22,1
,则向量b与a-b夹角的取值范围是.
分析:在平行四边形ABCD中,当∠BAC从0°增大到180°时,|AC|从2|a|连续减小到0,同时|DB|从0连续增大到2|a|,当然∠ADB亦是连续变化.因此,只需计算λ=22
及λ=1的情况即可.
当λ=22时,∠D=90°,则∠ADB=45°,此时b与a-b的夹角是135°.
当λ=1时,∠D=60°,则∠ADB=30°,此时b與a-b的夹角是150°.
所以,b与a-b的夹角的取值范围是
3π4,5π6
.
变式4:已知向量a、b满足:cos〈a+b,a〉=12,
cos〈a+b,b〉=22,则|a||b|=.
分析:此题仍然是一个平行四边形模型,本质是保持角度
不变,研究边的相关问题.如图4所示,平行四边形ABCD中,AB=a,
|AD|=b,则a+b=AC
,所以∠DAC=π4,
∠BAC=π3,
在△ABC中,由正弦定理可得
|a||b|
=|AB||AC|=
sinπ4
sinπ3
=63
.
可以看到,基于向量的加减法、数乘向量和数量积
等运算,用向量语言来表述图形关系具有很强的简洁
性.比如向量式
a=λb中就蕴含一组平行关系;向量式a+b则指代一个平行四边形;而向量式(a+b)·(a-b)=0中,则包含一个菱形;向量式|a+b|=|a-b|则暗含一个矩形;向量式|a|=|b|=|a+b|,则蕴含一个内角是120°的菱形;向量式a·b=0中即可找到一个圆,又可找到矩形.看到如此精美的向量式,就需要看到它所蕴含的几何图形,如此便可将向量的简洁美与图形的直观美合二为一,灵活应用向量的双属性特征解决综合问题.
[参考文献]
[1]秉正.几何问题向量构筑——探析平面向量的几何意义[J].新高考(高一数学),2017(1).
[2]薛红利.平面向量运算的几何意义在解题中的应用[J].数学学习与研究(教研版),2017(7).
[3]王仁朋.平面向量数量积几何意义的一类应用[J].中学生数理化(学习研版),2017(6).
(责任编辑黄桂坚)