巧用动量定理解决连续作用问题

■山东省沂源县第一中学　

喷泉连续喷水、粒子连续碰撞器壁、机枪连续发射子弹等都属于连续作用问题。这类问题的特点是待研究问题涉及的对象是连续的、变化的,这类研究对象与常见的作为研究对象的小球、滑块、带电粒子、通电导线等单个物体不同。单个物体作为研究对象时,物体的受力情况和运动情况容易分析,而对于连续作用的问题若不能恰当地“隔离”出一定的对象进行研究就很难进行分析判断。下面举例说明应该怎样选取研究对象,又该怎样对研究对象运用物理规律。

例题(2016年高考全国Ⅰ卷,喷泉连续喷水问题)某游乐园入口旁有一喷泉,喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见,假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出;玩具底部为平板(面积略大于S);水柱冲击到玩具底板后,在竖直方向上水的速度变为零,在水平方向上朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为ρ,重力加速度大小为g。求:

(1)喷泉单位时间内喷出的水的质量。

(2)玩具在空中悬停时,其底面相对于喷口的高度。

解析:(1)因为在喷口处喷出的水柱的速度为v0,所以在一段极短时间Δt内,从喷口喷出的水柱的长度 Δl=v0Δt,体积 ΔV=Δl·S,质量Δm=ρΔV,解得喷泉单位时间内喷出的水的质量为

(2)设水柱对玩具底部的作用力为F冲,如图1所示,玩具受力平衡,则F冲=Mg。由牛顿第三定律可知,玩具底部对水的反作用力F压=F冲。设玩具悬停时其底面相对于喷口的高度为h,水柱到达玩具底部时的速度大小为v,由运动学公式得在极短时间Δt内,冲击玩具的水柱的质量为 Δm,则 Δm=ρv0SΔt。对该部分水柱应用动量定理,取竖直向下为正方向,则(F压+Δm·g)Δt=0-(-Δm·v)。因为Δt很小,所以在Δt时间内冲击玩具的小水柱的重力Δm·g很小,可以忽略,则F压Δt=Δm·v,解得

图1

连续作用问题研究对象的选定和动量定理的运用需要具备以下几个方面的认识:

(1)对“小水柱”厚度的认识:我们认为撞击玩具时“小水柱”的速度都是同一个值,因此“小水柱”的厚度不能认为是1cm、0.01cm等具体数值,而应该认为“小水柱”是一个厚度趋近于零的液体薄层。

(2)对“小水柱”质量Δm的认识:Δm为在极短时间Δt内冲击玩具的液体薄层的质量。质量Δm应是直接和玩具作用、应用动量定理的研究对象。因为冲击玩具时已经散开的水柱的横截面积未知,所以我们需要借助于“流动液体的连续性原理”(在单位时间内,流过任意横截面积的液体质量都相等,即ρvS=恒量),将质量Δm用已知量表达为Δm=ρv0SΔt。

(3)对极短时间Δt的认识:应用动量定理时,极短时间Δt不能认为是1s、0.1s、0.01s等具体的极短时间段,而应该认为Δt是无限趋近于零的一个极限时间段。

只有具备上述几个方面的认识,我们才能隔离出一定质量Δm的“小水柱”作为研究对象,其在Δt时间内由初动量Δm·v减小为末动量0,从而应用动量定理成功求出玩具对“小水柱”的作用力。

拓展1:(粒子连续碰撞器壁问题)正方体密闭容器中有大量运动粒子,每个粒子的质量为m,单位体积内粒子的数量n为恒量。为简化问题,我们假定:粒子大小可以忽略;其速率均为v,且与器壁各面碰撞的机会均等;与器壁碰撞前后瞬间,粒子速度的方向都与器壁垂直,且速率不变。请你利用所学力学知识,导出器壁单位面积所受粒子压力f与m、n和v的关系。

图2

解析:如图2所示,在时间Δt内,以器壁上面积为S的部分为底、以vΔt为高构成柱体,此柱体内粒子的总数为nSvΔt。此柱体内有的粒子在Δt时间内与器壁上面积为S的器壁发生碰撞,碰撞器壁的粒子数目N=。一个粒子与器壁碰撞一次,器壁给粒子的冲量大小ΔI=2mv,则粒子给面积为S的器壁的冲量大小ΔI'=ΔI=2mv,Δt时间内粒子给器壁的总冲量I=NΔI'=,面积为S的器壁受到粒子的作用力,器壁单位面积所受粒子的压力

点评:此题中粒子无论向哪个方向运动,做的都是匀速直线运动,因此我们运用动量定理选取的时间Δt可长可短,即不一定是一个极短时间。这与例题中“小水柱”做匀减速直线运动不同,例题中所选的时间段必须很短暂。

拓展2:(机枪连续发射子弹问题)一挺机枪每分钟连续发射子弹120颗,一颗子弹的质量为50g,子弹从枪膛射出时的速度为1000m/s,则机枪手在射击时需要用多大的力才能抵住机枪?

解析:设每颗子弹的质量为m,每秒发射子弹n颗,在时间Δt内,机枪发射的子弹的质量Δm=mnΔt,对时间Δt内射出的子弹应用动量定理,取子弹运动的方向为正方向,则FΔt=Δm·v-0,其中F为机枪对子弹的作用力,解得F=mnv=100N。根据牛顿第三定律可知,子弹对机枪的冲力大小是100N,因此机枪手在射击时也需要用100N的力才能抵住机枪。

点评:子弹连续发射时,机枪和子弹之间持续有作用力。我们一般选取时间Δt内射出的子弹为研究对象,运用动量定理,分析作用力,这样选取的时间具有一般性、任意性,能够体现作用力的连续性。有些同学会用一分钟时间内的120颗子弹为研究对象运用动量定理,这样求解的作用力不能体现力的持续作用。

跟踪训练

1.一股水流以10m/s的速度从喷嘴竖直向上喷出,喷嘴截面积为0.5cm2,有一质量为0.32kg的小球,因受水对其下侧的冲击而停在空中,若水冲击小球后的速度变为0,则小球停在离喷嘴多高处?(取重力加速度g=10m/s2)

2.将质量为500g的杯子放在台秤上,一个水龙头以每秒700g水的流量注入杯中。注至10s末时,台秤的读数为78.5N,则注入杯中水流的速度是多大?(取重力加速度g=10m/s2)

3.高压采煤水枪出水口的横截面积为S,水的流速为v,水柱沿水平方向垂直地射到煤层上后,速度变为0。若水的密度为ρ,假定水柱的横截面积不变,则水对煤层的冲击力是多大?

参考答案:

1.2.952m。

2.5m/s。

3.ρSv2。