时间尺度上一类二阶非线性动力系统的振动性判据

张晓建

(邵阳学院 理学与信息科学系, 湖南 邵阳 422004)

0　引　言

研究时间尺度上一类二阶非线性中立型变时滞泛函动力系统

[A(t)φ([x(t)+B(t)g(x(τ(t)))]Δ)]Δ+

f(t,x(δ(t)))=0,t∈T

(1)

的振动性,其中φ(u)=|u|λ-1u,λ>0为实常数;T为任意时间尺度,且supT=∞.设t0∈T且t0>0,则[t0,∞)T=[t0,∞)∩T为时间尺度区间. 系统(1)的解及其振动性定义可参见文献[1-5].本文只讨论系统(1)的最终不恒为零的解.简单起见,下文定理中总假设条件(H1)～(H5)成立：

(H1)τ,δ：T→T是时滞函数, 且τ(t)≤t,

(H3)A∈Crd(T,(0,+∞));B∈Crd(T,R), 且存在实常数b0≥0使得0≤B(t)≤b0<∞.

(H4)g∈C(R,R)并且当u≠0时,ug(u)>0,g(u)/u≤η0,这里0<η0≤1是实常数.

(H5)f∈C(T×R,R),且当u≠0时uf(t,u)>0,并且存在函数P∈Crd(T,(0,∞))使得|f(t,u)|≥P(t)|u|(u≠0).

最近,出现了很多中立型动力系统振动性的相关研究成果[3-20]. 值得注意的是,在这些研究成果中,对系统的中立项系数函数B(t)都有“0≤B(t)<1”这一限制条件,当B(t)≥1或B(t)≤0时，几乎无相关的系统振动准则. 本文是文献[1-2]的延续, 文献[1-2]在条件

(C1)

和 0≤B(t)≤b0<∞下得到了系统(1)振动的一些新准则, 并改进了现有文献中对中立项系数函数B(t)的限制条件： 0≤B(t)<1. 值得注意的是, 虽然文献[1-2]的振动准则分别在0<λ≤1和λ>1下得到, 但可以将这2篇论文中定理1的条件(3)归结为一个式子,即

(C)

注意到, 对于Euler方程

(t2x′(t))′+λx(t)=0,

(E)

基于以上情况, 将在条件

(C2)

下建立系统(1)的振动准则, 以推广、改进和完善现有文献中的一系列结果.

1　系统振动的充分条件

引理1[6]设x(t)为Δ可微且最终为正或为负, 则有

(2)

证明设系统(1)在[t0,∞)T上有一个非振动解x(t),不失一般性, 设x(t)是最终正解,即有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δ(t))>0,t∈[t1,∞)T,t1∈[t0,∞)T. 记z(t)=x(t)+B(t)g(x(τ(t))), 则z(t)>0 (t∈[t1,∞)T). 由系统(1)得

[A(t)φ(zΔ(t))]Δ≤-P(t)x(δ(t))<0,

t∈[t1,∞)T,

(3)

所以A(t)φ(zΔ(t))=A(t)|zΔ(t)|λ-1zΔ(t)(t∈[t1,∞)T)严格递减且最终定号,从而zΔ(t)最终定号. 因此只需要考虑以下2种情形.

情形(i)zΔ(t)>0(t∈[t1,∞)T).由文献[1-2]中定理1的证明,可得到一个与条件(C)矛盾的结果.

情形(ii)zΔ(t)<0(t∈[t1,∞)T).此时,由文献[1-2]中定理1的证明知,下式仍然成立：

-Q(t)z(δ(t))≤-Q(t)z(t).

(4)

若0<λ≤1, 由引理1得

(5)

定义Riccati变换

t∈[t1,∞)T,

(6)

则v(t)≤0(t∈[t1,∞)T). 由式(3)知,A(t)φ(zΔ(t))=A(t)(-zΔ(t))λ-1zΔ(t)单调减小,所以对s∈[t,∞)T,A(s)(-zΔ(s))λ-1zΔ(s)≤A(t)(-zΔ(t))λ-1zΔ(t)≤A(τ(t))(-zΔ(τ(t)))λ-1zΔ(τ(t)),

(7)

u≥t∈[t1,∞)T.

令u→∞, 则z(t)+A1/λ(τ(t))zΔ(τ(t))θ(t)≥0, 从而

(8)

应用式(6), 就有

-1≤v(t)θλ(t)≤0.

(9)

注意到式(5)、(7)及zΔ(t)<0, 由式(6), 得

(10)

再定义Riccati变换

类似地, 有w(t)≤0,t∈[t1,∞)T, 且

-1≤w(t)θλ(t)≤0.

(11)

(12)

于是, 综合式(10)和(12), 并利用式(4), 可得

(13)

由于A(t)(-zΔ(t))λ-1zΔ(t)单调减小, 所以对s∈[t1,∞)T, 有

A(s)(-zΔ(s))λ-1zΔ(s)≤A(t1)(-zΔ(t1))λ-1×

zΔ(t1)=-Mλ，

式(14)两边同乘θλ(σ(t))后再积分, 并注意到时间尺度上的分部积分公式

由引理2,θΔ(t)=-A-1/λ(t)<0,[θλ(t)]Δ≥-λθλ-1×(σ(t))A-1/λ(t), 则不难得到

θλ(t1)w(t1)-θλ(t)w(t)+

注意到式(9)和(11), 于是由上式得

这与条件(2)矛盾.

若λ>1, 由引理1, 则式(5)应为

λzλ-1(σ(t))zΔ(t),

(15)

完全类似于0<λ≤1时的情形, 可得到式(13).

由于z(t)>0,zΔ(t)<0(t∈[t1,∞)T), 因此z(t)≤z(t1)=M(这里M=z(t1)>0是常数), 即

z1-λ(t)≥M1-λ.

(16)

代入式(13), 得

用类似于0<λ≤1时的处理方法, 可得到与条件(2)矛盾的结果. 定理证毕.

(17)

证明设系统(1)在[t0,∞)T上有一个非振动解x(t),不失一般性, 设x(t)为最终正解,即有x(t)>0,x(τ(t))>0,x(δ(t))>0,t∈[t1,∞)T,t1∈[t0,∞)T. 由定理1的证明知, 有下列2种情形：

(i) 当t∈[t1,+∞)T时,z(t)>0,zΔ(t)>0, [A(t)φ(zΔ(t))]Δ<0；

(ii) 当t∈[t1,+∞)T时,z(t)>0,zΔ(t)<0, [A(t)φ(zΔ(t))]Δ<0.

情形(i)zΔ(t)>0(t∈[t1,∞)T). 由文献[1-2]中定理1的证明, 可得到一个与条件(C)矛盾的结果.

情形(ii)zΔ(t)<0(t∈[t1,+∞)T). 此时A(t)φ(zΔ(t))<0, 由式(8)得,

zλ(t)≥A(τ(t))(-zΔ(τ(t)))λθλ(t),

即

(18)

引入广义的Riccati变换

t∈[t1,+∞)T,

(19)

则由式(18)，知v(t)≥0(t∈[t1,+∞)T). 分别注意到式(15)和(7), 由式(19)可得

(20)

其中，XY≥0,λ≥1为2个正奇数之商, 得

(21)

将式(21)代入式(20), 并利用引理2中的不等式, 得

(22)

再次引入广义的Riccati变换

类似地,得w(t)≥0(t∈[t1,+∞)T), 且容易推出

ξ(σ(t))[η(t)A(t)]Δ-ξ(σ(t))A(t)η(λ+1)/λ(t)+

(23)

于是, 综合式(22)和(23), 并注意到式(4), 可得

(24)

所以，

与式(17)矛盾. 定理证毕.

例1考虑二阶Euler微分方程(E), 即考虑方程

(t2x′(t))′+q0x(t)=0,t≥1,

且

所以, 定理1的条件全部满足, 因此q0>1/4时方程(E)是振动的，这是众所周知的结果.当然，也可用定理2来判别方程(E)的振动性.

参考文献(References)：

[1]张晓建, 杨甲山. 时间模上二阶非线性动态方程振荡性的新结果[J].浙江大学学报(理学版), 2014, 41(5)： 499-505.

ZHANG X J, YANG J S. New results of oscillation for second-order nonlinear dynamic equations on time scales[J].JournalofZhejiangUniversity(ScienceEdition), 2014,41(5)： 499-505.

[2]杨甲山, 黄劲. 时间模上一类二阶非线性动态方程振荡性的新准则[J].华东师范大学学报(自然科学版), 2015(3)： 9-15.

YANG J S, HUANG J. New criteria for oscillation of certain second-order nonlinear dynamic equations on time scales[J].JournalofEastChinaNormalUniversity(NaturalScience), 2015(3)： 9-15.

[3]张全信, 高丽, 刘守华. 时间尺度上具阻尼项的二阶半线性时滞动力方程的振动准则(Ⅱ)[J].中国科学数学,2011,41(10)： 885-896.

ZHANG Q X, GAO L, LIU S H. Oscillation criteria for second-order half-linear delay dynamic equations with damping on time scales[J].SCIENTIASINUCAMathematica, 2011, 41(10)： 885-896.

[4]ERBE L, HASSAN T S, PETERSON A. Oscillation criteria for nonlinear damped dynamic equations on time scales[J].AppliedMathComputation, 2008, 203： 343-357.

[5]ZHANG Q X. Oscillation of second-order half-linear delay dynamic equations with damping on time scales[J].JournalofComputationalandAppliedMathematics, 2011, 235： 1180-1188.

[6]BOHNER M, PETERSON A.DynamicEquationsonTimeScales,AnIntroductionwithApplications[M]. Boston： Birkhauser, 2001.

[7]SAKER S H. Oscillation of second-order nonlinear neutral delay dynamic equations on time scales[J].JournalofComputationalandAppliedMathematics, 2006, 187： 123-141.

[8]HAN Z L, LI T X, SUN S R, et al. Oscillation for second-order nonlinear delay dynamic equations on time scales[J].AdvancesinDifferenceEquations, 2009： 756171.

[9]孙一冰, 韩振来, 孙书荣, 等. 时间尺度上一类二阶具阻尼项的半线性中立型时滞动力方程的振动性[J].应用数学学报, 2013,36(3)： 480-494.

SUN Y B, HAN Z L, SUN S R, et al. Oscillation of a class of second order half-linear neutral delay dynamic equations with damping on time scales[J].ActaMathematicaeApplicataeSinica, 2013, 36(3)： 480-494.

[10]张全信, 高丽. 时间尺度上具阻尼项的二阶半线性时滞动力方程的振动准则[J].中国科学数学,2010,40(7)： 673-682.

ZHANG Q X, GAO L. Oscillation criteria for second-order half-linear delay dynamic equations with damping on time scales[J].SCIENTIASINUCAMathematica, 2010, 40(7)： 673-682.

[11]张全信, 高丽, 刘守华. 时间尺度上具阻尼项的二阶半线性时滞动力方程振动性的新结果[J].中国科学数学,2013,43(8)： 793-806.

ZHANG Q X, GAO L, LIU S H. Oscillation criteria for second-order half-linear delay dynamic equations with damping on time scales[J].SCIENTIASINUCAMathematica, 2013, 43(8)： 793-806.

[12]杨甲山, 谭伟明, 覃学文, 等. 时间模上二阶非线性阻尼动力方程的振动性分析[J].浙江大学学报(理学版), 2016, 43(1)： 64-70.

YANG J S, TAN W M, QIN X W, et al. Oscillation of certain second-order nonlinear neutral functional differential equations with variable delay[J].JournalofZhejiangUniversity(ScienceEdition), 2016,43(1)： 64-70.

[13]杨甲山. 时间测度链上具非线性中立项的二阶阻尼动力方程的振动性[J].浙江大学学报(理学版), 2012,39(3)： 261-265.

YANG J S. Oscillation of second-order damping dynamic equation on time scales with nonlinear neutral term[J].JournalofZhejiangUniversity(ScienceEdition), 2012, 39(3)： 261-265.

[14]李同兴, 韩振来. 时间尺度上二阶超线性动力方程振动性[J].济南大学学报(自然科学版), 2010,24(2)： 209-211.

LI T X, HAN Z L. Oscillation for second-order superlinear dynamic equations on time scales[J].JournalofUniversityofJinan(ScienceandTechnology), 2010, 24(2)： 209-211.

[15]杨甲山. 时间测度链上二阶动力方程的振动准则[J].华东师范大学学报(自然科学版),2012(3)： 17-23.

YANG J S. Oscillation criteria of a class of second-order dynamic equations on time scales[J].JournalofEastChinaNormalUniversity：NaturalScience, 2012(3)： 17-23.

[16]杨甲山, 方彬. 时间测度链上一类二阶非线性时滞阻尼动力方程的振动性分析[J].应用数学, 2017,30(1)： 16-26.

YANG J S,FANG B.Oscillation analysis of certain second-order nonlinear delay damped dynamic equations on time scales[J].MathematicaApplicata, 2017, 30(1)： 16-26.

[17]YANG J S,QIN X W,ZHANG X J. Oscillation criteria for certain second-order nonlinear neutral delay dynamic equations with damping on time scales[J].MathematicaApplicata, 2015, 28(2)： 439-448.

[18]杨甲山, 谭伟明, 苏芳, 等. 时间模上二阶非线性中立型时滞泛函动态方程的振荡性[J].南开大学学报(自然科学版), 2015, 48(3)： 24-31.

YANG J S,TAN W M,SU F,el al. Oscillation for second-order nonlinear neutral delay functional dynamic equations on time scales[J].ActaScientiarumNaturaliumUniversitatisNankaiensis, 2015, 48(3)： 24-31.

[19]张晓建, 杨甲山. 时标上三阶时滞动力方程的振动性和渐近性[J].华东师范大学学报(自然科学版), 2014(3)： 51-59.

ZHANG X J, YANG J S. Oscillation and asymptotic behaviors for third-order delay dynamic equations on time scales[J].JournalofEastChinaNormalUniversity(NaturalScience), 2014(3)： 51-59.

[20]杨甲山. 时间测度链上一类二阶Emden-Fowler型动态方程的振荡性[J].应用数学学报,2016,39(3)： 334-350.

YANG J S. Oscillation for a class of second-order emden-fowler dynamic equations on time scales[J].ActaMathematicaeApplicataeSinica, 2016, 39(3)： 334-350.

[21]BOHNER M, LI T X. Kamenev-type criteria for nonlinear damped dynamic equations[J].SCIENCECHINAMathematica, 2015, 58(7)： 1445-1452.

[22]LI T X, SAKER S H. A note on oscillation criteria for second-order neutral dynamic equations on isolated time scales[J].CommunicationsinNonlinearScienceandNumericalSimulation, 2014, 19(12)： 4185-4188.