强化题型整合 重视方法归纳——以《椭圆》为例谈培养学生的知识整合能力

陈 栎

（福州第二中学，福建 福州 350001）

新一轮数学课程改革，将课程的总体目标锁定在数学核心素养上。学生数学学科核心素养水平的达成不是一蹴而就的，具有阶段性、连续性、整合性等特点。基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境、提出合适的数学问题，引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养。

一、当前知识体系的碎片化现状

教育学家乌申斯基指出：知识只有形成了系统，当然是从事物本质出发来形成的合理的系统，才能被我们充分掌握。数学知识内在逻辑关联紧密，数学知识的有组织建构是非常必要的。传统的数学教学容易使学生过于注重模仿式解题训练，却忽略学习方法和数学本质，缺乏对知识的系统归纳和对数学方法的提炼，造成头脑中的知识无序、破碎，甚至可能沦为一堆“珍珠”的堆砌。而现有教材按模块，分学段的编排意图是呈螺旋形上升，这种编排的优点在于给予学生足够的消化时间，弊端在于存在知识体系割裂现象，容易造成知识的碎片化。

基于此，教与学都有共同的需求：即抓住核心知识，将散落在各处的知识点重新整合，理顺高中数学基本结构与规律。教师不仅要传授知识，更要想方设法地引导学生掌握学习方法，将相关的数学知识串联起来，并能够多角度分析问题，养成对知识进行归纳整理的学习习惯，让学生成为学习的主体。同时，要引导学生探究数学问题的本质，在探究中形成自己的学习策略，发挥潜能，进而实现对数学知识深层次和本质意义上的理解。

二、知识整合的培养与引导策略

作为“专家引领模式”基地校的被指导教师，笔者对北京专家刘焕中老师的一句话印象特别深刻：“每个优秀的学生心里都应该有三张网络：一张知识点网，一张题型网，一张易错点网。”

多年来，笔者致力于在教学中寻找合适的方式，培养学生进行系统性的知识整合，提炼出解决某知识块下各类问题的数学方法，理解其中的数学思想，建立网状的知识结构。

2017年颁布的《普通高中数学课程标准》明确突出了“数学建模活动与数学探究活动”主题并提出：必修课程与选择性必修课程中的主题活动都是数学建模活动与数学探究活动，要求学生完成一个课题研究，可以是数学探究的课题研究。选题可以在教师的指导下自主选题，也可以在必修或选择性必修课程中数学探究活动的研究基础上继续进行深入探究。根据选题的内容，报告可以采用研究报告或小论文等多种形式。

在此笔者仅就自己在一轮复习至少完成一个知识块后，指定某知识块以小组合作的方式进行数学探究活动，指导和培养学生进行系统性的题型整合谈谈自己的做法。通过自由分组或对不同层次的学生按比例分组；依据学习层次的不同，学生在组内担任不同的任务，负责设计前期整体布局与后期审核的评析员，负责详细分析的操作员，负责将合作交流的讨论成果打印成稿的技术处理员；对所选知识块，在平时校本作业与错题本的基础上，优先选择一些共性问题，将具有普遍适用规律的题型及其步骤、思想方法，以题组的形式做题型整合，理顺题型关系，并以被考的频率由高到低进行排序；小组交流讨论，逐步完善题型网络，各组准备展示汇报，并在教师指导下进行试讲，各组发言人依序上台汇报和答辩，台下其他组的成员可以进行补充提醒或质疑，同组的成员可以提供支援，回答不到位或者无法解答的则由教师来补充讲解，最后给出各小组的互评与教师的评价；教师调整后，将汇总解题的题型网小论文打印下发，并作为日后复习的主要依据。为了使学生了解题型网论文的大致模式，教师可以在初次探究活动开始前对整体布局做示范性引导。

三、知识整合的效果与反馈

在组织学生探究“题型网论文”活动开始后，笔者发现学生做的比预判得更好，他们在笔者给的示范框架的基础上增加了新的题型；并将易错点提示融入典例的说明中加以提醒；最后还在文末增加了“基本数学思想总结”和“方法归纳总结”。

当学生弄清某知识块，如椭圆的基本研究思路与方法之后，他们中的大部分人能自发地将之迁移到双曲线、抛物线中去，即做到新课程要求的“能够在解决相似的问题中感悟数学的通性通法；能够理解和构建相关数学知识之间的联系”。

在整理的过程中，他们践行了“书由薄学到厚，再由厚学到薄”。随着不断的交流磨合，学生渐渐在大脑中明晰了数学知识并不是孤立存在的，而是相互联系的，对具有内在联系的数学知识，要在相同处建立联系，在相异处加以区别，才能自主构建出互相联结、交错有度的知识网络。［1］

为了更好地引导和促进学生在主体反思中构建适合自己的知识网络，教师还可以打破教材原有顺序重新整合。如笔者在对“三角函数”做章节整合时，就要求学生按四个考点：求值类、图像类、函数性质类、应用类来进行。这种不同的排序设置可以倒逼学生形成合理的思维场，用思维去引领、激发和唤醒学生，不断感悟，逐步扩张、丰富和完善所建立的知识网络。

在培养学生进行系统性题型整合的数次探究活动中，大部分学生都越来越积极地表现出参与意识，这不仅是因为应试的需求，更因为当学生亲历思考过程，在不断整合中逐步探究，逐渐完善起属于自己的，能准确再现的数学体系后，发觉自己可以更扎实地把握数学知识。这个过程激发了他们学习数学的兴趣，增强了他们学习数学的信心。

不同程度的学生从不同的角度对知识进行了再加工：高水平学生借着这次机会梳理了知识间的逻辑联系，在头脑中形成了一个清楚完整的知识结构；中等水平生在反复修改和完善中检验了知识的完备性；较弱水平的学生则借助最后的整理和讲解以抄代记，加强了对各种题型的强化记忆。课堂的展示汇报环节不仅能让同学们体会到教师在台上讲解的辛苦，更能迫使他们站在“教”的角度将自己思维逻辑传达给其他学生，这要求学生更清晰地厘清知识的来龙去脉，更缜密更有逻辑地思考问题，使他们能够形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质和理性精神，增强了交流能力。而最后印发的论文成品在温书期间也起到了提高复习效率的效果，它覆盖了主要知识面，注明了每类题型对应解法步骤、注意点，使学生在遇到相关问题时，能快速从自己的网络体系里将所需要的知识与技能准确检索出来，动员它们前来参与解题活动，不在回忆上浪费时间，而把更多精力放在整体地运用基本技能将题目解完。［1］

几年前参与系统性题型整合探究活动的学生在毕业后给笔者留言：“我觉得分组自拟题型网的方法对于提高数学是很有效的。我们在学习一段时间后，头脑中的知识点如果不经过整理就会混淆，因此要定期梳理。首先，在翻书的过程中我们就可以通过目录和要点弄清结构，一些概念和定义又得到了强化；其次，梳理题型和找例题的过程，不仅能巩固错题还能慢慢理清思路；再者，教师对于题型网的补充，突出了重难点，使它更精更有准确性。这个方法对于不懂学习数学的学生效果很实用，分组中同学沟通合作还能获得更多的信息，考前复习也能更有效率，最终我们从中掌握相关的数学思想，也明白怎样运用”“做题型网给我最大的收获就是我不再恐惧压轴题。在做题型网之前，我一直抱着第一小题拿分，第二三小题看灵感的考试策略。但是当我做完题型网后，已经很熟悉压轴题大概会考哪些题型，每种题型也都有各自的解决策略，这对我的解题思路有很大的帮助。能让我看到一种题型时迅速反应出该从哪个切入点下手，而不是盲目的碰运气做多少是多少”。

四、知识整合带来的启示

从核心素养的角度培养学生系统地整理数学知识，其价值并不在于学生把题型都覆盖全了没有，而在于学生在亲历构建的过程中，是否理解了知识的内部联系，将技能、知识点和其中渗透的思想方法融合为一体，并理清它们之间的逻辑关系。

教育的出发点和落脚点就是让学生经历一种成长、见证一种成长。［2］我们在教学实践中，要不断探索和创新教学方式，不仅重视如何教，更要重视如何引导学生会学数学，养成良好的学习习惯，要努力激发学生数学学习的兴趣，增强学生学习数学的自信心，［1］为学生的可持续性发展和适应终身学习创造条件、做好准备，充分体现数学课程“以人为本”的理念。顺着学生的认知规律不断向前推进，学生的学习品质和生命品格才能在感悟中不断得到有效、有度的锤炼，数学知识只有内化为数学智慧，积淀成核心素养，才会产生强大的思维力量，为学生终身学习和发展奠定数学基础。［3］