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起点低 立意新 蕴意深*
——2017年江苏省南京市数学中考题第22题评析

2018-04-03东庐初级中学江苏南京211200

中学教研(数学) 2018年4期
关键词:尺规作图直角

●   (东庐初级中学,江苏 南京 211200)

2017年江苏省南京市数学中考题第22题的尺规作图,可谓考法新颖.一般尺规作图的考法是预先给出一些条件,按要求作出具备这些条件的图形.而本题让学生通过尺规作图判断一个角是否为直角,并用文字说明,这其中渗透了图形语言、文字语言、符号语言的相互切换.试题要求用两种不同的方法,具有创新性,意在通过一题打通几何各板块的知识,需要学生的深度思考,以及在平时的解题过程中,注重经验的积累.

1 试题的呈现及参考答案

1.1试题的呈现

题目“直角”在初中几何学习中无处不在.如图1,已知∠AOB,请仿照小丽的方式,再用两种不同的方法判断∠AOB是否为直角(仅限用直尺和圆规).

图1   图2

小丽的方法:如图2,在OA,OB上分别取点C,D,以C为圆心、CD长为半径画弧,交OB的反向延长线于点E,若OE=OD,则∠AOB=90°.

(2017年江苏省南京市数学中考试题第22题)

1.2试题的参考答案

方法1如图3,在射线OA,OB上分别截取OC=4,OD=3,若CD=5,则∠AOB=90°.

图3   图4

方法2如图4,在射线OA,OB上分别取点C,D,以CD为直径画圆.若点O在圆上,则∠AOB=90°.

分析方法1是根据勾股定理作图,方法2是根据直径所对的圆周角为直角作图.

2 特色解读

2.1起点低,通俗易懂

命题的起点是直角,而直角在初中几何中无处不在,这种低起点的命题,让每一个考生都有一种熟悉感.本题同时给出了一种示例(小丽的方法),让学生可以参照示例展开思维,给学生以思维的启迪.命题者给出示例,无疑是想给学生搭设台阶,让学生拾级而上.示例让本题更通俗易懂,而不是一开始就置学生于死局,让学生觉得“跳一跳可以够得到”,因此本题无疑是一道起点低、人人能读懂的好题.这种命题正切合了《义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《课标》)提出的培养目标,要面向全体学生,适应学生的个性发展需要,使得:人人都能获得良好的数学教育,不同的人在数学上得到不同的发展.

2.2立意新,体现公平

“直角在初中几何学习中无处不在”以此命题,这对所有的考生都是公平的.在初中的几何学习中,直角就像空气,存在于几何学习的任何一个角落.对于尺规作图,常规的试题均是给出要求,让学生按要求用尺规作出相应的图形.本题一反常态地设置了一道开放性习题,而开放性试题一般在几何证明题中出现频率比较高,在尺规作图中出现开放性试题,可谓立意新颖.本题区别于以往的试题,不是直接让学生作出直角,而是重在考查学生是否会思考,能否思考得到利用直角来解决的相关途径,这才是本题的核心所在.而这一环节正是解决此题的一个建模过程,在作图题中考查建模思想方法,可谓让人耳目一新.

对于这种题型,可能需要学生在草稿纸上先构思草图,这也考查学生作草图的能力,再依据草图,思考如何依据草图完成尺规作图,以达到本题的预期结果.本题考查的方式亦新颖别致,给出一个角,通过尺规作图来判断此角是直角.也就是说用尺规完成基本作图,在完成作图后还渗透了对几何推理以及数学思想方法的考查,如方法1就是利用勾股定理来构造直角,而勾股定理正是数形结合思想方法的典例.试题把基本作图与相关推理、数学建模、数学思想方法相融合,所呈现的立意令人眼前一亮,更是无形中渗透了数学学科核心素养中的逻辑推理、数学建模能力.

2.3蕴意深,鼓励创新

试题让考生给出两种不同的方法,给学生留下了很大的创新空间.由于每一位考生的思维不一样,每一位考生都用自己擅长的知识来解决此题,因此设置此题,鼓励了学生的创造性.美国科学家贝尔曾说过:“创新有时需要离开常走的大道,潜入森林,你就肯定会发现前所未见的东西.”解题需要创新,这样才能培养学生的创新思维.由于开放性的设计,学生所用的方法涵盖了《课标》中有关尺规作图的大部分内容.正是这种开放性,鼓励了学生自己独立思考,学会思考,这样学生才有创新的空间,才能点燃思维的火花.因为题目要求给出两种不同的方法,学生在给出解答的过程中,势必要构思解决问题的途径及策略,在寻找途径的过程中,就蕴含运用不同的思想方法、不同的建模过程以及对应不同的推理过程,这里所有的不同,均体现了创新,意在鼓励学生的创造性思维.本题除了参考答案的两种方法,还有以下5种不同的方法:

图5   图6

方法4如图6,在射线OB上任取一点C,作线段OC的垂直平分线EF,交射线OB于点D;作∠HOB=∠EDB,若射线OH与射线OA重合,则∠AOB=90°.

方法5如图7,以点O为圆心、以任意长为半径画弧交射线OB于点E;再以O为圆心、以任意长为半径画弧交射线OA于点F;作线段EF的垂直平分线MN,交线段EF于点H;联结OH,若OH=FH=EH,则∠AOB=90°.

图7   图8

方法6如图8,在∠AOB内,任意作一条射线OC;作∠EOA=∠AOC,∠FOB=∠BOC,若点E,O,F在同一直线上,则∠AOB=90°.

图9

方法7如图9,在射线OA上任取一点C,以点C为圆心、以OC的长为半径画圆,若射线OB与⊙C相切于点O,则∠AOB=90°.

还有许多方法,限于篇幅,不再赘述.

3 试题对教学的启示

3.1重深度思考,培养学生思维的深广度

《课标》指出:数学教学活动应激发学生的兴趣,调动学生的积极性,引发学生的数学思考,鼓励学生的创造性思维;要注重培养学生良好的数学学习习惯,让学生掌握恰当的数学学习方法.它指出:能够运用尺规作图完成基本作图;能用基本作图完成部分与三角形、圆有关的作图;了解作图的原理等内容.是的,我们的教学肯定不能只停留在知识和技能上,更应该教会学生学会“数学思考”,让知识变得透彻,让思维得以延续,让数学本质得以挖掘,启发学生学会数学思考[1].

本题虽是一道作图题,却涵盖了初中阶段的大部分尺规作图,试题的开放性,更是注重学生的思考,符合课标提出的要求.波利亚曾说:“掌握数学就意味着善于解题,不仅善于解一些标准的题,而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发明创造的题.”[2]解决本题的关键是通过何种途径作出直角,学生思考的角度可以是:勾股定理;直径所对的圆周角是直角;作垂直平分线;过一点作已知直线的垂线;如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形;邻补角的两条角平分线构成一个直角;圆的切线垂直于过切点的半径等.只有学生深度思考如何作出直角,才能突破本题.这些方法的出现,正是体现了数学学科核心素养中的数学建模能力,并在建模过程中培养了学生思维的深度和广度.

本题对教学的启示是:教师在教学过程中,不应该就题讲题,而应该在讲解习题时,将习题拓展开来,注重一题多解,把与例题相关的知识汇成知识网.一题多解,更是引发学生思考,培养学生的思维,使知识交互错织.教学中,教师除了课堂上自己引导学生思考题目是否有其他方法外,也要让学生在解题时自己进行思考是否有其他的方法,经常进行这样的训练,久而久之学生就能养成多角度思考问题的习惯,学生的思维也在无形中得到提升.这样学生遇到新问题时,才会启动思维,思考更多的解决问题的途径,甚至当其中一条途径走不通的时候,亦可快速转到另一条途径,而不是钻进死胡同、束手无策.

3.2重经验积累,培养学生的应用意识

《课标》指出:数学活动经验是提高学生数学素养的重要标志.帮助学生积累数学活动经验是数学教学的重要目标,是学生不断经历、体验各种数学活动过程的结果.数学活动经验需要在“做”的过程和“思考”的过程中积淀,是数学学习活动过程中逐步积累的.

积累基本的数学活动经验是《新课标》增加的一项目标,这就要求教师在平时的教学中要注重过程的探究,注重知识的发生、发展过程,学生才能在遇到陌生的题目时,灵活运用已经积累的数学活动经验,将题目剖析到位,从而培养学生的应用意识.本题中的方法5、方法6其实是平时做题中的经验总结,把平时做过的题目中得到的结论灵活运用到新的试题中,这正体现了学生的应用意识.

本道中考题给教学的另一个启示是:教师在平时的教学中,应教会学生如何分析题目,而不是直接告诉题目答案.这种分析题目的过程,寻求解决问题的途径,亦是一种数学活动经验的总结,同时在解题之后,应引导学生及时总结题目所蕴含的结论以及所涉及的思想方法,以便灵活运用到其他的试题中.平时教学中更要注意加强知识的纵横联系,帮助学生构建合理的知识结构与知识系统,提高学生在新问题情境下准确把握核心知识、形成解题决策的能力[3].这就要求教师在讲解习题的过程中,应多问几个“为什么”,多设几个探究活动,注意知识的“生长点”“延伸点”,每一道题应尽可能地让学生思考不同的方法,为的是将知识置于整个知识体系中,让学生经历知识的发生发展过程,积累数学活动经验,再用积累的数学活动经验解决陌生的题目,从而提高运用已有经验解决新问题的能力,培养应用意识.也就是说,只有当数学活动经验积累丰富时,才能在做新题时,厚积而薄发,学生的应用意识也在无形中得到提高.

总之,本题起点低,立意新,蕴意深,注重学生各方面能力的考查以及平时的数学活动经验的积累,是一道难得的好题.教师在平时的教学中,应注重引发学生进行深度思考,帮助学生积累更多的数学活动经验.

[1]叶晓武.挖掘教材超越教材——由一道学考题引发的教学思考[J].中学教研(数学),2016(4):10-13.

[2]波利亚.怎样解题[M].涂泓,冯承天,译.上海:上海科技教育出版社,2010.

[3]卢明.稳重求变体现创新——2015年浙江数学高考理科数列试题评析[J].中学教研(数学),2015(8):21-25.

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