算法算理并重 提升数学素养*——对一道解析几何题的教学思考

●　　(象山中学,浙江 象山　315700)

1　问题提出

解析几何既是一种重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，其本质是利用代数的方法研究图形的几何性质．不久前，笔者听了一节高三解析几何复习的公开课，执教教师以2017年浙江省数学高考试题第21题为例展开教学.笔者通过观察发现，在整个教学活动中，教师教学方式单一，一道例题加几个变式，侧重于几何问题代数化的思路分析，轻视解题过程中运算的分析引导，对其中具体如何运算以及如何优化运算一带而过，导致解析几何题的教学未能很好地落实运算技能，学生解题效率低．

图1

1)求直线AP斜率的取值范围；

2)求|PA|·|PQ|的最大值.

(2017年浙江省数学高考试题第21题)

作为2017年的高考阅卷参与者，笔者深有感触，此题是一道以抛物线为背景的函数值域问题，知识上主要考查直线斜率的概念、直线与圆锥曲线的位置关系，思想上主要考查不等式、函数与方程以及数形结合与转化思想.常见的背景、简单的问题、基本的方法，笔者认为绝大部分考生拿到该考题都会倍感“亲切”，但获得阅卷统计结果后笔者大呼意外，此题全省平均分为4.92(含0分)、5.63(不含0分)，可见29.1万考生中近3.6万人得分为0.如此结果，与其说考生临考心理压力大，不如说这是平时教学中教师对解析几何问题只重视“解”与“析”而轻视解题过程的具体运算与算理的揭示，忽视学生核心素养提升的结果.这不得不令人反思，解析几何的解题教学目标应该是什么？

2　聚焦运算，对运算进行“微研究”

数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种重要形式，是得到数学结果的重要手段.但实际教学中笔者发现，很多学生运算能力不足，一旦运算较为繁杂，信心受挫，学生就会在“思路易知，运算难行”的兴叹中无奈放弃.这是学生畏惧解析几何题的主要原因之一.因此，在解析几何解题教学过程中，教师应引导学生探究运算程序的设计，揭示运算中的数学思维过程，理清思维走向中的每种转化与运算视角，展示运算过程的细节，带领学生分析实施算法的运算长度及合理性，评估其中可能的思维障碍，并及时作出改进与优化方案使学生获得运算求解的基本经验.

解题时的算法设计就是学生在解题时给思维方向定下的基调，就第1)小题而言，思路形成后的算法可以如下设计：

思路1：由点P的坐标，表示出直线AP的方程.

思路2：由直线AP与抛物线有交点，将问题从不同知识视角进行转化.

思路3：计算目标量的范围.

一般而言，问题的转化方向取决于学生对题目条件的理解与认识，方向不同会导致运算上的繁简不同.在教学中，我们需要对其中的运算做进一步的“微研究”：对于思路1和思路2，教师可引导学生在不同转化视角方向下，分析选择直线方程不同的形式对后续运算的影响，让不同层次的学生感受到不同的设法导致的运算长度差异.

分析设成点斜式直接而熟悉，但可能因为在具体解题所采用的转化策略中，字母较多，目标意识不强，在消元、变形时迷失方向；而直线的参数形式虽平时运用少而较陌生，但变量较少，化简方向明确.据此分析，学生将会结合自身实际情况选择合适的运算方式，进而形成基本活动经验.

1)解记P(m,m2)，设直线AP的斜率为k，则直线AP的方程为

即

4kx-4y+2k+1=0.

转化1(方程与不等式视角)联立直线AP与抛物线方程，由韦达定理，得

故

解得-1

即直线AP斜率的取值范围为(-1,1).

转化3(根的分布视角)因为直线AP与抛物线x2=y有交点A，P,由

记函数f(x)=4x2-4kx-2k-1，则

解得-1

即

于是

-1

转化5(直线的参数方程视角)设直线AP的倾斜角为θ，则θ∈[0,π)，且AP的参数方程为

点评思路2是学生在课堂学习中提升数学运算素养的重要环节，有必要让学生体会到运算方式的差异对运算速度和准确率的影响.在计算“AP斜率的取值范围”时，其运算方式可以是直接运用斜率计算公式，也可转化为研究其满足的数学关系，两种方式对解题的运算长度影响迥异，对学生思维的要求也不同，前者是单向线性的思维体现，后者则是多向整体思维的交互.

通过问题对解题的算法设计、运算节点进行切片式的“微研究”，解析几何例题的教学方式不是单一的、枯燥的讲题与被动机械的演练，而是一个使学生的思维由浅入深、从粗到细慢慢展开的生动活泼、充满探索与思辨的活动过程.在这个过程中，学生既有对自己已有运算经验的调整与反思，也有对他人思维的借鉴与模仿，还有对代数式观察、运算方向监控、运算长度预估等多重的思维训练.在这样的过程中，学生的思维品质和数学运算素养都将得到相应的提升.

3　理解算理，对算理进行“细剖析”

数学运算是运算技能与逻辑思维等的有机结合，是数学素养中最基本的技能和最基本的素质.任何运算都离不开算理的支撑，算理为分析运算条件、理解运算对象提供正确的思维方式，保证运算方向探究的合理性和运算方法选择的正确性.在教学中，教师重视具体算法的形成和例习题的数量，贪多求快，而不愿放慢脚步引导学生提炼揭示算理，认为这是高中学生本应具备的“基本素质”.欲速则不达，学生“屡算屡错”不仅是“算法”不好，运算技能不过关，更主要的是算理不明.对相应的例题仔细剖析算理，有助于学生寻找合理简洁的运算途径去解决问题.

第2)小题的算法常规设计思路如下：

思路1：由直线AP与BQ的关系，得到BQ的方程.

思路2：求得点Q的坐标，进而确定|AP|，|PQ|的表示式.

思路3：计算|PA|·|PQ|的最大值.

实现以上算法可得到以下具体解题过程：

2)解法1因为BQ⊥AP，故直线BQ的方程为

联立直线AP,BQ的方程，解得

又点P(m,m2)满足方程

则

因此

|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3，

这种根据题目循“叙”渐进的算法易想难算，需要教师引导学生深入剖析算法背后隐性的“算理”.优化解题思维，追求算法的多样化与灵活性，实现多想少算或巧算，防止“一算到底”，才有助于学生学会独立地探索问题更优良的算法，为解决问题发现合理简洁的运算途径.

回顾以上运算过程，可以发现“消元”是显性的算理，而“转化”思想则是隐藏其中的基本算理，但如何转化、向什么方向转化则是需要细加剖析的.反思|PQ|的表示，点Q的坐标是不是必须明确求出？算理与具体的数学知识紧密相联，教师梳理解析几何的代数运算性特点，为学生解法的“再创造”提供更多的素材：解释平面几何图形的基本知识有角与距离，涉及的公式有斜率、两点间的距离(弦长)、点线距离、勾股定理与正余弦定理以及向量工具等.这些知识应用的关键在于：思考如何通过分析图形的几何特点，转化到可利用对应的基本公式运算.算理的“细剖析”启发学生思考“为什么这样转化运算”，促使学生根据自身的知识理解情况选择更适合自己的“算法”进行运算，使学生在活动中优化解题策略，积累方法和经验.

又BQ⊥AP，则点B到直线AP的距离

由勾股定理，得

因为k∈(-1,1)，所以由均值不等式，得

|PA|·|PQ|=|(k+1)3(k-1)|=

图2

解法3如图2，联结BP.由BQ⊥AP，得

|PQ|=|PB|cos∠BPQ=-|PB|cos∠BPA.

在△ABP中,

由余弦定理，得

|PA|·|PQ|=-|PA|·|PB|cos∠BPA=

解法4由点A,P,Q共线，得

|PA|=-t1，|PQ|=t2,

f′(m)=-4m3+3m+1=

-(m-1)(2m+1)2≥0，

图3

|PA|·|PQ|=|PD|·|PE|=

(|MD|+|MP|)(|ME|-|MP|)=

故当|MP|最小，即以M为圆心、以MP为半径的圆与抛物线x2=y相切时，|PA|·|PQ|最大.此时，以MP为半径的圆与抛物线x2=y在点P(m,m2)处有公切线，切线斜率为

k=y′=2m，

整理得

4m3-3m-1=0，

即

(m-1)(2m+1)2=0.

运算不能离开具体的数学知识而孤立进行，也离不开记忆观察、联想理解.通过“BQ⊥AP”这一关键信息进行代数意义的研究或几何位置关系上的揭示，选择变量之一进行消元，选择利用多种知识从不同角度表示出目标式|PA|·|PQ|，再结合基本不等式或由|PA|·|PQ|的抽象形式表示转化为几何直观理解，以形助数将目标式中的变量实现整体消去，优化运算过程而求得结果.显然，算理的提炼帮助学生透彻理解算理，消除学生执行算法时的盲目，避免复杂的运算，让学生在“以原理指导过程”的剖析中，感悟获得进行类似操作的思维范式，对学生形成计算技能、提高运算信心大有帮助.

4　揭示背景，对问题进行“深思考”

高三数学复习教学应成为学生期待的课堂，教师应尽量通过典型例题使学生有新收获，能发现典型例题背后的新鲜事，避免使之成为“一本资料、一块黑板、一支粉笔”加上“一个演员”的独幕剧.这需要师生共同通过对数学知识深层次的思考，揭示蕴涵其中的数学思想方法,挖掘问题背景，激发学生研究问题的意识和能力；提升例题的附加值，使其教学价值向深层延伸，发挥应有的教学功能，使学生学会用数学的眼光主动探求知识，学会数学抽象,积累从具体问题到抽象的活动经验．

再次引导学生回顾反思上面的解题过程，注意到当|MP|最小时，直线MP与点P处的切线互相垂直，即直线MP是抛物线在点P处的法线，不难收获两个简单的性质：

性质1若抛物线外一点M与抛物线上点P的距离|PM|最小，则抛物线在点P处的法线经过点M.

继续引导学生通过观察猜想、运算归纳、推理论证等一系列的思维活动，寻找问题背景的奇异处，可以发现直线AB是抛物线在点A处的法线，抛物线的法线有什么特别性质吗？沿命题者的思维轨迹尽可能延伸下去，就有可能发现抛物线法线的一个更美丽的结果.

图4

进一步，可以将结论1推广到一般情况：若点A,B为抛物线y2=2px(其中p≠0)上的两个点，且直线AB为抛物线点A处的法线，则对抛物线上任意异于点A,B的动点P，作PM⊥AB,PN⊥x轴分别交直线AB于点M,N，有|AN|2=|AM|·|AB|(限于篇幅，不再赘述其证明).

总之，解析几何是高考的热点与重点内容之一，也是学生所面临的解题难点．思路诚可贵，运算价更高，运算的作用不仅仅是求出结果，还隐藏着严谨的代数论证．学生对解析几何问题的理解，直接影响他们解决问题时算理的选择和运算策略的制定．在复习过程中，教师既要突出解析几何用代数语言描述几何要素及其关系、将几何问题转化为代数问题的思想，更要让学生体会到如何运算，体验用发现的眼光看到“门里的诗画盆栽”，欣赏到“门外的雄川峻岭”，促进学生逻辑推理、运算求解能力的提高，体会数学学习的乐趣，从而提升学生的数学素养．