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基于APOS理论的初中数学法则课教学实践与思考

2018-04-02广州市第七中学实验学校李林华

师道(教研) 2018年4期
关键词:分母图式方程

文/广州市第七中学实验学校 李林华

APOS理论是一种建构主义的数学学习理论,是由美国数学教育学家杜宾斯基 (Dubinsky)等人提出的。APOS分别是由英文 “Action(操作)” “Process(过程)“Object(对象)” “Scheme (图式)”的第一个字母组合而成。APOS理论认为:在数学学习中,如果引导个体通过具体的操作行为到思维的操作,再到过程和对象阶段后,个体一般就能在建构、反思的基础上把它们组合成图式,从而理清问题情境,顺利解决问题。通过查阅有关文献我们发现,国内外研究者主要关注APOS理论在数学概念教学中的应用,并取得了一定的成果,而关注APOS理论在数学法则教学中的应用研究却很少。因此,笔者尝试将APOS理论运用到初中数学法则的教学中,并以新人教版七年级上册第三章3.3《解一元一次方程——去分母》教学为例,阐述教学实践与教学思考。

一、教学过程

(一)操作阶段——创设情境,引入法则

“操作”泛指数学活动,如动手操作、猜想、回忆、计算、推理等。为了让学生通过操作、思考和讨论等数学活动来解决问题,笔者创设了如下问题情境:

《九章算术》是中国古代具有代表性的数学著作,它奠定了中国古代数学的基本框架,它的代数成就主要包括开方术、正负术和方程术,其中方程术是 《九章算术》最高的数学成就。 《九章算术》中记载: “今有人共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数、鸡价各几何?”译文: “有若干个人一起买鸡,如果每人出9文钱,就多余11文钱;如果每人出6文钱,还缺16文钱.问买鸡的人数和鸡的价钱各是多少?”

然后用课件出示问题情境和相关图片,并提问:

问题1:我们如何设未知数列方程呢?

此问题情境属于中国古代数学的 “盈不足问题”,在利用 “移项”解一元一次方程中学生已经学习过,因此学生能较快得到如下解答:设人数有x人,根据题意列出方程 9x-11=6x+16①,解得 x=9,再把x=9代入 (9x-11)可得鸡的价钱是70文钱。

教师及时肯定学生的解法,并追问:

问题2:如果设鸡的价钱是m文钱,那么我们又该如何列方程呢?

学生:设鸡的价钱是m文钱,如果每人出9文钱,就多余11文钱,那么所有人出的总钱数是 (m+11)文钱,所以共有人;如果每人出6文钱,还缺16文钱,那么所有人出的总钱数是 (m-16)文钱,所以共有人。由于买鸡人数是一个定值,从而列出方程

问题3:方程①与方程②之间有怎样的联系?

学生:方程①是根据鸡的价钱不变列方程的,方程②是根据买鸡人数不变列方程的。事实上,由于9x-11=6x+16=m,通过移项、系数化为1可得因此可得方程:这说明方程①与方程②在本问题中是等价的。

以学生熟悉的 “盈不足问题”创设情境引入新课,营造轻松的学习环境,使学生产生较强的求知欲望。通过同一道题目两种不同的设未知数方法,巧妙地把新旧知识联系在一起,既复习了学过的知识,又引出了带有分数系数的一元一次方程,直接指向本节课的教学内容。

(二)过程阶段——合作交流,习得法则

过程阶段是在操作阶段的基础上进行思考与概括、描述与整合,是在大脑中进行的一种内部的心理建构,进而形成一种模式的阶段。

教师继续提问,引导学生分析思考:

问题4:方程②该如何求解呢?

在教师的引导下,学生进行了热烈的讨论,其中三名学生说出了各自的想法。

学生②:根据比例的内项之积等于外项之积,那么方程②就可以直接转化为9(m-16)=6(m+11),然后根据前面学过的解法求出方程的解。

学生③:前面我们已经学习了等式的性质2,那么方程②两边同时乘以18,可以得到2(m+11)=3(m-16),然后根据前面学过的解法求出方程的解。

三名学生的精彩回答赢得了全班同学热烈的掌声,教师顺势追问:

问题5:学生③的解法中方程②两边同时乘以18的目的是什么?还可以乘以其他数吗?

问题6:三种解法各有什么特点与联系?我们采用什么方法解方程更好?

教师根据学生的回答并总结归纳:根据等式的性质2及乘法分配律,在方程两边同时乘以各分母的最小公倍数可以去分母。

至此,学生在已有经验基础上,经过思考、讨论,体会并理解了 “去分母”这一数学法则的目的及依据,为后续解方程做好了铺垫。

接着,教师进行变式练习。通过变式训练,学生感受到了去分母方法的简便,同时对去分母的目的和依据有了进一步的理解。

(三)对象阶段——学习样例,理解法则

对象阶段是指给习得的法则赋予形式化的表达,使其成为一个具体的 “对象”,此阶段可以使学生对所学的数学法则进一步精致化,从而达到对法则真正的理解。

问题7:解含分数系数的一元一次方程的基本步骤有哪些?每一个步骤有什么注意事项?

问题8:以为未知数的方程逐步向着x=a的形式转化的主要依据是什么?

学生独立完成例题1的解答,然后分组讨论问题7、问题8,在讨论过程中互相补充、完善,最后师生一起总结归纳得出结论。

教师用框图展示解法流程,并在黑板上板书解题过程如下,使学生更加明确其解题步骤,规范其书写格式,并及时总结解题过程中可能出现的错误,加深学生对数学法则的理解,从而使数学法则深深地建立在学生的头脑中,以后遇到含分数系数的方程就可以直接提取使用。

(四)图式阶段——拓展提高,应用法则

学生在经历了前三个阶段的学习,此时数学法则就以一种立体的、多层次的认知对象存在于脑海之中,这时的对象称为 “图式”。在这一认知基础上去解决相关的问题,能促使学生对所学法则的认识更加全面、丰富、清晰,运用更加灵活。

笔者又出示了下列题组,供学生思考训练:

有了儿子,感到很幸福;可是儿子只活了他父亲全部年龄的一半;儿子死后,他在极度悲痛中度过了四年,也与世长辞了。”你知道丢番图去世时的年龄吗?

本题组从不同的角度考查学生对去分母的理解程度,促使学生对学习的法则进行迁移、应用。练习1分母由整数变成了小数,考查学生对去分母的方法是否掌握;练习2中的未知数由替换为,并且以相反数的知识为情境,要求学生先列出方程再求解;练习3结合方程的解的概念考查一元一次方程的解法。

最后教师以思考题的形式引导学生小结:

问题9:本节课学习了哪些主要内容?

问题10:去分母法则是怎么得到的?去分母法则的依据是什么?应用去分母法则时应该注意什么问题?

通过题组练习和课堂小结,深化了学生对去分母的理解,完善了学生的认知结构, “图式”基本上形成了,以后当学生遇到含分数系数的方程时,学生就会积极调动与之相关的图式,正向迁移,顺利地解决问题。

二、教学思考

APOS理论与 《义务教育数学课程标准》(2011年版)所倡导的“自主探索、动手实践、合作交流”的教学理念不谋而合。但另一方面,也要看到并不是所有数学法则课的教学都适合用APOS理论来分析,什么教学内容适合运用APOS理论进行指导,这是一个值得探究的问题。其次,APOS理论的四个阶段应将其视为一个连续的过程,既不能割裂开来,也不能绝对化,实际操作中往往会有相互穿插的情况出现,但达到图式水平的教学目标不变,如何将教学环节与APOS理论的四个阶段建立实质上的联系,是一项富有挑战性的工作。

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