渗透分类讨论思想 提升数学解题能力

李早华

(江苏省海门市第一中学 226100)

一、参数分类，分析函数变化

高中数学试题中，往往会涉及较多的参数.参数范围的变化，会引起函数的变化，因此，在解题的过程中，必须将影响函数变化的参数进行分类讨论.

在习题课上，我给学生出了一道题.题目是：证明函数f(x)=x6-x3+x2-x+1的值恒为正数.学生刚看到试题时，大多数并没有思路.我先问：影响f(x)的数值的因素有哪些呢？学生纷纷回答是参数x.然后，我就引导学生对参数进行分类，将参数x分为三类：x<0、0≤x≤1、x>1.当x<0时，f(x)的每一项都是正数，则f(x)一定大于零；当0≤x≤1时，x6-x3+x2-x+1中的x6-x3，x2-x均小于等于零，所以就不能判断x6-x3+x2-x和1的大小关系，将函数进行变形，即f(x)=x6+x2(1-x)+(1-x),这样各项都是大于零，函数为正数.当x>1时，我们也可以将函数形式进行变形，可以得到x3(x3-1)+x(x-1)+1，这样各项都是大于零的.综上所述，函数f(x)的值恒为正数.

在高中数学试题中，关于参数分类的试题众多，在教学过程中，遇到参数问题，教师应当为学生不断渗透分类思想，促使学生能够举一反三，很好地解决类似问题.

二、结果分类，探究变量数值

高中数学中，有些问题的结果，通过认真阅读试题，学生可以做一个预判.通过前提假设结果，去探讨题目中涉及变量的数值，也是分类思想在高中数学的一个重要应用.问题的结果包含多种情况，抓住主要影响变量，确定其变化的条件和范围，就可以很好的得到我们预定的结果.当然，最初假设的结果可能也存在错误，在学生对变量进行分析时，也要引导学生对结果进行论证，这样，学生逻辑思维能力会得到全面提升.

最值问题，学生往往都知道函数在极值点、端点处容易取得最值.但是在实际解题中，学生经常因为不知如何有效分类，而导致出现错误.为了使学生在解决最值问题上提高准确率，我对其可能的情况进行分类讲解.首先最值可能在单调性变化处改变，由此，需要对函数的单调性进行分类，函数的导数值的正负性可以很好的反映函数的单调性，因此对函数的导数进行分类，当f′(x)>0时，f(x)为增函数，当f′(x)<0时，f(x)为减函数.确定函数单调性之后，那么需要对函数值进行分类，函数值可能为最大值，也可能为最小值.当函数在x0为极大值点，那么在x0附近的点，都有f(x)

三、公比分类，确定取值范围

分类讨论思想在解决高中数学数列问题中也得到了广泛应用，特别是在解决周期性数列、等比数列问题等方面.学生利用分类讨论的思想，对数列公比进行分类讨论，可以很快地确定函数的取值范围，即提高了解题速率，也提高了解题的准确性.

在解决等比数列问题时，往往要对公比进行分类，这样才能更好地得知等比数列各项数值.例如：设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3=3/2，S3=9/2，求数列{an}的通项公式.在解决该问题时，如果不对公比进行分类，则会漏项，出现错误.在解决这样问题时，首先对公比进行分类，当q=1时，a1=a2=a3=3/2，则an=3/2.若q≠1时，Sn=a1(1—qn)/(1—q)，an=a1qn-1，可得an=6×(-1/2)n-1.将分类讨论的思想渗透到数列的教学中，为学生捋清解决数列问题的思路提供了良好的方法.这样，有助于提升学生解题的正确性和自信心.

四、底数分类，明确对数关系

在高中数学解题过程中，对于对数问题往往需要进行分类讨论，通过分类讨论才能有效的保证学生能够从各个角度认识问题，对问题有深度的解析，提升解题的效率和准确性.

在教授与对数有关的内容时，我们往往要对底数进行分类，因为底数的不同会影响对数函数的单调性.当底数大于0小于1时，对数函数在定义域上单调递减；当底数大于1时，对数函数在定义域上单调递增.在教授这部分内容时，我首先给学生们出了一道题目，题目的内容是解不等式logn(1-1/x)>1.学生们看到这道题目中含有两个未知数，之后感觉很茫然不知道该如何去入手.然后我提醒学生们对底数n进行分类讨论，听到我的提醒后学生们恍然大悟，然后学生们赶紧进行解答.不一会儿，学生们便得出了结果.学生们的结果非常正确.后来我让学生们对对数的性质进行复习，因为只有熟练地掌握对数的相关性质才能更好地对对数问题进行分类讨论.

总之，分类讨论思想是高中数学解题中常用的一种思想.有效的对问题进行分类，不仅可以提高解题的速率，还可以提高解题的准确性.