非线性退化抛物变分不等式问题解的存在性和唯一性

李志广,康淑瑰

(山西大同大学数学与计算机科学学院,山西大同 037009)

1　引言

期权定价是金融数学的重要研究内容[1,2],变分不等式则在美式期权定价理论中起着至关重要的作用,美式期权定价问题最终都归结为一个抛物变分不等式问题(见文献[3–6]).在美式期权定价和分期付款模型中构成变分不等式的抛物微分算子完全是线性的(算子的系数是常数),其解的存在性和唯一性都得到了广泛的研究.后来,人们在研究Levy模型下的美式期权定价时,发现构成变分不等式的微分算子不可能是常系数的(见文献[7]).近些年来,已有文献在拟线性微分算子的基础上开展上述工作.文献[8,9]利用有限元逼近方法研究了拟线性算子情形下抛物变分不等式解的存在性和唯一性和范数下的误差估计.文献[10]研究了一类混合边界条件下的变分不等式问题,提出了一种新的离散格式,得到了解的存在性和唯一性.

到目前有关退化抛物算子情形下的变分不等式问题还未见文献,本文在推广的Lp(x)(Ω)空间和Sobolev空间W1,p(x)(Ω)上研究了一类基于退化抛物算子的变分不等式问题.采用惩罚方法给出了其弱解的存在性和唯一性.为了克服退化抛物算子带来的困难,本文提供了一种新的构造方法.

本文在柱体ΩT考虑如下退化抛物变分不等式的初边值问题

其中Ω是RN上的有界集,ΩT=Ω×[0,T],T＞0,L是退化抛物算子满足

p(x)为Ω上的可测函数,γ∈(0,1),σ∈[1,1+γ),初值条件满足

2　预备知识

为证明主要结论,需要用到如下有关推广Lp(x)(Ω)空间和W1,p(x)(Ω)空间方面的理论,见文献[11,12].设

引理2.1(1)Lp(x)(Ω)和W1,p(x)(Ω)是自反Banach空间.

(2)假设p1(x)和p2(x)是Ω 上的可测函数满足p1(x)−1+p2(x)−1=1,p1(x)＞ 1,则∀u ∈ Lp1(x)(Ω),v ∈ Lp2(x)(Ω),有

(3)若 |u|Lp1(x)(Ω)=1,则若 |u|Lp1(x)(Ω)＞ 1,则

若 |u|Lp1(x)(Ω)≤ 1,则

(4)如果 p1(x)≤ p2(x),则 Lp1(x)(Ω)⊃ Lp2(x)(Ω).

引理2.2如果p(x)∈C(),则存在正常数C使得

引理 2.3设常数,则

其中C是仅依赖p(x)的正常数.

引理2.4设u1和u2满足

若∀x∈Ω 有u2(x,0)≥u1(x,0);∀(x,t)∈∂Ω×(0,T)有u2(x,t)≥u1(x,t),则

引理2.5若Lu1+f(x,t,u1)≤Lu2+f(x,t,u2),∀(x,t)∈ΩT,则引理2.4中结论依然成立,其中f(x,t,u)关于u单调非降.

定义单调极大算子

且令集合

定义2.1称(u,ξ)∈B×L∞(ΩT)为抛物变分不等式(1)–(3)的弱解,若

3　主要结论

考虑如下惩罚问题

其中惩罚函数βε(·)满足(见图3.1)

图3.1:β0.2

图3.2:β0.1和β0.2

此外由图3.2,可得当ε1≤ε2时,对任意的t∈[0,ε2],

根据惩罚函数 βε(·) 的定义

因此当ε→0时可以用βε(·)控制不等式.下面给出非线性抛物问题(4)–(6)的弱解定义.

定义3.1称非负函数uε为非线性抛物问题(4)–(6)的弱解,如果

文献[12]利用半离散差分格式证明了非线性抛物方程(4)–(6)存在定义3.1意义下的弱解.本节将在非线性抛物方程(4)–(6)的基础之上,考察变分不等式的弱解问题.在此之前,先给出几个有用的引理.

引理3.1设ε,ε1和ε2为正常数满足ε∈(0,1),0＜ε1≤ε2＜1,则

证首先证明uε≥u0.考虑公式(4),即

令t=0可得

易见u0ε和uε在抛物边界上相等,因此联立公式(12)和(13)并利用引理2.4,有

其次证明uε≤|u0|∞+ε.注意到|u0|∞+ε为常数,并且

又因为

所以利用引理2.5可知uε≤|u0|∞+ε,∀(x,t)∈ΩT.

最后证明公式(11)成立.因为

进一步利用公式(8)可得

联立初边值条件,并利用引理2.5可得结论成立.

引理3.2对任意的α∈[0,1−γ),非线性抛物方程(4)–(6)的解满足

其中C为不依赖ε的非负常数.

证注意2(µ−1)=γ−σ,在公式(4)边乘以并在ΩT上的积分,有

由Cauchy不等式,Holder不等式以及公式(10),可得

从而利用引理2.1(3)以及引理3.1可得

又因为2(µ−1)=γ−σ,利用引理3.1可得

联立公式(16)和公式(17)可得公式(14)成立.

其中ν表示曲面∂Ω的外侧法向量.进一步联立公式(7)和公式(10)有

又因为 uε≥ ε,所以这意味着

将公式(19)和公式(20)代入公式(18)可得

进一步利用分步积分,有

注意1−α−γ＞0,1−α＞0.将上式代入公式(21)即可得到

其中C是仅依赖α、γ、Ω和|u0|∞的常数.

引理3.1和引理3.2意味着,对任意的ε∈(0,1)存在子列{uε}(仍记为{uε})以及函数u∈ L∞(ΩT),使得

通过下面的引理(引理3.3),还可以得到

引理 3.3设则

证在公式(4)中选择可得

利用公式(24)以及罚函数βε(·)的定义,

注意γ−p−+1＜0,将公式(30)和公式(31)代入公式(29),有

又因为ε≤uε≤|u0|∞+1,所以利用三角不等式可得

利用公式(10)和公式(14),并利用Holder不等式可得

这意味着

此外由公式(22)和公式(23)有

将公式(34)和公式(35)代入公式(33),有

进一步利用引理2.3可得

因此利用公式

从而令ε→0可得

因此公式(27)和公式(28)成立.进一步利用公式(27)和公式(28),公式(26)亦是成立的.

引理3.4当ε→0时有

证设χη和分别是集合{(x,t)∈ΩT;u(x,t)＜η}和{(x,t)∈ΩT;uε(x,t)＜η}的特征函数.显然利用三角不等式,有

取α=(1−γ)/2,利用引理3.2,可得

利用引理3.3和公式(40),当η→0时,

从而将公式(40)–(43)代入公式(39),并令η→0可得

因此再由公式(22)可得公式(36)成立.

下面证明公式(37)成立.利用三角不等式,可得

再由Holder不等式和引理2.6,当ε→0时,

再次利用Holder不等式同样有

利用引理2.1和公式(26),当ε足够小时,

此时当ε→0时,

下面估计H6.再次利用三角不等式,当ε足够小时,

因此将公式(14)和(25)代入公式(47),可得

从而,联立公式(44),(45)和(48)可得(37)成立.

最后证明公式(38).利用公式(7)和(10),可见

由极限的保号性,易得

根据G(·)的定义,若证明公式(38)只需证明:当u(x0,t0)＞ u0(x0)时,ξ(x0,t0)=0.事实上,当u(x0,t0)＞u0(x)时,存在常数λ＞0和邻域Bδ(x0,t0),当ε足够小时,

当 ε足够小时,∀(x,t)∈ Bδ(x0,t0),0≥ βε(uε−u0)≥ βε(λ)=0.因此当 ε→ 0 时,

公式(38)得证.

引理3.4意味着ξ(x,t)=0和u(x,t)＞u0(x)等价,ξ(x,t)＞0和u(x,t)=u0(x)等价.据此,我们给出本文的主要结果.

定理3.1设γ∈(0,1),则抛物变分不等式(1)–(3)存在唯一的弱解满足

证首先证明解的存在性.由公式(25)和公式(38)可知定义2.1之条件(a)和条件(c)成立,在公式(5)中令ε→0易知定义2.1之条件(b)亦成立.由引理3.4和公式(22)可知定义2.1中等式(d)也成立.最后证明定义2.1中条件(e)成立.定义

利用Holder不等式,有

故由公式(14)可得

其中C是不依赖ε的正常数.进一步利用三角不等式又有

先令ε→0,可得

由公式(51),再令t→0,又有

因此,解的存在性得证.

下面证明解的唯一性.假设(u1,ξ1)和(u2,ξ2)是抛物变分不等式(1)–(3)的两个解,令

并定义

则由定义2.1可得

上述两个公式相减可得

下面证明

当u1(x,t)＞u2(x,t)时,u1(x,t)＞u0(x),并且此时ξ1=0＜ξ2.故

当u1(x,t)≤u2(x,t)时,u1(x,t)≤u2(x,t),易得

因此对任意的(u1,ξ1)和(u2,ξ2)总有

故公式(54)成立.

下面证明

注意当a,b,c1和c2为正常数时,在[0,∞)上是单调函数,故

其中

故对任意的(x,t)∈ΩT有u1≤u2.同理亦可证明任意的(x,t)∈ΩT有u1≥u2.故解的唯一性成立.

[1]庄乾乾,程希骏,李静.基于Fourier变换的裂解价差期权定价[J].数学杂志,2016,36(4):841–850.

[2]李志广,康淑瑰.混合分数布朗运动环境下短期利率服从vasicek模型的欧式期权定价[J].数学杂志,2016,36(3):641–648.

[3]Chen X,Yi F,Wang L.American lookback option with fixed strike price 2-D parabolic variational inequality[J].J.Diff.Equ.,2011,251(1):3063–3089.

[4]Zhou Y,Yi F.A free boundary problem arising from pricing convertible bond[J].Appl.Anal.,2010,89(1):307–323.

[5]Chen X,Yi F.Parabolic variational inequality with parameter and gradient constraints[J].J.Math.Anal.Appl.,2012,385(1):928–946.

[6]Zhou Y,Yi F.A variational inequality arising from American installment call options pricing[J].J.Math.Anal.Appl.,2009,357(1):54–68.

[7]Maria C M,Indranil S.Solutions to an integro-differential parabolic problem arising in the pricing of financial options in a L é vy market[J].Nonl.Anal.:Real World Appl.,2011,12(6):3103–3113.

[8]Boulaaras S,Haiour M.Overlapping domain decomposition methods for elliptic quasi-variational inequalities related to impulse control problem with mixed boundary conditions[J].Proc.Indian Acad.Sci.-Math.Sci.,2011,121(2):481–493.

[9]Boulaaras S,Haiour M.L∞-asymptotic bhavior for a finite element approximation in parabolic quasi-variational inequalities related to impulse control problem[J].Appl.Math.Comp.,2011,217(1):6443–6450.

[10]Boulaaras S,Haiour M.The finite element approximation in parabolic quasi-variational inequalities related to impulse control problem with mixed boundary conditions[J].J.Taibah Univ.Sci.,2013,7(1):105–113.

[11]Dibenedetto E.Degenerate parabolic equations[M].New York:Springer-Verlag,2010.

[12]Lian S,Gao W.Existence of solutions to an initial Dirichlet problem of evolutional-Laplace equations[J].Ann.l’Institut Henri Poincare(C)Nonl.Anal.,2012,29(2):863–886.