有关Ramanujan Tau函数的注记

程开敏

(西华师范大学数学与信息学院,四川南充 637002)

1　引言

设q=eπiτ,其中τ∈C 且Im(τ)＞0.对任意的q,z∈C,如下定义(z;q)∞:

将形如

的q-级数称为Lambert级数.我们知道Ramanujan Tau函数τ:N∗→Z是按如下恒等式定义的

Ramanujan理论有很多热门的研究分支,如Ramanujan-Nagell方程[7].而对τ(n)的研究一直是数论领域的经典研究方向,其中有关τ(n)的显式表达式及其同余性质的研究就是很多数论学者的研究兴趣之一.Berndt[2]等人得到了τ(n)模211,36,53,7,23的若干同余式.设n,k为正整数,记因子和函数

tk(n)表示将n表为k个三角数的和的表法数,rk(n)表示将n表为k个平方数的和的表法数,则值得一提的是,Apostol[1]给出了表达式

Ewell[5,6]也分别得到了以下两个恒等式

和

其中v2(n)为n的2-adic赋值,Od(n)为n的奇数部分,即Od(n)=n×2−v2(n).最近,作者[8]利用Ewell的一个恒等式,也得到一个Ramanujan Tau函数的新表达式.

在本文中,我们主要对若干特殊的theta函数和q-级数进行研究.我们建立了几类特殊的q-级数与Ramanujan Tau函数的生成函数的关系.从而得到了几个Ramanujan Tau函数新的显式表达式,其中这些表达式中只含因子和函数,另外,作为定理的应用,还得到Ramanujan Tau函数的同余恒等式.

2　基本知识及引理

设q=eπiτ,其中τ∈C 且Im(τ)＞0.先定义以下三个theta函数

容易检验以下恒等式成立

其中符号(·;·)∞如(1.1)式定义.又如下定义φ(q)和ψ(q)

设k为正整数,则有其中tk(n)表示将n表为k个三角数的和的表法数,rk(n)表示将n表为k个平方数的和的表法数.最后定义两类特殊的Lambert级数如下

现在给出几个有用的结论.

引理2.1[3]设φ(q)和ψ(q)是由(2.4)式定义的q-级数,则以下恒等式成立.

命题2.2设θ2(q)和θ3(q)是由(2.1)式定义的theta函数,则以下恒等式成立

证由ψ(q),φ(q)的定义式(2.4)及引理2.1,可知

所以(2.11)式成立.

引理2.3[4]设T2k(q)和S2k(q)是由(2.6)和(2.7)式定义的q-级数,则以下递推恒等式成立

现在利用引理2.3建立Lambet级数S2k(q),T2k(q)与theta函数θ2(q),θ3(q)之间的等式关系.为了叙述方便,记

则由T2k(q)的定义以及命题2.2的(2.11)式和引理2.1的(2.9)式,易得

再利用引理2.3通过直接计算得

另外,由引理2.1中的(2.10)和(2.3)式中的关系式有

从而

将(2.15)–(2.21)式以及(2.22)式代入到引理2.3的(2.14)式中,可得

最后,由(2.16)–(2.18)式以及(2.21)式,经过计算发现

3　主要结果及证明

命题3.1设k为正整数,则以下恒等式成立.

证首先

其次

最后

所以命题3.1成立.

定理3.2设n,k为正整数,τ(n)为Ramanujan Tau函数,则有

证令一方面,由著名的Jacobi四次恒等式

并结合(2.2)和(2.3)式,得

另一方面,观察到S2(q)S10(q),S4(q)S8(q),(q)与z6(q)x(q)(1−x(q))4均含有因子z6(q).所以不妨设

其中A1,A2,A3∈Q为待定系数.将(2.23)–(2.26)式分别代入到(3.6)式的左边,然后比较(3.6)式的左右两边的项z6(q)xi(q)(i=1,2,3,4,5)的系数,解得

并且由引理3.1,可知

所以综合(3.5)–(3.10)式,有

最后比较(3.11)左右两边qn的系数立即可得定理3.2的结论.

定理3.3设n,k为正整数,τ(n)为Ramanujan Tau函数为将n表为k个三角数的和的表法数,v2(n)为n的2-adic赋值,则对任意的n≥3,有

证通过利用(2.16),(2.18),(2.20)以及(2.27)式,观察到S4(q)S8(q),q3ψ24(q),T12(q)与z6(q)x(q)(1−x(q))4均含有因子z6(q).所以不妨设

其中B1,B2,B3∈Q为待定系数.将(2.16),(2.18),(2.20)以及(2.27)式分别代入到(3.13)式的左边,然后比较(3.13)式的左右两边的项z6(q)xi(q)(i=1,2,3,4,5)的系数,解得

并且由引理3.1,可知

所以综合(3.5),(3.13)–(3.17)式,有

最后比较(3.18)式左右两边qn的系数立即可得定理3.3的结论.

由定理3.3立即得到以下同余恒等式.

推论3.4设n,k为正整数,τ(n)为Ramanujan Tau函数,则对任意的n≥3都有

[1]Apostol T M.Modular functions and dirichlet series in number theory(2nd ed.)[M].New York:Springer-Verlag,1997.

[2]Berndt B C,Ken Ono.Ramanujan’s unpublished manuscript on the partition and tau functions with proofs and commentary[J].S´em.Lothar.Combin.，1999,42:1–63.

[3]Berndt B C.Ramanujan’s notebook(part III)[M].New York:Springer-Verlag,1991.

[4]Chan H,Chua K.Representations of integers as sums of 32 squares[J].Ramanujan J.,2003,7:79–89.

[5]Ewell J.New representations of Ramanujan’s tau function[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1999,128:723–726.

[6]Ewell J.A formulae for Ramanujan’s tau function[J].Proc.Amer.Math.Soc.,1984,91:37–40.

[7]陈候炎.关于广义Ramanujan-Nagell方程的一个猜想[J].数学杂志,2010,30(3):567–570.

[8]程开敏.一个Ramanujan Tau函数的新表达式[J].纯粹数学与应用数学,2017,33(2):129–133.