基于灰度-梯度特征的改进FCM土壤孔隙辨识方法

赵　玥　韩巧玲　赵燕东

(1.北京林业大学工学院， 北京 100083； 2.北京林业大学城乡生态环境北京实验室， 北京 100083)

0　引言

土壤孔隙的几何特征决定着土壤的透气性、持水性，进而影响土壤肥力和作物产量，是衡量土壤质量的重要指标[1-4]，因此，土壤孔隙结构的定性识别与定量表达，是从根本上认识土壤结构的必要前提。计算机断层扫描(CT)为土壤孔隙结构的辨识提供了有效的技术手段[5-6]；目前，基于土壤CT图像的研究大多采用固定阈值法、自适应阈值法来辨识孔隙结构[7-11]。但由于CT机器的部分容积效应会引起孔隙边界的模糊性，使以上方法导致孔隙过分割和欠分割现象。模糊聚类方法可以避免或减少这类问题的出现，其优势是处理不确定的数据时通过求取优化问题的最优解来实现像素的分类，能够更加真实地反映不规则的孔隙结构。

模糊C均值算法(Fuzzy C-means, FCM)是最常用的模糊聚类方法[12-13]。它通过对目标函数的迭代优化计算像素点属于各类的概率，以实现对像素点的模糊划分，具有较强的鲁棒性。但是，由于所有像素点均参与计算，每次迭代需消耗大量时间；而且其稳定效果和速度极易受初始条件的影响，降低了方法的运算效率[14-16]。快速FCM法(Fast fuzzy C-means, FFCM)采用灰度级参与迭代运算，可极大地提高运算速度，但忽略了细节信息，仍无法准确描述较为复杂的孔隙模糊边界图像(土壤CT图像)的特征[17]。

本文针对土壤CT图像孔隙结构微小、灰度均一化的特点，提出一种基于土壤灰度-梯度特征的改进模糊C均值聚类方法(Fuzzy C-means based on grayscale-gradient features, GFFCM)。该方法基于土壤图像灰度-梯度二维信息，构造出合适的孔隙辨识条件，可解决传统FCM法中初始值制约辨识精确度的问题，提高辨识方法的运算速度。

1　基于土壤CT图像的孔隙辨识问题

本文研究所用的土壤CT图像由Philips Brilliance 64排64层螺旋CT机扫描土壤样本所得。扫描参数为：电压120 kV，电流196 mA，扫描间隔1.279 ms，扫描层厚0.9 mm，窗宽和窗位分别为2 000和800。扫描获得的原始土壤CT图像如图1a所示，其中，黑色区域孔隙识别中会影响实验结果和增加运算量，因此，本文采用最大内切法，将其剪裁为如图1b所示的图像。另外，原始土壤CT图像含有216个灰度级且以医疗图像的格式存储，因此，为保证剪裁后的土壤CT图像灰度级不发生变化且便于计算机的后续处理，将其保存为bmp格式。

图1　土壤CT图像Fig.1　Soil CT images

由于CT机器电路板、探测器等硬件的限制以及层厚、扫描时间等参数的约束，会导致土壤CT图像在成像、传输等过程中存在噪声。噪声在图像中属于高梯度信息，而孔隙边缘也属于高梯度信息，噪声的存在会影响孔隙边界的精确辨识，因此，采用自适应中值滤波算法对土壤CT图像进行去噪处理，以获取理想的土壤CT图像[19]。

由于CT机器灰度分辨率的限制，土壤CT图像会受到部分容积效应(Partial volume effect, PVE)的影响，导致图像中不同物质的边缘以均值状态存在，从而呈现孔隙边缘模糊的特性。如图1b所示，黑色区域表示孔隙结构，其边缘颜色随着与孔隙质心距离增大而逐渐变浅，因此，孔隙的边界就很难被准确界定和辨识。

为消除PVE对孔隙边缘判别的影响，可采用模糊聚类分析对孔隙边界进行判断，以实现孔隙边界的精确辨识。为获取合适的孔隙辨识方法，有必要基于土壤CT图像对模糊聚类方法进行深入研究。

2　孔隙辨识方法

2.1　传统FCM法

传统FCM法遵循像素点以不同概率值属于不同集群的原则，通过迭代优化完成像素点的模糊划分。它假定聚类数目和隶属度矩阵是已知的，并设定目标函数为

(1)

式中xi——像素点灰度

vj——聚类中心灰度

‖·‖ ——距离向量

c——聚类中心数目uij——概率向量

m——常数n——像素点个数

m是控制模糊度的常量，其范围一般为[1.5, 2.5][20]，本文m取2。对于每个像素点xi，其隶属于不同聚类中心的概率和为

(2)

当目标函数通过迭代优化趋于极小值时，则认为所有像素点都趋于某个聚类中心并远离其他聚类中心，聚类结果达到理想状态。在式(2)的条件下计算式(1)的极小值，由拉格朗日乘数法推导出其必要条件为

(3)

其中

(4)

式中vk——聚类中心

式(3)、(4)分别为隶属度矩阵方程与聚类中心方程。在迭代优化过程中，聚类中心和隶属度矩阵不断更新，目标函数逐渐趋于收敛。当目标函数变化量小于设定值时，则认为其处于稳定状态，即

‖Jr+1-Jr‖≤ε

(5)

式中ε——设定误差

另外，考虑到方法的运算效率，可设定最大迭代数目r，当目标函数变化量无法满足式(5)时，以最大迭代数目作为收敛条件。当目标函数收敛时，聚类中心和隶属度矩阵作为最终的聚类参数完成土壤各相物质的辨识。

2.2　快速FCM法

由2.1节可知，传统FCM法需反复计算图像的聚类中心和隶属度矩阵，会涉及大量像素点的运算，极为耗时。为克服这一问题，FFCM法在传统FCM法基础上进行了相应改进。

FFCM法用灰度直方图特征空间代替像素空间参与迭代计算，计算图像中灰度相同的像素点数量和灰度等级，在优化过程中，由灰度等级与相应数量的乘积代替像素灰度，其目标函数、聚类中心和隶属度矩阵的迭代公式为

(6)

(7)

(8)

式中L——灰度级数目

gi——灰度级对应的灰度

H(gi)——灰度为gi的像素点数量

在此基础上，通过不同等级灰度对应的隶属度向量，可以反求出原始图像中所有像素点的隶属度。由式(6)～(8)可看出，灰度直方图特征空间的加入降低了迭代运算的数据量，例如，尺寸为256像素×256像素且灰度级为0～255的土壤CT图像，共有65 536个元素，优化后的数据集最多有256个元素，缩减至原始数据的0.39%。这一数据优化，极大地提高了方法的运算速度。

2.3　GFFCM孔隙辨识法

传统FCM法基于图像像素点的迭代优化实现模糊划分，其大量的数据集和迭代次数使其执行效率偏低，不适用于大批量的土壤CT图像；FFCM法采用256个灰度级代替像素数据集，提高了执行效率，但丢失了像素的细节信息，降低了孔隙辨识精度。而GFFCM 法通过初始化聚类数目和隶属度矩阵，可实现像素数据集迭代计算的快速收敛，在保证孔隙辨识精度的同时降低了迭代次数，对于土壤CT图像的处理具有实时性和高效性。该方法由4部分组成：①建立灰度-梯度二维矩阵，旨在融合土壤图像的梯度和灰度双重信息。②分区初始化隶属度矩阵，旨在基于灰度-梯度二维矩阵建立更接近孔隙辨识理想条件的初始值。③基于确定的初始化条件，采用传统FCM法完成对土壤多重物质的模糊判别。④运用孔隙辨识准则，旨在完成模糊聚类结果的优化，实现土壤孔隙的精准辨识。GFFCM法基于灰度-梯度矩阵确定初始隶属度矩阵和聚类数目，并结合孔隙辨识准则完成土壤孔隙的辨识。

2.3.1建立灰度-梯度二维矩阵

在土壤CT图像中，孔隙边界处的灰度受PVE效应的影响，呈现出模糊的特性，仅用灰度已经无法准确地判别和定位边界，需通过相关技术扩大孔隙边界与土壤固相物质和孔隙内部结构间的差异，因此，引入灰度-梯度二维矩阵来表征土壤CT图像的综合信息。首先，本文采用拉普拉斯算子计算土壤图像的梯度矩阵，其运算模板为

(9)

式中w——图像宽度，像素

l——图像长度，像素f——灰度

在式(9)中，拉普拉斯算子模板中的系数之和为零。这意味着当模板覆盖图像中的像素是相同或相似的，响应输出应是零或极小值，相反，则应是一个较大的数值。通过滤波模板和原始土壤CT图像得到一维梯度矩阵。

综合土壤图像的灰度信息和梯度信息，建立其灰度-梯度二维直方图，如图2所示。在二维直方图中，孔隙边界信息除了灰度差异外，还比其他区域具有更高的梯度，如图2中散落在梯度轴两端的像素点均是边界点。通过灰度-梯度二维直方图，可以初步判断各类像素点的分布情况，对FCM法预设初始化条件具有指导意义。

图2　土壤CT图像的俯视灰度-梯度直方图Fig.2　Grayscale-gradient histogram of soil CT image

2.3.2初始化隶属度矩阵

由2.1节可知，传统FCM法的迭代优化需要有启动条件，即聚类数目和隶属度矩阵需预先赋值，且其值对于迭代次数、运行时间和辨识精度都有较大影响。因此，参数初始化是GFFCM法中的一个重要步骤。本节基于2.3.1节中的灰度-梯度二维矩阵，结合土壤图像的先验知识确定了相对应的聚类数目，并分区完成了隶属度矩阵的初始化。

灰度矩阵表征像素点的灰度信息。土壤中主要包含孔隙、固相物质和石砾杂质3类物质，且其分别以黑色、灰色和白色呈现在图像中(图1b)。梯度矩阵表征像素点与邻域的差异程度，由式(9)可知，孔隙边界、均匀固相物质、石砾杂质边界的梯度应分别为正数、零、负数。因此，基于灰度分布和梯度分布，土壤物质均可分为3大类。

由图2可得，4条蓝线将灰度-梯度直方图划分为9个区域，T1、T2、G1和G2分别为梯度和灰度的临界值。灰度处于0～G1范围的多为孔隙结构，处于G1～G2范围的多为固相物质，大于G2的多为石砾杂质。在相同灰度下，不同梯度的像素点有不同的空间位置。因此，土壤图像按照Hi表示的映射规则进行分区为

(10)

(11)

(12)

式中Cj——类别数目，j=1,2,…,9

xi——像素灰度，i=1,2,…,n

Tmax——梯度最大值

Tmin——梯度最小值

Gmax——灰度最大值

Gmin——灰度最小值

由式(10)～(12)可知，第1类灰度多为孔隙，C1和C3类表示孔隙过渡边界点，C2类表示孔隙内部像素点；第2类灰度多为固相物质，C4和C6类分别表示土壤固相物质与孔隙和石砾杂质的边界点，C5类表示均匀的固相物质；第3类灰度多为石砾杂质，C7和C9类表示石砾杂质的边界，C8类表示石砾和固相物质的混合物。值得注意的是，临界点的不当选取可能会导致没有像素点属于C3和C7类。临界点选取规则为

(13)

基于上述梯度-灰度矩阵的分区，GFFCM法中的初始聚类参数确定为9，即认为土壤像素点共分为9类。其初始隶属度矩阵可表示为

(14)

由式(14)可得出GFFCM法的初始隶属度矩阵和聚类数目。而基于梯度-灰度综合信息赋值的初始条件与理想条件较为接近，因此，GFFCM法可以较快地达到收敛状态，以自适应完成孔隙结构的辨识。

2.3.3设定孔隙辨识准则

在完成土壤各相物质的初步辨识后，实现精准孔隙辨识的关键是从模糊聚类结果中提取孔隙结构。如2.3.2节所述，土壤中含有孔隙、固相基质和石砾杂质3类物质，但除此之外，孔隙结构与固相基质间往往存在过渡状态，其在土壤CT图像上分别表现为黑色、中灰、白色和深灰。因此，GFFCM法设定孔隙辨识标准则对聚类结果进行优化，以将模糊聚类结果转化为确定性分类，完成孔隙结果的辨识。其孔隙辨识准则为

(15)

式中k——土壤物质的种类，本方法中k取4

综上所述，GFFCM法引入梯度-灰度二维矩阵表征土壤不同物质间的差异。然后，通过矩阵分区确定聚类数目和初始化隶属度函数，指导传统FCM法进行迭代优化，以确保目标函数较快趋于稳定状态。最后，通过建立孔隙辨识准则保证孔隙结构辨识的精确性。GFFCM法解决了初始值制约辨识精确度的问题，对于孔隙结构的定量研究具有重要意义。

3　实例应用与验证

为测试本文GFFCM法在土壤孔隙结构辨识的有效性，采用土壤CT图像作为研究对象进行应用分析，并通过与FCM法和FFCM法的对比实验，证明GFFCM方法的优越性。受试土壤类型为黏化湿润均腐土[20]，是采自黑龙江省克山农场40～80 cm深，高10 cm、底面直径10 cm的圆柱形的原状土，共3个重复土壤样本。该样本为非饱和土壤样本(体积含水率约为23.77%)，扫描单个样本可得302幅土壤图像，因此，本实验的土壤图像数据库共包含906幅土壤CT图像。

根据图像中土壤有效面积的位置, 采用内切正方形的方法，将原始土壤CT图像剪切为如图1b所示尺寸为191像素×191像素的图像后进行实验。本文所有实验均在同一台计算机上采用Matlab R2014b实现，所用计算机处理器为4.00 GHz Intel Core i7-4790，内存为16 GB，操作系统为Windows 7。

3.1　实验结果

为保证实验结果的可比性，本文3种孔隙辨识方法采用相同的初始条件，即模糊度m=2，聚类数目c=9。由于篇幅有限，仅举一例展示3种方法在不同迭代次数下的孔隙辨识结果。图3所示为从906幅土壤CT图像随机选取的图像。

图3　不同迭代次数下3种方法的孔隙辨识结果Fig.3　Pore identification results of three methods under different iteration times

由图1b所示的原始土壤CT图像可知，图3中的红色方框所示结构为土壤固相物质，展现在孔隙辨识结果中(图3)应该为非孔隙结构(白色)。由图3a～3c可知，当迭代次数为10时，3种方法的红色方框中均有黑色结构，说明其均将固相物质误判为孔隙结构。其中，FCM法误判的结构最大，GFFCM法误判结构最小。比较图3d～3f，当迭代次数为40时，FFCM法仍会将一部分土壤固相物质辨识为孔隙结构，但其误判结构比迭代次数为10时已经减少；FCM法虽然还会将小部分土壤固相物质辨识为孔隙结构，但与迭代次数为10时相比，误判结构已经极大地减小并且已经远远小于FFCM法的误判结构；而GFFCM法此时已经能够正确将其判别为非孔隙结构。由图3g～3i的孔隙辨识结果可知，当迭代次数增加为90时，FFCM法仍会将一部分土壤固相物质判别为孔隙结构，且其辨识精度与迭代次数为40时几乎没有变化。而FCM法和GFFCM法均不再误判孔隙结构，具有较高的辨识精度。

综上所述，FCM法的辨识精度随着迭代次数的增加会快速提高，但是迭代次数较少时，其辨识精度最低；FFCM法的辨识精度随迭代次数的增加有小幅度提高，且在迭代次数较少的情况下，其辨识精度明显高于FCM法；相比其他2种FCM型孔隙辨识方法，本文GFFCM法的辨识精度随着迭代次数的增加会逐渐提高，且能在最少的迭代次数条件下，达到最高的辨识精度。

3.2　错误率分析

为了更精确评价图3红色方框内所示的辨识结果，本文采用误分像素点数与总像素点数的比值作为辨识错误率，计算公式为

(16)

式中W——错误分割的像素点数目

R——正确分割的像素点数目

在图3的红色方框图中，计算3种方法的辨识错误率，实验结果见表1。由于FCM法在相同参数下的错误率会因随机生成的初始条件而变化，因此，文中所用的关于FCM法的数值均是在相同条件下多次运行结果的均值。

表1　不同迭代次数下3种方法的辨识错误率Tab.1　Pore identification error rates of three methods under different iteration times　%

由表1可知，FCM法在迭代次数为10时，辨识错误率高达12.78%；在迭代次数为40时，辨识错误率快速下降为0.44%，直到最终达到零。FFCM法在迭代次数为10时，错误辨识率为8.33%，小于FCM方法；而随着迭代次数增加，在迭代次数为40时，辨识错误率达到3.89%，不再变化。而GFFCM法的初始辨识错误率为0.78%，远远低于其他2种方法，且在迭代次数为40时达到零。因此，3种方法在迭代次数不超过40时，迭代辨识错误率变化最大，为详细讨论前40次迭代辨识错误率的变化，图4为孔隙辨识错误率的曲线。

图4　3种方法的孔隙辨识错误率Fig.4　Pore identification error rate of three methods

由图4可知，当迭代次数小于12时，FCM法的错误率明显高于FFCM法，但是随着迭代次数的增加，FCM法的错误率快速下降，直到在第22次迭代时，达到很小的错误率。FCM法中初始隶属度矩阵是随机生成的，与收敛状态的理想条件差距较大，因此该方法的初始错误率较大，但由于图像所有像素点均参与迭代优化，FCM法最终拥有较高的辨识精度。FFCM法的辨识错误率由初始的30%到最终的3.89%，在第19次迭代后达到稳定状态。这主要是因为FFCM法采用256个灰度级代替图像像素进行聚类运算，减少运算时间的同时也降低了辨识精度，因此，其辨识错误率最终高于FCM法。而本文的GFFCM法的错误率则随着迭代次数由2.22%变为零，在这一过程中，GFFCM法错误辨识精度的变化幅度最小，且第6次迭代时达到稳定状态。因此，GFFCM法可在最少的迭代次数下达到最高的辨识精度。

由此可知，GFFCM法具有最低的辨识错误率，这主要是因为GFFCM法中分区确定的隶属度矩阵更接近理想条件，而且图像所有像素点都参与了迭代过程，保留了所有信息，使得GFFCM法具有最低的辨识错误率。由图4可知，FFCM法始终具有高辨识错误率，无法达到稳定状态，不适用于孔隙结构的辨识。虽然FCM法和GFFCM法的辨识错误率最终都达到零，但是其辨识精确度和执行效率也存在差异，仍需进一步分析。

3.3　精确度分析

为了进一步精确评价FCM法和GFFCM法对于孔隙辨识的精确度，采用了目标函数误差ε作为评价标准，目标函数误差表示当前迭代条件下的目标函数与上次迭代时目标函数的差值，计算公式为

ε=JI-JI-1

(17)

式中I——迭代次数

目标函数误差表征方法精确度，其值越小，方法的孔隙辨识精度越高，而目标函数误差下降的速率表征方法的执行效率，下降越快则孔隙辨识的效率越高。为讨论2种方法的精确度，将其目标函数误差列于表2中，其中目标函数的误差是多幅土壤CT图像的均值。

由表2可知，在第3次迭代时，GFFCM法的目标函数误差是149 630，FCM法的目标函数误差是237 850，2种方法误差均很大；直到第23次迭代时，GFFCM法和FCM法的目标函数误差降至初始误差的0.5%，但此时FCM法的误差仍为GFFCM法的2倍。为比较2种方法的目标函数误差在不同迭代次数下的变化，图5为不同迭代次数下2种方法的目标函数误差曲线。

表2　不同迭代次数下2种方法的辨识精确度Tab.2　Pore identification accuracy of two methods under different iteration times

图5　2种方法的目标函数误差Fig.5　Objective function error of two methods

比较图5中2条曲线可知，GFFCM法的目标函数误差明显小于FCM法。2种方法的误差在第5次迭代时达到最大，2种方法误差相差139 780，此时GFFCM法的精度是FCM法的4倍。随后，FCM法的误差快速减小，到第10次迭代时，FCM法的目标函数误差降为初始误差的30.64%，而GFFCM法的误差降至初始误差的4.36%，此时2种方法误差的差距为66 345，比第5次减小一半，但GFFCM法的精度却是FCM法的11倍。这主要是因为GFFCM法的误差大量下降，使得其精度极大提高。直到第23次迭代时，GFFCM法和FCM法的目标函数误差降至初始误差的0.5%，但GFFCM法目标函数的误差仍为 FCM法的一半。这说明，即使误差相似时，GFFCM方法的精度仍然较高。综上所述，GFFCM法具有较高的精确度，且随着迭代次数的增加，其趋于稳定的速度明显优于FCM法。

比较3种FCM型聚类方法可知，理想的初始条件能够促使目标函数快速趋于稳定。本文的GFFCM法通过对初始隶属度矩阵和聚类中心的引导赋值，使其能在数次迭代之后，快速趋于收敛状态。低辨识错误率、高辨识精确度和执行效率保证了GFFCM法较快地完成孔隙的精确辨识。

4　结束语

提出了一种基于灰度-梯度特征的模糊C均值方法(GFFCM法)，以更快速、更精确地完成孔隙结构的辨识。该方法利用图像灰度和梯度的综合信息分区完成了聚类数目和隶属度矩阵的初始化，建立了更接近孔隙辨识理想条件的初始值；并运用孔隙辨识准则对土壤多重物质的模糊聚类结果进行了优化。通过与传统FCM法和FFCM法的孔隙辨识结果作比较表明，FFCM法极易将固相物质辨识为孔隙结构，无法实现零错误率；FCM法虽然迭代初期误差较大，但可在90次迭代时达零错误率；而GFFCM法在第6次迭代时即可达到零错误率，在第10次迭代时即可将辨识误差控制在0.5%范围内。综上所述，GFFCM法具有最低的辨识错误率和最小的迭代次数，这也意味着GFFCM法具有最高的辨识精确度和运算效率，可准确完成土壤孔隙的辨识，为土壤孔隙的量化研究提供一种较为先进的技术。

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