对一道中考填空题解法的探究

李建标

一、原题呈现

如图1，点A，B在反比例函数y=■（k>0）的图像上，AC⊥x轴，BD⊥x轴，垂足C、D分别在x轴的正负半轴上，CD=k，已知AB=2AC，E是AB的中点。且△BCE的面积是△ADE面积的2倍，则k的值是________________.

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二、解法探究

1.代数解法

解法1、设点A坐标为a，■，点B坐标为b，■，则|OC|=a，|OD|=-b，

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由CD=k.易知：a-b=k ①

∵E是AB中点，

∴S△ABC=2S△BCE S△ABD=2S△ABE

∵S△BCE=2S△ADE∴S△ABC=2S△ADE

∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，

∴AC∥BD

∵S△ABD=■CD·BD S△ABC=■AC·CD

∴AC=2BD，即■=-■ ②

如图2，过点B作AC延长线的垂线BF，F为垂足，则BF=CD=k，AF=■-■

∴AB2=AF2+BF2，即■2=k2+■-■2 ③

联立①②③解得a=■b=-■ak=■或a=-■b=-■k=-■（舍去）

∴k的值为■。

思考：这种解法立足于试题本源，设点的坐标自然流畅；解答简洁易懂，当属自然解法；但最后方程的解法比较繁琐，不得让人思考，是否还有更好的解法？

解法2：设点A坐标为■，m，点B坐标为■，n

由CD=k.易知：■-■=k，即n-m=mn ①

由S△BCE=2S△ADE，E是AB中点，

易知AC=2BD，即m=-2n ②

联立①②，解得m=3n=-■，即AC=3，BD=■

如图，在Rt△ABF中，AB=2AC，AF=3+■=■，

BF2=AB2-AF2=36-■=■；

∵BF>0，∴BF=■，即k=■。

思考：解法2与解法1的思路是一样的，区别在于设元方式不同。解法1是常用的设元方式，解法2是通过特殊的设元方式简化方程，减少计算量，与解法1相比较，有一定的优势。

3.几何方法

解法3：由S△BCE=2S△ADE，E是AB中点，

知S△ABC=2S△ABD；

由AC⊥x轴，BD⊥x轴，知AC∥BD

∴AC=2BD

根据反比例函数的结合意义知：

OC×AC=OD×BD=k，则OD=2OC，

∵OC+OD=k，∴OC=■k，OD=■k，

∴AC=3，BD=■

如图2，构造Rt△ABF，易知，BF=■=■

∴k的值为■。

思考：解法3巧妙的利用反比例函数的几何意义，从而得到线段之间的的倍数关系，简化计算量。

解法四：由S△BCE=2S△ADE，E是AB中点，

知S△ABC=2S△ABD；

由AC⊥x轴，BD⊥x轴，知AC∥BD

∴AC=2BD

如下图，易知△ACG∽△BDG

∴DG=■GC，即DG=■DC=k，BG=■AB

類似解法3；知AC=3，BD=■，

∴AB=2AC=6，

∴BG=■AB=2，

在Rt△BDG中，知DG=■=■.

∴k=CD=■

三、解法反思

上述四种解法，大同小异，或许都可以称为“自然解法”。不管是在争分夺秒的考试，还是平时以研究学习为目的的解题。我们都期望一道题的解法简洁明了。作为教师不能满足于“教师知其所以然”，更要注意解题方法的优化，追求“学生知其所以然”，立足学生的最近发展区；立足学生上课听得懂。解题时用得上，这样才接地气，称得上是自然解法。

（作者单位：浙江省乐清市大荆镇第一中学）