变性椭圆齿轮的非圆摆线齿廓设计

童 亮，计三有

（武汉理工大学 物流工程学院，武汉 430063）

非圆齿轮，目前在自动化行业中得到了广泛的应用。比如在纺织机械中周期性改变经纬纱的密度，在液体流量计中通过一对卵形齿轮提高计数器的校对度，在可变频率摆动器和电位计等测量仪器中以及飞行仪表、火炮指挥仪等解算装置中实现某种运算功能等。非圆摆线，作为一种新型的非圆齿轮齿廓，有着极大的应用价值，目前对于非圆渐开线齿廓已经有了许多研究[1-3]，但对于非圆摆线齿廓的研究较少，其设计、制造、传动特性等问题仍然需要更多的关注。文献[4]提出了非圆摆线针轮传动，针齿按弧长均匀分布在节曲线上，在运动学方面与非圆渐开线齿轮有相同的特点。文献[5]基于现有摆线针轮类减速器转臂轴承相对转速高、受力大，长时间工作会较早出现失效以及输出机构易出现疲劳断裂等缺点，提出了新型纯滚动类摆线针轮行星传动。文献[6]介绍了非圆摆线的定义并对其在变中心距非圆齿轮行星传动中的设计问题进行了分析。本文基于齿轮啮合基本原理，结合产形齿轮的概念，分析了具有非圆摆线齿廓的变性椭圆齿轮设计问题。

1 非圆摆线齿廓的形成机理

如图1所示，l1和l2为一对相互啮合的非圆齿轮的节曲线。假设齿轮1的节曲线固定，齿轮2的节曲线绕齿轮1的节曲线纯滚动。根据齿廓啮合基本定律，齿轮2的齿廓包络线就是齿轮1的齿廓曲线。

假设有一产形齿轮，在两非圆节曲线相互纯滚动的同时，产形齿轮也在同一接触点与两节曲线纯滚动。这样产形齿轮可以视作一把虚拟“刀具”，分别在两节曲线上切制非圆齿轮齿廓。而且这两个非圆齿轮齿廓是可以满足啮合条件的，是一对共轭齿廓[7]。这样就可以把一对共轭非圆齿轮的设计问题，转化为同一产形齿轮与两共轭非圆齿轮的设计问题。

当产形齿轮为圆针轮时，在两非圆齿轮节曲线上生成的齿廓就是一对共轭非圆摆线齿廓。假设产形齿轮在齿轮1的外侧，齿轮2的内侧。则生成的齿轮1齿廓曲线就是非圆外摆线的等距曲线，齿轮2的齿廓曲线就是非圆内摆线的等距曲线。

进一步地，当齿轮1和齿轮2的节曲线均为变性椭圆时，生成的齿廓就是相应的椭圆摆线等距曲线。

2 椭圆摆线的齿廓数学模型

2.1 齿轮1的椭圆摆线齿廓设计

在图1中，假设两齿轮均为变性椭圆齿轮。其节曲线方程在坐标系x1O1y1和x2O2y2中分别为r1=r1（φ1）和 r2=r2（φ2）。 取齿轮 1 单独分析，如图 2 所示。

圆O代表圆针轮的节圆，半径为r0。绕齿轮1的节曲线l1纯滚动。图示位置两者在P点接触。针齿分布圆的半径为rk，针齿半径为rx，针齿数为z1。坐标系x3O3y3与节圆O固连。

初始状态时，两者的接触点在l1上为A1，在节圆O上为A。节曲线l1上由A1点到P点弧长s1=α作为积分变量被引入，无实际意义。由于两者纯滚动，所以节圆上A点到P点间的弧长s=s1。

图2 齿轮1齿廓生成示意Fig.2 Tooth profile generating diagram for gear 1

通过P点建立坐标系x4Py4。x4P轴为两节曲线公切线方向，y4P轴为公法线方向。x4P轴与x1O1轴间的夹角为μ，满足：是两针齿间的齿距。第k和第k+1个针齿中心坐标可以表示为

坐标系x4Py4中，当P点处于产形圆针轮的第k和第 k+1 个针齿之间时，满足（k-1）δ≤s＜kδ。 其中

根据齿廓啮合基本定律，在坐标系x4Py4中，由P点一共可以确定4个啮合点坐标，统一用（x4，y4）来表示，满足

式中：j的取值为 k，k+1。

坐标系 x4Py4中一点（x4，y4），在 x1O1y1中的对应点为（x1，y1）。 利用坐标转换关系，应有

这既是啮合点在坐标系x1O1y1中的点坐标，也是齿轮1的椭圆摆线齿廓方程。

2.2 齿轮2的椭圆摆线齿廓设计

同理，可以利用同一产形齿轮生成齿轮2的非圆摆线齿廓。不同的是，两齿轮为内啮合状态，如图3所示。

图3 齿轮2齿廓生成示意Fig.3 Tooth profile generating diagram for gear 2

2.3 产形齿轮的基本选用原则

由之前的讨论确定产形齿轮为圆针轮形式。但其相关参数仍然受到椭圆齿轮相关参数的限制。最基本的一点，产形齿轮的节圆半径r0必须根据椭圆齿轮的节曲线长度来确定。一般变性椭圆齿轮节曲线均为正曲边形，不妨记曲边数为n，单条曲边的方程为 r=r（φ）。 需满足

接下来的针轮中心坐标方程与齿轮1的方程（2）、方程（3）完全相同，啮合点坐标方程与齿轮 1的方程（4）完全相同。啮合点在坐标系x2O2y2中的坐标记为（x2，y2）。坐标转换方程相应变为如下形式

这既是啮合点在坐标系x2O2y2中的点坐标，也是齿轮2的椭圆摆线齿廓方程。

由于齿轮1、齿轮2和产形齿轮三者间是纯滚动，所以节曲线l2上A2点到P点的弧长s2=s=s1。根据传动比函数可以确定坐标系x1O1y1中节点P在坐标系x2O2y2中的对应接触点，图3中仍记为P点，坐标为（φ2，r2）。 坐标系 x2O2y2中，x4P 轴与 x2O2轴间的夹角为μ′，满足：

产形齿轮的其它参数，需要综合考虑重合度及曲率半径等诸多因素的限制。

3 三维建模与运动仿真

选取一组设计参数，齿轮1节曲线的曲边数为n1=3，曲边的内分割数为m1=2。齿轮2节曲线的曲边数为n2=5，曲边的内分割数为m2=2。椭圆偏心率为e=0.06。中心矩a=143.0844 mm。针轮节圆半径为r0=17.9982 mm。针齿分布圆的半径为rk=18.8981 mm，针齿半径为rx=3 mm，针齿数为z1=9。

在Matlab中编写程序，计算椭圆摆线齿廓，将数据点输出到Pro/E软件中，建立机构整体三维模型，如图4所示。

图4 变性椭圆齿轮机构三维模型Fig.4 3-dimentional models for deformed ellipse gear mechanism

需要注意的是，齿轮2的轮齿突出部分并非圆形，而是由两段椭圆内摆线的等距曲线以及过渡曲线组成。将模型导入ADAMS软件中，设置好材料和约束，添加接触关系后，进行运动仿真。结果如图5所示。

图5 角速度仿真曲线Fig.5 Simulational curves for angular speed

设置齿轮1的转速时所选参数为30°/s。根据椭圆齿轮间的传动关系，齿轮2的转速理论上应该是，单位是°/s。将ADAMS仿真曲线数据导入Matlab软件中，与理论速度曲线对比，如图6所示。

图6 仿真速度曲线与理论速度曲线对比Fig.6 Contrast diagram between simulational speed curve and theoretical speed curve

由图6可知，仿真速度曲线与理论速度曲线整体趋势基本相同，和设计预期相符；但局部仍然有较大波动。可能的原因有许多：多点参与啮合时，各啮合点接触变形不同，引发冲击；建模精度仍然有待提高等等。仿真结果初步验证了整个设计、建模过程的正确性。

4 结语

非圆摆线传动，相对于非圆渐开线传动重合度更大；两轮齿间的接触为外凸齿廓和内凹齿廓接触，接触应力小，承载能力更强；轮齿磨损更均匀。有望在自动化行业和精密仪器仪表行业中得到广泛的应用。本文以一对变性椭圆齿轮为研究对象，重点分析了以圆针轮作为产形齿轮生成非圆摆线齿廓的过程并建立了相应的数学模型。然后基于这一数学模型，选取参数进行了实例建模与仿真，对整个设计过程进行了有效验证。为具有椭圆摆线齿廓的变性椭圆齿轮的设计、制造、应用打下了基础。

[1]谭伟明，梁燕飞，安军，等.渐开线非圆齿轮的齿廓曲线数学模型[J].机械工程学报，2002，38（5）：75-79.

[2]史勇，王生泽.非圆齿轮齿廓数值算法研究[J].机械科学与技术，2013，32（8）：1130-1133.

[3]宋洪舟，魏世民，廖启征，等.渐开线锥形非圆齿轮的啮合原理与仿真模型[J].北京理工大学学报，2013，33（8）：788-793.

[4]林超，王延涛.非圆摆线针轮传动的原理与设计[J].东北大学学报：自然科学版，2014，35（8）：1190-1194.

[5]宋原.纯滚动类摆线针轮传动啮合原理研究[D].北京：北京邮电大学，2014.

[6]姚文席.非圆齿轮设计[M].北京：机械工业出版社，2012：94-103.

[7]吴序堂.齿轮啮合原理[M].西安：西安交通大学出版社，2009.