对分课堂在“线性代数”课堂教学中的实践

李 宾

(吉林大学数学学院，吉林长春 130012)

“线性代数”是我国高等院校理工、经管各专业的一门重要公共基础课。“线性代数”教学不仅能扩充大学生的知识结构，为其很多后续课程的学习打下基础，还能够培养学生严密的逻辑推理能力和抽象概括能力。“线性代数”课程具有概念繁多、内容抽象、运算复杂、逻辑性强等特点，理论的抽象性和计算的复杂性给学生的学习带来了一定的难度。传统的大学数学教学重理论轻应用、重演绎轻归纳，过分追求数学的系统性与严密性，往往忽略对学生理解力的考虑。长此以往，学生的问题越积越多，渐渐丧失了学习兴趣、产生畏难情绪，出现学生不愿学、课堂出勤率低、课程通过率低等现象。为了提高教学质量，笔者在“线性代数”教学中引入对分课堂的教学模式，试图改变以教师为中心的知识传授教学模式，激发和增强学生的学习积极性和自主性，提高学习效率和学习效果。

1 对分课堂简介

对分课堂是复旦大学张学新教授针对我国大学的教学现状于2014年提出的课堂教学新模式[1]，其核心理念是分配一半课堂时间给教师讲授，另一半课堂时间让学生以讨论的形式进行交互式学习。对分课堂把教学刻画为时间上清晰分离的三个过程，分别为讲授、内化吸收和讨论，可简称为PAD课堂。对分课堂首先是教师对教学内容的讲授，包括主要框架、重点和难点；课后学生选择自己的方式进行回顾、学习，在此过程中深入吸收、细化知识点；然后进入课堂讨论，将学生分成小组，讨论上次课所学内容、教师布置的任务和学生内化吸收阶段遇到的问题，学生之间进行交流、讨论,分享学习的体会；对于小组讨论中的疑难问题，教师最后进行解答和总结。这一教学模式能调动和增强学生学习的自主性，改善教学效果，提高教学质量[2]。

2 对分课堂在“线性代数”课堂教学中的实践

2.1 教学准备

在“线性代数”课堂中采用对分课堂的教学模式，教师在开学前要做充分细致的准备。首先要了解教材的编写体系、特点，掌握各个概念、定理、公式、方法间的相互关系，熟悉各章的重点和难点，制定教学计划和教学进度；然后根据教学内容特点，确定对分课堂的内容和对分时间，并结合教学经验，本着有助于学生理解掌握内容、突出重点、突破难点的宗旨提出合适的讨论问题。

在开学初要向学生介绍对分课堂的教学模式、教学流程，小组讨论的目的、内容和要求，作业的要求，考核的方式等，让学生明白课上课下每个环节中自己的职责和需要完成的任务；同时还要对学生进行分组，每组4～5人，选出小组组长并明确组长的职责。

2.2 教学实施

在教学过程中，根据对分课堂的教学流程，把教学过程按时间先后分为三个阶段。首先是教师讲授，精讲教学内容，对一些繁长复杂的定理证明可以删去或者只介绍证明思路，把时间和重心放在加强学生对概念和定理的理解和方法的掌握上，突出重点，分散难点。例如，在学生学习矩阵的秩这一节时，教师主要讲授矩阵秩的概念、相应的定理推论、求矩阵秩的方法和一些秩的重要结论，删去了初等变换不改变矩阵的秩这一定理和关于行满秩矩阵的定理的证明过程，使得课堂上的教学内容更加紧凑、连贯和易懂；随后布置课后作业和如下讨论问题：(1)矩阵A的秩等于r是什么意思？(2)在秩为r的矩阵中，有没有等于0的r阶子式？有没有等于0的r-1阶子式？有没有不等于0的r+1阶子式？(3)什么样的矩阵其秩等于0？什么样的矩阵其秩r≥1？(4)在矩阵A中划去一行得到矩阵B，A的秩与B的秩有什么关系？在矩阵A中划去k行得到矩阵B，A的秩与B的秩有什么关系？(5)求矩阵的秩有什么方法？(6)两个同型矩阵A、B的秩相同，A、B是什么关系？接下来是学生内化吸收等等，学生课后通过阅读教材和ppt温习所学内容，通过独立完成作业加深对概念和定理的理解，熟练地掌握所学方法。学生的内化吸收是一个反复的过程，每个学生内化吸收的速度和方式都是不同的，所以教师讲授与小组讨论之间要留出充足的时间让学生吸收和消化知识。最后是小组讨论，学生就教师布置的问题逐条进行讨论，表述自己的理解，互相交流，互相讨论，互相启发；在小组讨论中学生也可提出自己的问题，和其他同学一起讨论，互相解答，从而发现自己的不足，分享学习体会，吸取经验，共同提高；讨论结束后教师对疑难问题进行解答和总结，修正学生的思考偏差，指出正确的解题方法。为了使学生加强印象，要求各小组对所有讨论的问题做出完整的书面答案，并在下次课交给教师审阅。

2.3 学生反馈

“线性代数”课程实施对分课堂教学模式后，学生的表现有了较明显的变化。首先是学生愿意思考问题。以前学生认为只要在课堂上听教师讲授、课后按时完成作业，就理解了教学内容；实施对分课堂后，学生通过对教师布置的讨论问题进行独自思考，认识到在课后环节对讨论问题的思考更有助于深入理解课堂教学内容，更清晰地了解各个概念、定理和方法间的相互关系；其次是学生能积极参与讨论。实施对分课堂为学生提供相互交流讨论的机会和平台，使他们通过讨论及时发现和解答问题，敢于说出自己的理解和观点，积极分享学习的体会，学生的课堂参与意识和学习主动性都明显提高了。

3 关于对分课堂的几点思考

3.1 教师讲授要精讲和留白

“线性代数”课程概念多、理论抽象、方法复杂，学生自学难度较大。所以,对主要的概念、定理和重要的方法还是要采取传统教学模式，由教师讲授，这样才能保证数学知识的专业性、系统性和连贯性，同时为学生提供理论、方法以及思维方式的指导和训练。同时，由于要留出一定的时间给学生讨论，教师讲授的时间有所缩短，这就要求教师既要在较少时间内完成讲授，又要让学生理解重点与难点，因此教师不能事无巨细、全面完整，只能精讲教学内容，讲授主要的概念、定理和方法，突出重点和难点。

3.2 作业是对分课堂成功的重要保障

对于对分课堂教学模式，教师可以通过精讲内容和布置适合的讨论问题掌控讲授环节和讨论环节，而学生的内化吸收是连接讲授与讨论的核心环节，是对分成功的关键。要想促进学生的内化吸收，教师布置作业是非常必要的。学生不做作业,就难以熟练掌握所学内容。对分课堂的作业要能引导学生理解教学内容、吃透重点难点，使学生了解所学内容与其他知识的关联，补充教师留出的空白，建立完整的知识结构框架。作业中应有各种难度的习题，满足不同层次学生的需求，深入挖掘他们的潜能。教师通过查阅学生作业完成情况，能够了解学生对所学知识内化吸收的程度，及时发现问题并给予有针对性的指导。

3.3 合理掌握对分时间

对分时间要根据教学内容来确定，不必对半平分课堂时间。在线性代数教学中，有的章节可以一章进行一次小组讨论，有的可以一章多次。教师应根据每章节教学内容的特点,灵活运用对分课堂教学模式。例如，在行列式这一章讲授结束后组织一次讨论，而在线性方程组与向量组的线性相关性这一章讲授结束后安排两次讨论。

3.4 精心设计讨论问题

对分课堂的小组讨论是学生在教师讲授和学生内化吸收的基础上对所学内容的再一次温习和巩固，是又一次的内化过程，所以教师要根据课程内容精心设计讨论问题。讨论问题的形式应多样化，可以是课上内容，也可以是作业，还可以是判断题、思考题和计算题等。教师提出的讨论问题不宜太多、太难，但要突出重点，要有助于学生突破学习难点，消除常犯的错误，理清容易混淆的概念和方法，也要有助于学生扩展思维，使他们对所学内容理解得更透彻、记忆得更牢固、运用得更灵活。

4 结语

对分课堂教学模式是教学方法改革的一个新的尝试，它在传统教学模式的基础上，通过增加对分讨论形式来提高学生对教学活动的参与意识，弥补传统教学模式以教师为中心的单向传授的不足，体现以学生为本的教学理念。实践表明，对分课堂教学模式更能激发和调动学生的学习积极性，有利于提升教学效果、提高教学质量，值得继续坚持、大胆探索、及时总结、不断创新、逐步完善。