拔旗游戏背后数学问题的推广及证明

孙承娟

【摘要】通过学生跟同桌玩的一个游戏，意识到这样一个问题，可以将其抽象为数学中的博弈论问题并给出完善解答，于是经过一段时间的演算，得出了正确结果，并将其推广到任意整数.

【关键词】拔旗游戏；数学问题；推广及证明

问题1 现有旗子17支，甲、乙二人每次可取1支、2支或3支，且规定取走最后一支旗子的人输，请设计策略使其中一个人赢面最大.

问题2 与问题1相同，但取走最后一支旗子的人赢，请设计策略使其中一个人赢面最大.

分析 单从这两个问题来看，问题2比问题1要稍复杂，但也容易设计出最佳策略（事实上这两个问题都是存在必胜策略的）.先考虑问题1，注意到17是一个形如4n+1的数，而取到最后一支旗子的人将输掉比赛，所以甲、乙应拼命使对方处在只有一支旗子可取的境地，注意到：每次可取1支、2支或3支，所以我们可以很自然地想到以下解答：

后记与反思

① 在前文的叙述中笔者给出了两个游戏先发者存在必胜策略的充分必要条件和如何构造取胜策略，这应该属于博弈论的范畴（事实上，这就是两个简单的博弈问题）.但是问题还可以进一步推广，由两人博弈推广到n人博弈，这无疑是复杂的，就连3个人的问题都十分棘手（需要同时考虑三个人的目的与想法），就目前来看，貌似没有通解.

② 有心的读者可能会对比一下问题1、2推广后的结论进行比较，很容易发现二者的统一性，只是参与者的先后有些不同罢了.

③ 虽然这两个游戏是存在必胜策略的，但不妨跟别人玩一玩这个游戏并使自己处在不利地位.相信你们很快就会发现如果对手没有意识到这个暗含的必胜策略的话，你们是有可能赢的.举个例子：你跟你的好友玩23个旗子的问题2，你后发，根据前面的定理你是几乎不可能赢的.“几乎”建立在你的对手第一次没有取3个构造出4|m.比如，他取了2支，这就是一个取胜的良机，因为现在只剩下21支旗子了而且是你先取，接下来你理所当然地要取1支来构造你的对手没有意识到的4|m，然后应用策略[2]取胜.记住，第一次取至关重要，它有时能逆转局面，反败为胜.

④ 文中的定理（或策略）的证明是平凡的，没有多大的技术含量，相信任何一个智力正常的12岁少年都可以理解，事实上，上面的问题属于更强大的一个定理的一个极平凡的特例：

任意一个步数有限的智力游戏必存在一个策略使参加游戏的一方至少能保持平局.

这个定理证明比较简单，对最大步数作数学归纳法即可，但是它的能量真的很大，就连国际象棋、围棋也遵守它，只不过因其策略太复杂（围棋有361的階乘个走法），找不到罢了.